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第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
学习任务 核心素养
1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点) 2．能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题．(重点、难点) 3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．(难点、易混点) 1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养． 2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养．
类型1　组数问题
【例1】　有0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决组数问题的方法
(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
[跟进训练]
1．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　抽取(分配)问题
【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[跟进训练]
2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　种植与涂色问题
　涂色问题
【例3】　将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　种植问题
【例4】　在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共多少种？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
[跟进训练]
3．(1)如图所示，有A，B，C，D四地，其中B与A，C，D相邻，且A，C，D互不相邻，要求相邻两地涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有________种．
(2)小张计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
4．将3封不同的信件投到4个不同的邮箱中，则不同的投法种数为________．
5．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)选用分步乘法计数原理的依据是什么？
(2)解决较复杂的计数问题应注意什么？
1 / 1第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
学习任务 核心素养
1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点) 2．能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题．(重点、难点) 3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．(难点、易混点) 1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养． 2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养．
类型1　组数问题
【例1】　有0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
[解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．
(3)被2整除的数即为偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
[母题探究]
1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
[解]　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．
2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？
[解]　一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36个．
　解决组数问题的方法
(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
[跟进训练]
1．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
[解]　(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．
类型2　抽取(分配)问题
【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
C　[高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C．]
　求解抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[跟进训练]
2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
[解]　法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：
第一步，放第一个小球有5种选择；
第二步，放第二个小球有4种选择；
第三步，放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：
共有方法数N＝5×4×3＝60．
法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5，分成以下10类：
第一类，空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)；
第二类，空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)；
第三类，空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种)；
分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝＝60(种)．
类型3　种植与涂色问题
　涂色问题
【例3】　将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
[解]　法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理知共有48＋24＝72种不同涂法．
　种植问题
【例4】　在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共多少种？
[解]　将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．
当A种在B左边时(括号内为田垄的序号)，
①间隔6垄时，(1，8)，(2，9)，(3，10)；
②间隔7垄时，(1，9)，(2，10)；
③间隔8垄时，(1，10)．
上述共有6种选垄方法．
当B种在A左边时，同理也有6种选垄方法，
综上所述，总的选垄方法数为6＋6＝12(种)．
　解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
[跟进训练]
3．(1)如图所示，有A，B，C，D四地，其中B与A，C，D相邻，且A，C，D互不相邻，要求相邻两地涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有________种．
(2)小张计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
(1)320　(2)48　[(1)由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂A，有5种结果，再涂B，有4种结果，然后涂C，有4种结果，再涂D有4种结果，即共有5×4×4×4＝320种结果．
(2)当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]
1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]
2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
D　[第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列；
第二类，公差小于0，也有4个．
根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列．]
3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
D　[由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，
再给中间左边一块着色，有3种结果，
再给中间右边一块着色有2种结果，
最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48种结果．]
4．将3封不同的信件投到4个不同的邮箱中，则不同的投法种数为________．
64　[第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法，第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法，同理第三封也有4种投法，由分步乘法计数原理知不同的投法种数为4×4×4＝64．]
5．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．
