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3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点) 1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养． 2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1　抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R ___________ ___________
对称轴 ___ ___
顶点
离心率 e＝__
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线关于顶点对称． (　　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． (　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　)
知识点2　直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①k＝0时，直线与抛物线只有____交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线____ 有__个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线____ 只有__个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线____ ____公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
知识点3　直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝_____，|BF|＝_____，故|AB|＝___________．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　)
A．16　　　　　　　　 B．14
C．12 D．10
类型1　抛物线性质的应用
【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标．在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．
[跟进训练]
1．(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　 B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
(2)已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
类型2　直线与抛物线的位置关系
【例2】　【链接教材P146例5】
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：
①直线与抛物线的对称轴重合或平行；
②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．过定点P(0，1)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　抛物线的焦点弦问题
【例3】　【链接教材P145例4】
已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标(或纵坐标)之和有关，由此思考解决问题的方法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
[跟进训练]
3．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1
C．－ D．－
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
5．已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
(2)直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
1 / 13.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点) 1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养． 2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养．
已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1　抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
性质 焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点
离心率 e＝1
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线关于顶点对称． (　　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． (　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
知识点2　直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．
①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点．
Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点．
Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
0或　[由消去x得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝．
综上，k＝0或．]
知识点3　直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　)
A．16　　　　　　　　 B．14
C．12 D．10
C　[抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C．]
类型1　抛物线性质的应用
【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px，p>0，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．]
(2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，
由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，
∴4＋3a＝8，从而得a＝，
∵BD∥FG，∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x．
　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标．在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．
[跟进训练]
1．(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　 B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
(2)已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
(1)C　(2)D　[(1)设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．
(2)由题意知，双曲线C1的离心率e＝＝＝2 b＝a．
因此双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x，
取其中一条渐近线x－y＝0．
抛物线C2的焦点坐标为，该点到双曲线的渐近线的距离d＝＝＝2，解得p＝8，因此抛物线C2的方程为x2＝16y，故选D．]
类型2　直线与抛物线的位置关系
【例2】　【链接教材P146例5】
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？
[解]　联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
【教材原题·P146例5】
例5　已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
分析　用解析法解决这个问题，首先要考虑直线l的斜率是否存在，进而根据直线l过定点设出直线方程，并讨论由直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况，就可以判断直线l与抛物线的位置关系．
[解]　(Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k．又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为
y＝kx－2． ①
由方程组 ②
消去y，并整理得
k2x2－(4k＋2)x＋4＝0． ③
(1)当k＝0时，由方程③得x＝2．代入方程①，得y＝－2．
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，－2)．
(2)当k≠0时，方程③的判别式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4．
若Δ>0，解得k>－．
于是，当k>－，且k≠0时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点．
若Δ＝0，解得k＝－．
于是，当k＝－时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点．
若Δ<0，解得k<－．
于是，当k<－时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点．
综上可得：
当k＝0，或k＝－，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k>－，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；
当k<－时，直线l与抛物线没有公共点．
直线l与抛物线C的位置关系如图3.3-5所示．
　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：
①直线与抛物线的对称轴重合或平行；
②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．过定点P(0，1)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
[解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝0符合题意．
(2)当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1．
由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0．
当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，只有一解，
直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线方程为y＝1．
当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝，此时直线与抛物线只有一个公共点，直线方程为y＝x＋1．
