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4.3　组合
第1课时　组合与组合数公式
学习任务 核心素养
1．理解组合与组合数的概念．(重点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点) 1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养．
“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．
比较下列两个问题并发现它们之间的关系．
(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？
(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额．请问：共有几种不同的报名结果？
知识点1　组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，________地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1．怎样理解组合，它与排列有何区别？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)下列选项是组合问题的是(　　)
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学分别去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法
B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法
C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法
知识点2　组合数的概念
从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，__________________叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．如何理解组合与组合数这两个概念？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．
知识点3　组合数公式及其性质
(1)公式：＝．
(2)性质：＋．
(3)规定：＝__．
＝________；＝________．
类型1　组合的概念
【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的个数有多少个？
②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
③元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？
(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．
　判断一个问题是不是组合问题的方法技巧
(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．
(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个将各个组合表示出来．
[跟进训练]
1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：
①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　组合数公式的计算与应用
【例2】　(1)式子可表示为(　　)
A． B．
C． D．
(2)计算：＋．
(3)求证：．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件，变设问)将本例(2)改为若，求m．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变设问)将本例(3)改为证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于组合数计算公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用公式计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质＝简化运算．
[跟进训练]
2．(1)计算：＋；
(2)求等式中的n值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　组合数的两个性质
【例3】　(1)化简：－＋＝________；
(2)已知－＝，求n的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式的主要作用有：
(1)计算m，n较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．
特别地，当m>时计算，用性质＝转化，减少计算量．
[跟进训练]
＋＋＋…＋＝__________．(用数字作答)
＋＋＋＝________．
1．若＝，则x的值为(　　)
A．4 B．3 C．3或4 D．7
2．计算：＋＝(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
＝10，则n的值为________．
4．计算＋＋＝________．
＋＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)写出本节课学习的公式．
(2)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？
(3)“树形图”在解决组合问题时起到了什么作用？
1 / 14.3　组合
第1课时　组合与组合数公式
学习任务 核心素养
1．理解组合与组合数的概念．(重点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点) 1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养．
“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．
比较下列两个问题并发现它们之间的关系．
(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？
(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额．请问：共有几种不同的报名结果？
知识点1　组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1．怎样理解组合，它与排列有何区别？
[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．
(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．
1．(多选题)下列选项是组合问题的是(　　)
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学分别去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法
B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法
C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法
BD　[AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序无关，是组合问题．]
知识点2　组合数的概念
从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．
2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．
3　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同．
所以共有甲 乙，甲 丙，乙 丙三种票价．]
知识点3　组合数公式及其性质
(1)公式：＝．
(2)性质：＋．
(3)规定：＝1．
＝________；＝________．
(1)15　(2)18　[＝＝18．]
类型1　组合的概念
【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的个数有多少个？
②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
③元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？
(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
