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3.5　圆锥曲线的应用
学习任务 核心素养
1．了解圆锥曲线的实际应用．(重点) 2．结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(难点) 1．通过利用圆锥曲线及其方程解决实际应用问题，培养数学建模素养． 2．借助于圆锥曲线的实际应用，提升数学运算素养．
类型1　椭圆的应用
【例1】　如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米)
[解]　(1)如图建立平面直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为＝1(a>b>0)．
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3，
故隧道的拱宽约为33.3米．
(2)由椭圆方程＝1，根据题意，将(11，4.5)代入方程可得＝1．
因为，即ab≥99且l＝2a，h＝b，
所以S＝lh＝，当S取最小值时，有＝＝，得a＝11，b＝，
此时l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4．
故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．
　本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．
[跟进训练]
1．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R　　　　 B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
ABD　[∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得∴(*)
故A，B正确；
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2．
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝，故D正确．]
类型2　双曲线的应用
【例2】　某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
[解]　如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设M是分界线上的点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50．说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支．
在△APB中，由余弦定理，得
|AB|2＝|AP|2＋|PB|2－2|AP|·|PB|cos 60°＝17 500，
从而a＝25，c2＝＝4 375，b2＝c2－a2＝3 750．
所以所求分界线方程为＝1(x≥25)．于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到点P，右侧的土沿BP运到点P最省工．
　本题是双曲线在现实生活中的应用，解题时，首先将上述问题抽象为数学问题，然后根据有关数学知识解决问题．可把半圆内的点分为三类：一是沿AP到点P较近；二是沿BP到点P较近；三是沿AP，BP到P点同样远近．可利用坐标法解决该题．
[跟进训练]
2．由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解]　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
∴双曲线方程为＝1(x≥2)， ②
联立①②，解得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°．
类型3　抛物线的应用
【例3】　如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8 m，拱圈内水面宽16 m．为保证安全，要求通过的船顶部(设为平顶)与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 m．
(1)一条船船顶部宽4 m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？
(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7 m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽4 m，在水面以上部分高为4 m的船，船身应至少降低多少米才能安全通过？
[解]　(1)如图所示，以过拱桥的最高点且平行水面的直线为x轴，最高点O为原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，将点(8，－8)代入得2p＝8，
∴抛物线方程是x2＝－8y，将x＝2代入得y＝－，8－0.5－0.5＝7，
故船在水面以上部分高不能超过7米．
(2)将x＝2代入方程x2＝－8y得y＝－1，
此时1＋0.5＋2.7＋4＝8.2，故船身应至少降低 0.2米．
　本题考查用待定系数法求抛物线的标准方程的方法，以及利用抛物线的方程解决实际问题，解决本题的关键是求出抛物线的方程．
[跟进训练]
3．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？
[解]　取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
因为灯口直径|AB|＝24 cm，灯深|OP|＝10 cm，所以点A的坐标是(10，12)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，∴p＝7.2．抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)．
因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm．
1．一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2 m时，水面宽为2 m，若水面下降4 m，则水面宽度为(　　)
A． m　　B．2 m　　C．4 m　　D．6 m
B　[以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系(图略)，设抛物线方程为x2＝my，
因为点在抛物线上，代入可得m＝－，所以抛物线方程为x2＝－y，
又因为y＝－6，所以x＝±，则水面宽为2 m．]
2．(多选题)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
ACD　[由题意可得a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，所以a＝2，c＝1．
①若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射，
则所经过的路程为2＝2，
②若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射，
则所经过的路程为2＝6．
③若光线从椭圆一个焦点沿非x轴方向出发，
则所经过的路程为4a＝8．]
3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图(1)，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30 m，如图(2)，则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(　　)
A．180 m B．200 m C．220 m D．240 m
B　[建立平面直角坐标系如图，设抛物线方程为：x2＝－2py，
由题意设D，B，
则解得h＝－50，p＝2.25．所以此拋物线顶端O到连桥AB的距离为50＋150＝200 m．]
4．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为________．
　[根据题意，设椭圆C的焦距为2c，实轴长为2a，所以地球轨道与太阳中心的最远距离为a＋c，最近距离为a－c，所以＝2，即a＝3c，e＝＝，故椭圆C的离心率为．]
5．某学习小组研究一种卫星接收天线(如图(1)所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图(2)所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为__________ m．
1.44　[如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在x轴上，
