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第2课时　抛物线的方程及性质的应用
学习任务 核心素养
1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点) 2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点) 通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养．
一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？
知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
③＝；
④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
⑤以AB为直径的圆必与准线l相切．
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能证明＝这个结论吗？
[提示]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝．
由
得y2＝p2．∴y＝±p．
从而|AF|＝|BF|＝p，
所以＝．
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，
由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，
∴＝＝＝
＝＝＝，
即＝．
综上，＝．
直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________．
　[由＝得＝1，
解得|BF|＝．]
类型1　和抛物线有关的轨迹问题
【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解]　(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y．故点P的轨迹方程为x2＝2y．
法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1．
∴点p的轨迹方程为x2＝2y．
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，Δ＝4k2＋8>0．
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1．
　和抛物线有关的轨迹方程的求解方法
(1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解．
(2)定义法：转化条件，把所求问题转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解．
[跟进训练]
1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1．
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1．
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R．
所以|MC|＝d＋1．
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x．
类型2　与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】　(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．25
(2)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？
(1)A　[由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，
所以直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝．
所以AB的中点到准线的距离为，故选A．]
(2)[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4．
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．
法二：(传统法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．
联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝．
又y1＋y2＝2，∴k＝4．
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0．
　“中点弦”问题的解决方法
[跟进训练]
2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．
y2＝4x　x－y＝0　[由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有且x1≠x2，
两式相减得＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0．]
类型3　与抛物线有关的综合问题
【例3】　已知动圆经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
[解]　(1)∵动圆经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，∴E到点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，
∴E的轨迹是以D(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．
∴曲线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2．
∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，
∴l2的方程为y＝－k(x－1)＋2．
联立得方程组
消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0．
设A(x1，y1)，则x1＝＝．
同理，设B(x2，y2)，可得x2＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝．
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝．
∴kAB＝＝－1．∴直线AB的斜率为定值－1．
　1．求定值问题的常用方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．
[跟进训练]
3．已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若弦AB的中点为(3，3)，求直线l的方程；
(2)若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
[解]　(1)因为抛物线的方程为y2＝4x，则有＝＝4x2，因为弦AB的中点为(3，3)，
所以x1≠x2．
两式相减得＝4x1－4x2，
所以＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－3)，
即y＝x＋1．
(2)证明：当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，整理，得ky2－4y＋4b＝0，y1y2＝＝－12，b＝－3k，
l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3，0)．
当l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，l过定点(3，0)．综上，l过定点(3，0)．
1．动点P(x，y)到点F (3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
D　[依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F (3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．]
2．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
A　[设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x．]
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
D　[由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0．S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°．]
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
(4，2)　[由得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4，2)．]
5．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
　[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为 F (1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离d＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？
[提示]　直接法、定义法等．
(2)如何解决定点、定值问题？
[提示]　①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简，若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：a．通过方程判断；b．对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；c．利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；d．转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
课时分层作业(三十一)　抛物线的方程及性质的应用
一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线　　　　　　　 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
A　[设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，所以点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．]
2．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是(　　)
A． B．－
C．3 D．－3
B　[由y2＝2x得焦点坐标为，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，由
消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2
＝x1x2＋k2
＝＋k2
＝＋(－1)＝－．
当直线AB的斜率不存在时，易求得A，B．所以·＝·＝－1＝－．
综上，·的值是－．]
3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(　　)
A． B．(0，0)
C．(1，2) D．(1，4)
A　[法一：设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
d＝＝．
当x＝时，d最小，这时点的坐标为．
法二：设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
由得4x2－4x－m＝0．
再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，得m＝－1．
这时切点为，切点到y＝4x－5的距离最小．]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B　[抛物线的焦点为F，
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，
得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，
由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．]
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　)
A．2 B．4
C．2 D．8
C　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y＝x－，
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝p2＋
＝2p2＝16，
解得p＝2．]
二、填空题
6．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为________．
2x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)．
又AB的中点为M(2，1)，
∴y1＋y2＝2，∴k＝＝2，
因此直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
化简得2x－y－3＝0．]
7．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________．
5　[由抛物线方程y2＝8x，得p＝4．
线段AB的中点M的横坐标为，其到准线距离为，又x1＋x2＝6，所以＝5．
故线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为5．]
8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________．
3　[设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得消y并整理可得＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝，
则y1y2＝－＝－2x0，
∵·＝3，
∴x1x2＋y1y2＝3，即－2x0＝3，
解得x0＝3(负值舍去)．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
[解]　法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3．
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2>0，所以＝x＋5．
化简得曲线C1的方程为y2＝20x．
法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2 的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5，0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5，0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x．
10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O是坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
[解]　(1)证明：当k＝0时，直线与抛物线仅一个交点，不合题意，∴k≠0．
由y＝k(x＋1)，得x＝－1，代入y2＝－x，整理得，y2＋y－1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－1．
∵点A，B在抛物线y2＝－x上，
∴，y2)，
∴kOA·kOB＝＝＝－1，
∴OA⊥OB．
(2)设直线AB与x轴交于点E(图略)，则E(－1，0)，∴|OE|＝1，
∴S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|OE|·|y1－y2|＝＝，解得k＝±．
11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
D　[由题意可知，直线AB的方程为
y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为
＝．]
12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝2，则|QF|＝(　　)
A．8 B．4 C．6 D．3
D　[设点P(－1，t)，Q(x，y)，易知点F (1，0)，则＝(－2，t)，＝(1－x，－y)，所以2(1－x)＝－2，解得x＝2，因此|QF|＝x＋1＝3．故选D．]
13．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
　[设点M，
∵|MO|＝，
∴＋(y－0)2＝3，
∴y2＝2或y2＝－6(舍去)，
∴x＝＝1．
∴M到抛物线y2＝2x的准线x＝－的距离d＝1－＝．
∵点M到抛物线y2＝2x焦点的距离等于点M到该抛物线的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为．]
14．已知O为坐标原点，点P(1，2)在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPA＋kPB＝0，则kAB·kOP的值为________．
－2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则kAB＝＝＝，
kPA＝＝＝，
同理kPB＝．
∵kPA＋kPB＝0，∴＝0，得y1＋y2＝－4，
∴kAB＝＝－1．
又kOP＝＝2，
∴kAB·kOP＝－1×2＝－2．]
15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
[解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋．
由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2．
所以抛物线E的方程为y2＝4x．
(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F (1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B．
又G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F (1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，
从而B．
又G(－1，0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，
从而r＝＝．
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，
所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r．
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
1 / 1第2课时　抛物线的方程及性质的应用
学习任务 核心素养
1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点) 2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点) 通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养．
一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？
知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
③＝；
④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
⑤以AB为直径的圆必与准线l相切．
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能证明＝这个结论吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________．
类型1　和抛物线有关的轨迹问题
【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　和抛物线有关的轨迹方程的求解方法
(1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解．
(2)定义法：转化条件，把所求问题转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解．
[跟进训练]
1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】　(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．25
(2)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“中点弦”问题的解决方法
[跟进训练]
2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．
类型3　与抛物线有关的综合问题
【例3】　已知动圆经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求定值问题的常用方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．
[跟进训练]
3．已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若弦AB的中点为(3，3)，求直线l的方程；
(2)若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．动点P(x，y)到点F (3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
2．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
5．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？
(2)如何解决定点、定值问题？
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