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第2课时　组合的综合应用
学习任务 核心素养
1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点) 2．能解决无限制条件的组合问题．(难点) 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养．
类型1　简单的组合问题
【例1】　(1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种．
(2)从4名男生，3名女生中选出3名代表．
①不同的选法共有多少种？
②至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
③代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
将本例(2)改为“从4名男生，3名女生中选出3名代表，其中男生甲必须被选入，共有多少种选法？”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．
(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
[跟进训练]
1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　有限制条件的组合问题
【例2】　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　有限制条件的组合问题主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
特别地，直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多，较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
[跟进训练]
2．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？
(1)选出男、女教师各2名去参加会议；
(2)选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师；
(3)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师；
(4)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　几何中的组合问题
【例3】　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有(　　)
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有(　　)
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答几何组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材)已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　分组(分配)问题
【例4】　6本不同的笔记本，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨]　(1)是“平均分组”问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取；(2)是“均匀分组”问题；(3)是“不均匀分组”问题，分三步进行；(4)分组后再分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分组与分配问题的求解策略
(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题，若有分配对象则为分配问题，若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题．
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题如下：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！．
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
[跟进训练]
4．8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)
(1)平均分成四份；
(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；
(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；
(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；
(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；
(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；
(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；
(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．种 B．种
C．种 D．种
2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为(　　)
A．720 B．360 C．240 D．120
3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　)
A．27种 B．24种 C．21种 D．18种
4．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有______种．
5．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)解决有限制条件的组合问题常用方法有哪些？
(2)解决有限制条件的组合问题的原则是什么？
(3)“分组”问题与“分配”问题是一回事吗？
1 / 1第2课时　组合的综合应用
学习任务 核心素养
1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点) 2．能解决无限制条件的组合问题．(难点) 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养．
类型1　简单的组合问题
【例1】　(1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种．
(2)从4名男生，3名女生中选出3名代表．
①不同的选法共有多少种？
②至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
③代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？
(1)100　[需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有种选法．根据分步乘法计数原理，此人有＝100种不同的投资方式．]
(2)[解]　①即从7名学生中选出3名代表，共有选法＝35种．
②至少有1名女生的不同选法共有＋＋＝31种(或－＝31种)．
③男、女生都要有的不同的选法共有－－＝30种(或＋＝30种)．
[母题探究]
将本例(2)改为“从4名男生，3名女生中选出3名代表，其中男生甲必须被选入，共有多少种选法？”
[解]　男生甲被选入，再从剩余的6名中任意选取两名即可，所以不同的选法共有＝15种．
　解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．
(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
[跟进训练]
1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种)．
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有种方法；第2类，选出的2 名是女教师有种方法，即＋＝21(种)．
类型2　有限制条件的组合问题
【例2】　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[解]　(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有＋＝825种(或采用排除法有－＝825种)．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有＋＋＝966种．
(3)分两种情况：
第一类，女队长当选，有种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，
有＋＋＋种．
故共有＋＋＋＋＝790种．
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
[解]　分两类情况：
第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462种选法．
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有＋＝660种选法．
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122种．
　有限制条件的组合问题主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
特别地，直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多，较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
[跟进训练]
2．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？
(1)选出男、女教师各2名去参加会议；
(2)选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师；
(3)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师；
(4)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师．
[解]　(1)可把问题分两步：
第一步，从6名男教师中选2名有种选法；
第二步，从4名女教师中选2名有种选法．
根据分步乘法计数原理，共有＝15×6＝90(种)不同选法．
(2)2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有＝6×4＝24(种)不同选法．
(3)法一：(直接法)至少有1名男教师可分两类：1男1女有种选法，2男0女有种选法．根据分类加法计数原理，共有＝39(种)不同选法．
法二：(间接法)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即＝39(种)．
(4)法一：(直接法)至多有1名男教师包括两类：1男1女有种选法，0男2女有种选法．由分类加法计数原理，有＝30(种)选法．
法二：(间接法)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即＝30(种)．
类型3　几何中的组合问题
【例3】　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有(　　)
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有(　　)
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
(1)B　(2)D　[(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法；含顶点A的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时共有3种取法．
故与顶点A共面的3个点的取法共有＋3＝33(种)．
(2)从10个点中取出4个点的取法有种，除去四点共面的取法种数可以得到结果．
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有＝60(种)；
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况．
故4点不共面的取法有－(60＋6＋3)＝141(种)．]
　解答几何组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材)已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？
[解]　依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形，可画的三角形的个数，就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数，即
＝＝＝220．
因此，一共可以画220个三角形．
类型4　分组(分配)问题
【例4】　6本不同的笔记本，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨]　(1)是“平均分组”问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取；(2)是“均匀分组”问题；(3)是“不均匀分组”问题，分三步进行；(4)分组后再分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．