[解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．
　判断一个问题是不是组合问题的方法技巧
(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．
(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个将各个组合表示出来．
[跟进训练]
1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：
①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
[解]　(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．
(2)可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．
类型2　组合数公式的计算与应用
【例2】　(1)式子可表示为(　　)
A． B．
C． D．
(2)计算：＋．
(3)求证：．
(1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，
故
＝101·
＝．]
(2)[解]　由组合数定义知：
所以4n<5，
又因为n∈N＋，所以n＝4．
当n＝4时＋＝＋＝5．
(3)[证明]　∵右边＝
＝＝，
左边＝，∴左边＝右边，
∴原式成立．
[母题探究]
1．(变条件，变设问)将本例(2)改为若，求m．
[解]　因为，
所以m(m－1)(m－2)
＝6·，
所以m－3＝4，m＝7．
2．(变设问)将本例(3)改为证明．
[证明]　右边＝
＝
＝＝，
左边＝ ，所以左边＝右边，所以原式成立．
　关于组合数计算公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用公式计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质＝简化运算．
[跟进训练]
2．(1)计算：＋；
(2)求等式中的n值．
[解]　(1)由组合数的意义可得
即∴．∵n∈N＋，∴n＝10，
∴＋＝＋＝＋＋31＝466．
(2)原方程可变形为，
即
＝，化简整理，得n2－3n－54＝0．解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．
类型3　组合数的两个性质
【例3】　(1)化简：－＋＝________；
(2)已知－＝，求n的值．
(1)0　[原式＝(＋)－＝－＝0．]
(2)[解]　根据题意－＝，变形可得＝＋，
由组合数的性质，可得＝，
故8＋7＝n＋1，解得n＝14．
　组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式的主要作用有：
(1)计算m，n较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．
特别地，当m>时计算，用性质＝转化，减少计算量．
[跟进训练]
＋＋＋…＋＝__________．(用数字作答)
＋＋＋＝________．
(1)220　(2)210　[＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＝220．
＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝210．]
1．若＝，则x的值为(　　)
A．4 B．3 C．3或4 D．7
C　[由组合数性质知x＝4或x＋4＝7，即x＝4或x＝3．]
2．计算：＋＝(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
B　[＋＋4＝6＋4＝10．]
＝10，则n的值为________．
5　[由题意知＝10，解得n＝5或n＝－4(舍去)．]
4．计算＋＋＝________．
120　[＋＋＝＋＝＝120．]
＋＝________．
31　[由题意及组合数公式知
解得n＝6．
所以原式＝＋＝＋＝12＋19＝31．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)写出本节课学习的公式．
[提示]　；②＝1；③＝；④＋＝．
(2)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？
[提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．
(3)“树形图”在解决组合问题时起到了什么作用？
[提示]　利用“树形图”可以把组合问题直观化、形象化、起到“数形结合”中的“形”的作用，很容易不重不漏的写出所有组合．
课时分层作业(三十八)　组合与组合数公式
一、选择题
1．(多选题)下列属于组合问题的是(　　)
A．从4名志愿者中选出2人参加志愿者工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
AC　[BD项均为排列问题，只有AC项是组合问题．]
2．可表示为(　　)
D　[＝．]
3．已知＝，则m等于(　　)
A．1 B．4 C．1或3 D．3或4
C　[由＝，得m＝2m－1或m＋2m－1＝8，得m＝1或m＝3．]
4．若＝，则的值为(　　)
A．28 B．30 C．56 D．60
C　[由＝，
得4n－3＋3n＋2＝20，或4n－3＝3n＋2，
则n＝3，或n＝5．
当n＝3时＝＝56；
当n＝5时＝＝56．]
5．若∶1∶1，则m，n的值分别为(　　)
A．m＝5，n＝2 B．m＝5，n＝5
C．m＝2，n＝5 D．m＝4，n＝4
C　[由＝1∶1，得＝，
∴(m＋1)＋(m＋2)＝n＋2，即n＝2m＋1，又＝3∶5，∴＝3∶5，
解得m＝2，n＝5．]
二、填空题
6．若＝，则n＝________，＝________．
20　　[由＝，得n＝13＋7＝20．
则＝＝＝20×19＝380．所以．]
7．已知m≥－＋＝________．
0　[∵m≥4，∴－＋＝＋－＝－＝0．]
8．方程＋＝－的解集为________．
{x|x＝2}　[由组合数公式的性质可知
解得x＝1或x＝2，代入方程检验得x＝2满足方程，所以原方程的解为{x|x＝2}．]
三、解答题
9．解不等式<．
[解]　由题意，得n≥5且n∈N＋，∵<，
∴<．
∵n(n－1)(n－2)>0，
∴化简得，n2－11n－12<0，解得－1结合n的取值范围得n＝5，6，7，8，9，10，11．
∴不等式的解集为{5，6，7，8，9，10，11}．
10．解方程：
＝；
＋．
[解]　(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，∴x＝4或x＝5，
经检验x＝4或x＝5是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4或x＝5．
(2)原方程可化为，
即，
∴，
∴．
∴x2－x－12＝0，
解得x＝4或x＝－3(舍去)，
经检验，x＝4是原方程的解．
11．(多选题)若，则m的取值可能是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
BC　[由题意知0m－18，且0m8，则有1m8．
由得>3×，
变形得m>27－3m，即m>，
综上得则m＝7或8．]
12．若＝42，则的值为(　　)
A．60 B．70 C．120 D．140
D　[＝42，∴n(n－1)＝42，化简得n2－n－42＝0，
解得n＝7或n＝－6(舍去)，
则＝140．]
13．已知，则m＝________·m！＝________．
2　420　[∵，
∴
＝，
化简，得m2－23m＋42＝0，
由于0m5，解得m＝2或m＝21(舍去)，
∴＝＝210，∴m！＝2×1＝2．
∴·m！＝210×2＝420．]
14．若，则n的值为________＋＋＋…＋＝________．
7　55　[(1)根据题意，若，
则n(n－1)＝7·(n－4)(n－5)，
即3n2－31n＋70＝0，
解得n＝7或n＝(∵n∈N＋，舍去)；故n＝7．
(2)根据题意＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1
＝＋＋＋…＋－1
＝＋＋…＋－1
＝－1＝55．]
15．规定，其中x∈R，m是正整数，且＝1，这是组合数(n，m是正整数，且mn)的一种推广．
(1)求的值；
(2)组合数的两个性质：①＝；
②＋＝是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．
[解]　
＝
＝－＝－11 628．
(2)性质①不能推广，例如当x＝时，
有意义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是
＋＝(x∈R，m为正整数)．
证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝；
当m≥2时＋＝
＝
＝＝．
综上，性质②的推广得证．
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