设抛物线的标准方程为y2＝2px，由已知条件可得，点A(1，2.4)在抛物线上，
所以2p＝2.42，解得p＝2.88，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝5.76x，焦点坐标为(1.44，0)，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)圆锥曲线的实际应用一般体现在哪几个方面？
[提示]　应用一般体现在天体运行的轨道，斜抛物体的轨迹，光学的性质以及现代建筑中．
(2)利用圆锥曲线解决实际应用问题一般有几个步骤？
[提示]　①建立平面直角坐标系；
②求解实际应用问题中所涉及的圆锥曲线的方程；
③利用圆锥曲线的方程解决实际应用问题．
课时分层作业(三十三)　圆锥曲线的应用
一、选择题
1．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　)
A．0.5 m　　B．1 m　　C．1.5 m　　D．2 m
B　[若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，
所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)．
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．]
2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　)
A．2 m B．4 m
C．4 m D．12 m
B　[由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程x2＝－2py，
由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，
所以抛物线方程x2＝－8y，水面下降1 m，
即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，
所以此时水面宽度d＝2x1＝4(m)．
]
3．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部(假设车顶为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6 m，已知行车道总宽度＝7 m，则车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．3.90 m B．3.95 m
C．4.00 m D．4.05 m
B　[设抛物线的方程为x2＝ay，可知点(5，－5)在该抛物线上，则－5a＝52，解得a＝－5，所以，抛物线的方程为x2＝－5y，
将x＝3.5代入抛物线方程得－5y＝3.52，解得y＝－2.45，
因此，车辆通过隧道的限制高度为7－2.45－0.6＝3.95(m)．]
4．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应)．根据双耳的时差，可以确定声源P必在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上．又若声源P所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为20 cm，声源P的声波传及甲的左、右两耳的时间差为3×10-5 s，声速为334 m/s，则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为(　　)
A．0.004 B．0.04
C．0.005 D．0.05
D　[设两耳所在双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，虚轴长为2b，
则2a＝3×10-5×334＝0.010 02，2c＝0.2(m)，由题意tan ＝，
所以＝，所以sin α＝＝＝＝＝0.050 1≈0.05．]
5．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　)
A．2π B．3π
C．2π D．4π
C　[该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设M，N，代入双曲线方程可得＝1，＝1，即＝＝1，
作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π．]
二、填空题
6．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，如图，O为双曲线的一支的顶点．小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB与OC垂直，AB＝80 cm，OC＝20 cm，若该双曲线的焦点位于直线OC上，则在点O以下的焦点距点O________cm．
30(－1)　[设该双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)．因为渐近线相互垂直，所以a＝b．
由题意知，＝1，解得a＝b＝30，c＝30，
故该双曲线的一个焦点位于点O以下30(－1)cm．]
7．某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．如图，它的最小半径为20 m，上口半径为10 m，下口半径为20 m，高为60 m，则该双曲线的离心率为________．
　[以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设双曲线的方程为
＝1，A，B．
将A，B点的坐标代入双曲线方程得
则 解得
∴c2＝202＋402＝2 000，即c＝20，
故双曲线的离心率e＝＝＝．]
8．从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P处的切线＝1垂直于∠F1PF2的角平分线，已知椭圆C：＝1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T，则t的取值范围是__________．
　[由题意，椭圆C在点P处的切线＝1，且x0∈(－2，2)，
所以切线的斜率为－，而∠F1PF2的角平分线的斜率为，
又由切线垂直于∠F1PF2的角平分线，
所以－·＝－1，
即t＝x0∈．]
三、解答题
9．如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB宽8米，顶点O距离地面6米．
(1)以拱门顶点O为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；
(2)节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．(灯笼看作点P)
[解]　(1)以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
则A(－4，－6)，
B(4，－6)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．因为B点在抛物线上，
所以42＝－2p×(－6)，解得p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y．
(2)设P为灯笼所在点，Q为抛物线上设置牵引绳的点，
则＝，
＝(－6y0)，
当y＝－时，的最小值为，即一条牵引绳长度的最小值为．
10．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．
[解]　(1)由题意知最高点为(2＋h，4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，
当h＝1时，最高点为(3，4)，方程为 y＝a(x－3)2＋4，
将A(2，3)代入，得 3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1．
所以当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程y＝＋4．
(2)将点A(2，3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1，所以 a＝－．
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解．
令f (x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则f (5)＝－(3－h)2＋4≥0，且 f (6)＝－(4－h)2＋40．解得1h．
所以达到压水花的训练要求时h的取值范围为．
11．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(　　)