[解]　(1)根据分步乘法计数原理，共有＝90种分法．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种分法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种分法．根据分步乘法计数原理可得：＝，所以x＝＝15．因此分为三份，每份两本一共有15种分法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有＝60种分法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有＝360种分法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情况，有＝90种分法；②“1、2、3型”，即(4)中的分配情况，有＝360种分法；③“1、1、4型”，有＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种分法．
　分组与分配问题的求解策略
(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题，若有分配对象则为分配问题，若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题．
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题如下：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！．
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
[跟进训练]
4．8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)
(1)平均分成四份；
(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；
(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；
(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；
(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；
(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；
(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；
(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．
[解]　(1)本题属平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有种不同分法．
(2)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组，与顺序无关，有种分法，再分配给四个人，与顺序有关，有种排列方法，共有种不同的分配方法，所以有种分法．
法二：①甲从8张邮票中取2张有种取法；②乙从余下的6张中取2张有种取法；③丙从余下的4张中取2张有种取法；④丁从余下的2张中取2张有种取法．所以根据分步乘法计数原理知不同分法数为．
(3)本题属部分平均分组问题，与顺序无关，有种不同分法．
(4)本题属部分平均定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有＝(种)不同分法．
(5)本题属部分平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有种不同分法．
(6)本题属非平均分组问题，仅仅分组，与顺序无关，是组合问题，共有种不同的分法．
(7)本题属非平均定向分配问题，先分组，再分配，但是定向分配不涉及排序，所以共有种不同的分法．
(8)本题属非平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，需排列，共有种不同的分法．
1．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．种 B．种
C．种 D．种
D　[由题意，初中部和高中部学生人数之比为＝，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有种，故选D．]
2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为(　　)
A．720 B．360 C．240 D．120
D　[确定三角形的个数为＝120．]
3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　)
A．27种 B．24种 C．21种 D．18种
C　[分两类：一类是2个白球有＝15种取法，另一类是2个黑球有＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]
4．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有______种．
10　[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即＝10．]
5．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．
2 100　[按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有＝2 100种抽法．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)解决有限制条件的组合问题常用方法有哪些？
[提示]　直接法、间接法．
(2)解决有限制条件的组合问题的原则是什么？
[提示]　先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．
(3)“分组”问题与“分配”问题是一回事吗？
[提示]　不是一回事，分组属于组合问题，分配属于排列问题．
课时分层作业(三十九)　组合的综合应用
一、选择题
1．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
D　[均为奇数时，有＝5种；均为偶数时，有＝1种；两奇两偶时，有＝60种，共有66种．]
2．有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
B　[根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：
①在4本书中任选2本，分给甲，有＝6种情况，
②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法．]
3．某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合的种数为 (　　)
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
B　[根据题意，分3步进行分析：
①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；
②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有＝6种选法；
③在物理、历史两门科目中必选一门，有＝2种选法．
则这名学生的不同选科组合有1×6×2＝12种．]
4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有(　　)
A．12种 B．16种 C．20种 D．24种
B　[由题意可得：①甲选鼠和牛，乙同学有2种选法，丙同学有4种选法，共有2×4＝8种选法，
②甲选马和羊，乙同学有2种选法，丙同学有4种选法，共有2×4＝8种选法，综上共有8＋8＝16种．]
5．将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为(　　)
A．150 B．300 C．60 D．90
A　[根据题意，分2步进行分析：
①将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
若分为1、1、3的3组，有＝10种分组方法，
则有15＋10＝25种分组方法，
②将分好的三组放入三个不同的盒子中，有＝6种情况，
则有25×6＝150种放法．]
二、填空题
6．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
58　[先从8个顶点中任取4个的取法为种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为－12＝58个．]
7．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．
2　[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]
8．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64　[法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
三、解答题
9．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
[解]　(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有＝种测法，再排余下4件的测试位置，有种测法．
所以共有不同测试方法＝103 680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法＝576种．
10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
[解]　(1)所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个．
故最多可作出的三棱锥有＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
11．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种 C．30种 D．20种
B　[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有＝60(种)．故选B．]
12．(多选题)在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是(　　)
A．恰好取到一件次品有种不同取法
B．至少取到一件次品有种不同取法
C．两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法
D．把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种不同方式
AC　[根据题意，依次分析选项：
对于A：在含有3件次品的50件产品中，任取2件，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确；
对于B：至少取到1件次品包括两种情况：
只抽到一件次品，抽到两件次品，
所以至少取到一件次品有种取法，B错误；
对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法，C正确；
对于D：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种方式，D错误．]
13．(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列选项正确的有(　　)
A． B．
C． D．18
BC　[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，
有两种解法：
(1)分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种．
(2)分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种．故选BC．]
14．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，共有________种选派方法；若甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案有________种．
120　78　[若没有限制条件则共有＝120种，若有限制条件，根据题意，分3种情况讨论：
①从五名志愿者中选派的四人中有甲但没有乙， 甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可，此时有＝18种选派方法；
②从五名志愿者中选派的四人中有乙但没有甲， 乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可，此时有＝18种选派方法；
③从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，
需要在剩下3人中选出2人，有种选法，选出4人的安排方法有种，
则此时有＝42种选派方法．
故一共有18＋18＋42＝78种选派方法．]
15．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰有两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
[解]　(1)从10双鞋子中选取4双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理知，选取种数为N＝×24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法．
(3)先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理知，不同取法为N＝×22＝1 440种．
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