42　[从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6种方法，所以有48－6＝42种不同的种植方法．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)选用分步乘法计数原理的依据是什么？
[提示]　当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有所有步都完成后，这件事才完成，此时就采用分步乘法计数原理．
(2)解决较复杂的计数问题应注意什么？
[提示]　解决较复杂的计数问题一般要用两个计数原理，需注意合理分类，准确分步．
分类标准要明确，做到不重不漏，分步要步步独立，步骤完整．
课时分层作业(三十五)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
一、选择题
1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)
A．25 B．20 C．16 D．12
C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16．]
2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是(　　)
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5×4
B　[5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝45种选择．]
3．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少出现一次，这样的四位数的个数是(　　)
A．20 B．16 C．14 D．12
C　[因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以符合题意得有2×2×2×2－2＝14个．]
4．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为(　　)
A．12 B．11 C．24 D．23
D　[先在{1，2，3}中取出一个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出一个元素，共有4种取法，取出的两个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24个．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23个．]
5．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有(　　)
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
B　[法一：设四人分别为a、b、c、d，写的卡片分别为A、B、C、D，
由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，
不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，
所以共有3×3×1×1＝9种分配方式．
法二：根据题意，设四人分别为甲、乙、丙、丁，列举出所有的结果，
(1)甲、乙互换，丙、丁互换；
(2)甲、丙互换，乙、丁互换；
(3)甲、丁互换，乙、丙互换；
(4)甲要乙的，乙要丙的，丙要丁的，丁要甲的；
(5)甲要乙的，乙要丁的，丙要甲的，丁要丙的；
(6)甲要丙的，丙要乙的，乙要丁的，丁要甲的；
(7)甲要丙的，丙要丁的，乙要丁的，丁要甲的；
(8)甲要丁的，丁要乙的，乙要丙的，丙要甲的；
(9)甲要丁的，丁要丙的，乙要甲的，丙要乙的．
通过列举可以得到共有9种结果．]
二、填空题
6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是________．
720　[由题意知，本题是一个分步计数问题，因为3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，所以第一张有10种不同的分法，第二张有9种不同的分法，第三张有8种不同的分法，根据分步乘法计数原理知有10×9×8＝720种不同的分法．]
7．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的比2 000大的四位奇数________个．
120　[按末位是1，3，5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类：末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类：末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120个．]
8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种．
420　[如图，四棱锥S-ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时有5×4×3×1×3＝180种．
当A，C不同色时，有
5×4×3×2×2＝240种．
因此共有180＋240＝420种．]
三、解答题
9．用0，1，2，3，…，9十个数字可以组成多少个不同的：
(1)三位数；
(2)无重复数字的三位数；
(3)小于500且没有重复数字的自然数．
[解]　(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，
所以不同的三位数共有9×10×10＝900个．
(2)百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法，个位数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数．
(3)一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81个，三位自然数有4×9×8＝288个．
所以共有10＋81＋288＝379个小于500且无重复数字的自然数．
10．用6种不同的颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法．
[解]　法一：分类：
第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120种涂法，
第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360种涂法，
共有120＋360＝480种涂法．
法二：分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法，
所以共有6×5×4×4＝480种涂法．
法三：以四个区域涂n种颜色为标准分类，可知至少用三种颜色，最多用四种颜色．
第一类：用三种颜色着色，A，D区域必须是同种颜色，
有6×5×4＝120种涂法．
第二类：用四种颜色着色，四个区域的颜色均不相同，
有6×5×4×3＝360种涂法．
所以共有120＋360＝480种不同涂法．
11．(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
BD　[设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换，共进行5＋4＋3＋2＋1＝15次交换，现共进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：
(1)由3人构成的2次交换，如a—b和a—c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．
(2)由4人构成的2次交换，如a—b和c—e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人，故选BD．]
12．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　)
3 4
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
A　[因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A．]
13．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为________，这个数列的第90项为________．
120　532　[第一步确定百位数，有6种方法，第二步确定十位数有5种方法，第三步确定个位数有4种方法，根据分步乘法计数原理知共有N＝6×5×4＝120个三位数．所以该数列的项数为120．
百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80个，百位数是5的三位数中，十位是1或2的共有4＋4＝8个，故第88个为526、第89个为531、第90个为532．]
14．对于各数互不相等的正数数组(i1，i2，…，in)(n是不小于2的正整数)，如果在p6　[根据题意，各数互不相等的正数数组(a1，a2，a3，a4，a5)的“顺序数”是4，假设a1a3，a3>a4，a4>a5，则(a5，a4，a3，a2，a1)的“顺序数”是6．]
15．设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？
[解]　以A中最大的数为标准，进行分类讨论．A中最大的数可能为1，2，3，4，共四种情况．
按分类加法计数原理做如下讨论：
①当A中最大的数为1时，即A＝{1}，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15种方法．
②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种方法．
③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种方法．
④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}， {2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8种方法．
故共有15＋14＋12＋8＝49种方法．
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