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支
C．线段 D．圆
B　[设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，
则|PA|－|PB|＝680．当680＜|AB|时，点P所在的轨迹为双曲线的一支；
当680＝|AB|时，点P所在的轨迹为一条射线．故选B．]
12．(多选题)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　　)
A．a1＋c1＞2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2
C．e1＝ D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
ABC　[对于A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；
对于B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；
对于C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得＝＝，即e1＝，所以选项C正确；
对于D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．
故选ABC．]
13．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若t2＝8t1，则Γ与Ω的离心率之比为(　　)
图①　　　　　　图②
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶
A　[设＝2c，椭圆Γ的长轴长为2a1，双曲线Ω的实轴长为2a2，光线速度为v，
在图②中，△CDF1的周长为＝＝4a1＝vt2，又t2＝8t1，
所以4a1＝8vt1，可得a1＝2vt1，
在图①中，由双曲线的定义可得＝2a2，由椭圆的定义可得＝2a1，又＝，则＝＝2a1－－|AB|－|AF1|＝2a2，
即2a1－＝2a2，
由题意可知，△ABF1的周长为＝vt1，即2a2＝2a1－vt1＝2a1－＝，所以，＝．因此，Γ与Ω的离心率之比为e1∶e2＝∶＝a2∶a1＝3∶4．]
14．某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线(人的身高不计，铅球看成一个质点)，如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10 m．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____________m．(空气阻力不计，重力加速度为)
5　[设铅球运动时间为t0 s，t时刻的水平方向位移为x m，则x＝v0t cos θ．
由v0sin θ－gt0＝0知t0＝，
∴x＝，故当θ＝时，xmax＝＝10，
∵g＝10 m/s2，
∴解得：t0＝ s，v0＝10 m/s，
∴h＝g＝2.5 m，
如图建立平面直角坐标系，易得P(－5，－2.5)，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则抛物线的焦点到准线的距离p＝＝＝5 m．]
15．某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
(1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
[解]　(1)以点O为坐标原点，OD，OE所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设椭圆方程为＝1，因为OE＝3，则E，
又EB，EF夹角为30°，所以直线EF的方程为y＝－x＋3．
又因为AB＝2，则b＝1，则椭圆方程为＋y2＝1，
为了不破坏道路EF，则直线EF与椭圆至多只有一个交点，联立方程组
得x2－6a2x＋8a2＝0，
由于直线EF与半椭圆至多只有一个交点，
则27a4－·8a20，又a>0，得0当a＝时，半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以amax＝．
即椭圆长半轴长的最大值为．
(2)设椭圆焦距为2c，由椭圆的离心率＝，b＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，
所以，椭圆的方程为＋y2＝1(x≥0)．
设G，又MN的倾斜角为45°，且交OD于G，
所以直线MN的方程为x＝y＋m，
由 得5y2＋2my＋m2－4＝0，
设M，N，则y1＋y2＝－m，y1y2＝，
＝
＝＝，
则S△OMN＝×OG×＝m×＝1，
当且仅当m＝时，△OMN的面积最大．
所以当线段OG长为千米，游乐区域△MNO的面积最大．
1 / 13.5　圆锥曲线的应用
学习任务 核心素养
1．了解圆锥曲线的实际应用．(重点) 2．结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(难点) 1．通过利用圆锥曲线及其方程解决实际应用问题，培养数学建模素养． 2．借助于圆锥曲线的实际应用，提升数学运算素养．
类型1　椭圆的应用
【例1】　如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．
[跟进训练]
1．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R　　　　 B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
类型2　双曲线的应用
【例2】　某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本题是双曲线在现实生活中的应用，解题时，首先将上述问题抽象为数学问题，然后根据有关数学知识解决问题．可把半圆内的点分为三类：一是沿AP到点P较近；二是沿BP到点P较近；三是沿AP，BP到P点同样远近．可利用坐标法解决该题．
[跟进训练]
2．由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　抛物线的应用
【例3】　如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8 m，拱圈内水面宽16 m．为保证安全，要求通过的船顶部(设为平顶)与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 m．
(1)一条船船顶部宽4 m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？
(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7 m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽4 m，在水面以上部分高为4 m的船，船身应至少降低多少米才能安全通过？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本题考查用待定系数法求抛物线的标准方程的方法，以及利用抛物线的方程解决实际问题，解决本题的关键是求出抛物线的方程．
[跟进训练]
3．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2 m时，水面宽为2 m，若水面下降4 m，则水面宽度为(　　)
A． m　　B．2 m　　C．4 m　　D．6 m
2．(多选题)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图(1)，两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30 m，如图(2)，则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(　　)
A．180 m B．200 m C．220 m D．240 m
4．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为________．
5．某学习小组研究一种卫星接收天线(如图(1)所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图(2)所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为__________ m．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)圆锥曲线的实际应用一般体现在哪几个方面？
(2)利用圆锥曲线解决实际应用问题一般有几个步骤？
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