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4.1　两个计数原理
4.1.1　分类加法计数原理
4.1.2　分步乘法计数原理
第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习任务 核心素养
1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过对两个计数原理的学习，提升逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算的素养．
在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题．例如：
(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？
(2)由3个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？
知识点1　分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)
(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船每天有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种． (　　)
(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种． (　　)
[提示]　(1)在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
(2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．
(3)由分类加法计数原理知，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．
(4)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘这三种交通工具的不同走法数为(　　)
A．3 B．9
C．24 D．以上都不对
B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]
知识点2　分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理．
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
[提示]　区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　)
(3)已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个． (　　)
(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种． (　　)
[提示]　(1)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
(2)因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
(3)因为x从集合{2，3，7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4，8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
(4)因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7 B．12 C．64 D．81
B　[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B．]
类型1　分类加法计数原理的应用
【例1】　【链接教材P179例1】
(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[思路点拨]　(1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
[解]　(1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
[母题探究]
1．(变设问)本例(2)条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．
[解]　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个．
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
2．(变条件，变设问)用数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的整数？
[解]　分三类：
①第一类为一位整数，有1，2，3，共3个；
②第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个；
③第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个．
∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数．
【教材原题·P179例1】
例1　某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．
(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
[解]　(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：
第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看
12＋10＋46＝68个不同的节目．
(2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道(共有(12＋10＋46－3)个)正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看
1＋(12＋10＋46－3)＝66个不同的节目．
　利用分类加法计数原理计数时的解题流程
提醒：确定分类标准时，要确保每一类都能独立完成这件事．
[跟进训练]
1．高二一班有学生50人，男30人，女20人；高二二班有学生60人，男30人，女30人；高二三班有学生55人，男35人，女20人．
(1)从高二一班或二班或三班学生中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高二一班、高二二班的男生中或从高二三班的女生中选一名学生任校学生会体育部部长，有多少种不同的选法？
[解]　(1)完成这件事有三类方法：
第一类，从高二一班任选一名学生共有50种选法；
第二类，从高二二班任选一名学生共有60种选法；
第三类，从高二三班任选一名学生共有55种选法．根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法．
(2)完成这件事有三类方法：
第一类，从高二一班男生中任选一名共有30种选法；
第二类，从高二二班男生中任选一名共有30种选法；
第三类，从高二三班女生中任选一名共有20种选法．
综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．
类型2　分步乘法计数原理的应用
【例2】　【链接教材P181例2】
从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？
[解]　解答本题需分三步完成，
第一步选系数a(a不能为0)，有5种选法．
第二步选系数b，有5种选法．
第三步选系数c，有4种选法．
根据分步乘法计数原理得，组成抛物线的条数为5×5×4＝100．
[母题探究]
1．(变设问)若本例中的二次函数的顶点在第一象限且过原点，此时抛物线的条数为多少？
[解]　分三步：
第一步c＝0只有1种方法；
第二步确定a，a从－2，－1中选一个有2种不同方法；
第三步确定b，b从1，2，3中选一个有3种不同方法．
根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6种不同方法，所以可组成6条抛物线．
2．(变条件，变设问)若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＝1的参数m，n，则可以组成多少个椭圆？
[解]　根据条件知m＞0，n＞0且m与n不相等，故需分两步完成．
第一步选m，有3种选法．
第二步选n，有2种选法．
故确定椭圆的个数为3×2＝6．
【教材原题·P181例2】
例2　通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码(共11位数字)的前七位是统一的，后四位都是0～9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码？
分析　由于前七位已确定，我们只需分4步来确定后四位数字，11位手机号码就最终确定．所以，要用分步乘法计数原理来计算．
[解]　后四位中的每一位都可以从0～9这10个数字中任选一个，都有10种选法．根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，那么这一号段共有10×10×10×10＝10 000个不同的号码．
　利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．
[跟进训练]
2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
[解]　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10．
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
类型3　两个计数原理的综合应用
【例3】　【链接教材P181例3】
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
[解]　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理知，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理知，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．
所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．
【教材原题·P181例3】
例3　某校在艺术节期间需要举办一场晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持)．
(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？
(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？
[解]　(1)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，选法可分为3类：
第一类，选一名教师主持，有3种选法；
第二类，选一名男同学主持，有4种选法；
第三类，选一名女同学主持，有5种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋4＋5＝12种不同的选法．
(2)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：
第一步，选出一名教师，有3种选法；
第二步，选出一名男同学，有4种选法；
第三步，选出一名女同学，有5种选法．
以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．
根据分步乘法计数原理，共有3×4×5＝60种不同的选法．
　利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情，其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
提醒：混合问题一般是先分步后分类．
[跟进训练]
3．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
[解]　(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；
第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；
第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．
由分类加法计数原理，知共有6＋7＋8＝21种不同的选法．
(2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；
第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；
第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．
由分步乘法计数原理，知共有6×7×8＝336种不同的选法．
(3)分三类，每类又分两步．第一类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；
第二类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；
第三类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法．
故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同的选法．
1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　　)
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
C　[分3类：买1本书、买2本书、买3本书，各类的方法依次为3种、3种、1种，故共有购买方法3＋3＋1＝7种．]
2．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
A　[集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，
依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标共有2×3＝6种，
其中在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P有：(－2，5)，(－2，6)，(3，5)，(3，6)，共4个．故选A．]
3．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
20　10　[产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．]