综上知，过定点P(0，1)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有三条．
类型3　抛物线的焦点弦问题
【例3】　【链接教材P145例4】
已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标(或纵坐标)之和有关，由此思考解决问题的方法．
[解]　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0．
由消去y，
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0．
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋．
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，
解得k＝±2．
所以AB所在直线的方程为
y＝2或y＝－2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0．
【教材原题·P145例4】
例4　已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为(1，0)，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求|AB|．
[解]　(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由已知可得直线l的方程为y＝x－1． ①
又抛物线的焦点坐标为(1，0)，故抛物线的方程为y2＝4x． ②
联立①、②，消去y可得
x2－6x＋1＝0． ③
由一元二次方程的根与系数的关系得
x1＋x2＝6，x1x2＝1．
于是|AB|＝
＝
＝
＝·
＝·
＝8．
(方法二)如图3.3-4．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．过A，B分别向准线l′作垂线，垂足为A′，B′．
由抛物线的定义可知，
|AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝|BB′|＝x2＋1．
于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2．
由方法一中的方程③可知x1＋x2＝6，
于是|AB|＝x1＋x2＋2＝8．
　1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
[跟进训练]
3．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
CD　[设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
依题意令y＝，代入x2＝2py或令y＝－，代入x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4．
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y．]
1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
A　[假设点A的坐标为(x0，y0)，y0>0，则y0＝，由2x0＝()2得x0＝1．
从而直线AB的方程为x＝1，
又抛物线y2＝2x的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝，故选A．]
2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1
C．－ D．－
C　[因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
且点A(－2，3)在准线上，
所以＝－2，
解得p＝4，
所以y2＝8x，
所以焦点F的坐标为(2，0)，
故直线AF的斜率k＝＝－．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
B　[由题意知F (1，0)，
设，
则＝＝．
由·＝－4得y0＝±2，
∴点A的坐标为(1，±2)，
故选B．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝．
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，
故AB的中点的纵坐标是＝．]
5．已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
4　[设P(x0，y0)，因为点P到准线x＝－1的距离为9，所以x0＋1＝9，则x0＝＝4x0＝32，则y0＝±4，即点P到x轴的距离为4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
[提示]　方法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R．
方法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．
(2)直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
[提示]　|AB|＝p－(y1＋y2)．
课时分层作业(三十)　抛物线的简单几何性质
一、选择题
1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7
A　[由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选A．]
2．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A．4 B． C．3 D．
D　[抛物线y2＝2x的焦点F，准线方程为x＝－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝8，所以x1＋x2＝7，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为．故选D．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
B　[由抛物线性质知|AB|＝5＋2＝7，∵当线段AB与x轴垂直时，|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．]
4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　)
A．2 B．3 C．5 D．7
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2．
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7．]
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
C　[不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36．]
二、填空题
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
(3，2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3，2)．]
7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则|FN|＝________．
6　[如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，∴|MF|＝3，∴|FN|＝6．]
8．已知点A到点F (1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1，0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞)　[依题意得点A的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x．过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
[解]　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝＋＝17，
∴＝8，代入方程＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y．
10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点；
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
[解]　(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1， ①
将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
得2k＋＝1， ②
由(1)可得x1＋x2＝，x1x2＝－，
代入②得k＝1．
11．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为(　　)
A．5 B．10 C．20 D．
B　[设P(x0，y0)，则|PM|＝x0＋1＝5，解得x0＝4，则＝4×4＝16，则|y0|＝4，故S△MPF＝×5×|y0|＝10．故选B．]
12．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2，0)且与C交于A，B两点，|BF|＝．若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝(　　)
A． B．2 C．4 D．6
C　[由题意得抛物线的焦点为F (1，0)，准线为x＝－1，由|BF|＝及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得B．根据抛物线的对称性，不妨取B，则直线l的方程为y＝(x－2)，联立
得A(8，4)，于是λ＝＝4．故选C．]
13．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
48　[由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48．]
14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________．
y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x．
由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0．
由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，
解得k>－1且k≠0．又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2．]
15．点M(m，4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5．
(1)求m与p的值．
(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．
[解]　(1)由抛物线定义知，|FM|＝＋4＝5，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y．又由M(m，4)(m>0)在抛物线上，所以m＝4．故p＝2，m＝4．
(2)根据题意知过M点的切线的斜率存在．设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F (0，1)，所以S△FMN＝|FN|·m＝×5×4＝10．
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