4．若x，y∈N＋，且x＋y6，则有序自然数对(x，y)共有________个．
15　[将满足条件x，y∈N＋，且x＋y6的x的值进行分类：
当x＝1时，y可取的值为5，4，3，2，1，共5个；
当x＝2时，y可取的值为4，3，2，1，共4个；
当x＝3时，y可取的值为3，2，1，共3个；
当x＝4时，y可取的值为2，1，共2个；
当x＝5时，y可取的值为1，共1个．
即当x＝1，2，3，4，5时，y的值依次有5，4，3，2，1个，
由分类加法计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．]
5．设a，b∈{1，2，3}，则方程ax＋by＝0所能表示的不同直线的条数是__________．
7　[要得到直线ax＋by＝0，需要确定a和b的值，当a，b不同时，有3×2＝6种方法，当a，b相同时，有1种．
故方程ax＋by＝0所能表示的不同直线的条数是7．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)分类加法计数原理的最主要特点是什么？
[提示]　各类中的每一种方法都可以单独完成一件事．
(2)应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？
[提示]　标准明确、不重不漏．
(3)区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？
[提示]　关键看一步能否完成这件事，若能完成则是分类，否则，就是分步．
课时分层作业(三十四)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
B　[根据分类加法计数原理，从中任选一本阅读，不同的选法有4＋3＋2＝9(种)．故选B．]
2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．36个 B．42个 C．30个 D．35个
A　[∵a，b互不相等且a＋bi为虚数，
∴b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个，有6种，
a从剩余的6个选一个，有6种，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36(个)．]
3．某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有(　　)
A．10种 B．25种
C．52种 D．24种
D　[共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共有24种．]
4．如果x，y∈N，且1x3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是(　　)
A．15 B．12 C．5 D．4
A　[利用分类加法计数原理．
当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6个；当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5个；当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4个．根据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．]
5．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有(　　)
A．18条 B．20条 C．25条 D．10条
A　[第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]
二、填空题
6．椭圆＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
20　[因为焦点在y轴上，所以07．已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，能组成logab>1的对数值有________个．
9　[分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况；
当a＝4时，b取5，7，9三种情况；
当a＝6时，b取7，9两种情况；
当a＝8时，b取9一种情况，
所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又log23＝log49，
所以对数值有9个．]
8．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
2 880　[分两步安排这8名运动员．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，
共有4×3×2＝24种方法；
第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，
共有5×4×3×2×1＝120种方法．
所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880种．]
三、解答题
9．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
[解]　第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
10．(源自人教A版教材)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
[解]　(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9．
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24．
11．(多选题)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法可能为(　　)
A．20 B．27 C．32 D．30
ABC 　[东面上山的种数为：2(3＋3＋4)＝20，
西面上山的种数为：3(2＋3＋4)＝27，
南面上山的种数为：3(2＋3＋4)＝27，
北面上山的种数为：4(2＋3＋3)＝32，
故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法可能为20，27，32．]
12．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法共有(　　)
A．5种 B．10种 C．20种 D．120种
B　[由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一个位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，
则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择，不妨假设排上的是水，
第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，
故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10种．]
13．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f (x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数有______个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字回答)
18　6　[一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值．
a的取法有3种(a≠0)，b的取法有3种，c的取法有2种．
由分步乘法计数原理知共有二次函数3×3×2＝18个．
若二次函数为偶函数，则b＝0，a的取值有3种，b只有1种，c有2种取法，共有3×1×2＝6个．]
14．(教材P183习题4.1T9改编)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．
1 359　[“渐升数”由小到大排列，形如
1 2 × ×
的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个；形如
1 3 4 ×
的“渐升数”共有5个；形如
1 3 5 ×
的“渐升数”共有4个．此时已有21＋5＋4＝30个，因此按从小到大的顺序排列的“渐升数”的第30个必为1 359，所以应填1 359．]
15．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
[解]　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，
有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
1 / 14.1　两个计数原理
4.1.1　分类加法计数原理
4.1.2　分步乘法计数原理
第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习任务 核心素养
1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过对两个计数原理的学习，提升逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算的素养．
在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题．例如：
(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？
(2)由3个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？
知识点1　分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)
(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船每天有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种． (　　)
(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种． (　　)
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘这三种交通工具的不同走法数为(　　)
A．3 B．9
C．24 D．以上都不对
知识点2　分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．
我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理．
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　)
(3)已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个． (　　)
(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种． (　　)
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7 B．12 C．64 D．81
类型1　分类加法计数原理的应用
【例1】　【链接教材P179例1】
(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[思路点拨]　(1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变设问)本例(2)条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变设问)用数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的整数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用分类加法计数原理计数时的解题流程
提醒：确定分类标准时，要确保每一类都能独立完成这件事．
[跟进训练]
1．高二一班有学生50人，男30人，女20人；高二二班有学生60人，男30人，女30人；高二三班有学生55人，男35人，女20人．
(1)从高二一班或二班或三班学生中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高二一班、高二二班的男生中或从高二三班的女生中选一名学生任校学生会体育部部长，有多少种不同的选法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　分步乘法计数原理的应用
【例2】　【链接教材P181例2】
从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变设问)若本例中的二次函数的顶点在第一象限且过原点，此时抛物线的条数为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变设问)若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＝1的参数m，n，则可以组成多少个椭圆？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．
[跟进训练]
2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　两个计数原理的综合应用
【例3】　【链接教材P181例3】
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情，其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
提醒：混合问题一般是先分步后分类．
[跟进训练]
3．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　　)
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
2．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
4．若x，y∈N＋，且x＋y6，则有序自然数对(x，y)共有________个．
5．设a，b∈{1，2，3}，则方程ax＋by＝0所能表示的不同直线的条数是__________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)分类加法计数原理的最主要特点是什么？
(2)应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？
(3)区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？
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