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第2课时　数列的递推公式及数列的性质
学习任务 核心素养
1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．掌握数列的简单性质并能应用．(重点) 1．借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理素养． 2．通过利用数列的性质求数列的最值，培养数学运算素养．
观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
知识点1　数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的________；a1称为数列{an}的初始条件．
1．所有数列都有递推公式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　数列的单调性
1．递增数列
一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作________．
2．递减数列
对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列．
3．摆动数列
对于一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
4．常数列
各项都相等的数列叫作常数列．
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
知识点3　数列中an与Sn的关系
对于数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
类型1　由递推公式求数列中的项
【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟进训练]
1．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n＞1)，写出数列{an}的前5项．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　数列的单调性及应用
【例2】　【链接教材P9例7】
已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N＋)，判断数列{an}的单调性．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　数列单调性的判断方法
(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法．
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围．解决此类问题常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1>an(n∈N＋)；
数列{an}递减 an＋1[跟进训练]
2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N＋)，且对任意 n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．λ＞0　　　　　　　 B．λ＜0
C．λ≥－2 D．λ＞－3
类型3　由递推公式求通项
【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N＋且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．由递推公式求通项公式常用的两种方法
(1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
2．本题在累加或累乘时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而出错．
类型4　an与Sn的关系
【例4】　已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用a1＝S1，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
[跟进训练]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N＋)，则a5＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N＋)，则an＝________．
4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则a7＝________．
5．已知数列an＝，则数列中的最小项是第________项．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)数列的递推关系式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
(2)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累乘法求通项an
(3)一般用什么方法求数列{an}的最大值和最小值？
数列的由来
从前，有一个穷光棍，平时只知好吃懒做，不肯踏踏实实做事情，还经常想入非非做发财梦．一天，他在路边捡到一个鸡蛋，他非常高兴，捧着鸡蛋就在脑子里盘算开了：“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡，等小鸡长大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成鸡，这些鸡又可以生更多的蛋，蛋又可变成更多的鸡……过不了几年，我就可以把蛋和鸡去换许多钱，然后可以盖新房，还可以娶个漂亮媳妇，生儿育女……”他越想越高兴，不禁得意忘形手舞足蹈，忽听“啪”的一声，鸡蛋掉在地上，碎了！懒汉看着摔碎了的鸡蛋，放声痛哭：“哎呀，我的宝贝！我的房子呀！……”
上面这则笑话流传已久，对我们很有教育意义，然而恐怕谁都没有认真计算过：如果鸡蛋没有打碎，几年后这个懒汉究竟有多少只鸡，多少个蛋呢？不过，公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波那契(Fibonacci，约1170－1250？)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用的沙盘)中提出过一个“养兔问题”，却被无数人算过．这道题说的是：
某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔．再过一个月，大兔生了一对小兔，以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔．如此下去，问一年后此人共有多少对兔子？
你能算清吗？不少同学恐怕看完题就已经动手算了，而且很快就算出了答案．不过对不对可不敢保证．说实在的，这题要算对并不那么容易，这可要不慌不忙细心地算才行．
通常可以列一个表来算这个题：
填了几行后，你就可以总结出几条结论：
(1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数．(因上个月的小兔这个月都长成大兔)
(2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数．(因上月大兔子这个月都需生一对小兔，而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子．)由(1)可知：每月小兔数就是前月的兔子总数．
(3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和．由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和．
若记第n个月的兔子数为fn，就有
f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4，…．
一般的，有fn－2＋fn－1＝fn．有了这个规律，填这个表就很容易了．
你看，养一对兔子，一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了．
按这个规律，可以把兔子数一直写下去：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…．
这样得出的一列数就称为“斐波那契数列．”
波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：
一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？
这恰好也可以得到“斐波那契数”．
人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果．比如“斐”数与黄金分割(0.618)的关系，直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用；又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数，乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”．可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘．
1 / 1第2课时　数列的递推公式及数列的性质
学习任务 核心素养
1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．掌握数列的简单性质并能应用．(重点) 1．借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理素养． 2．通过利用数列的性质求数列的最值，培养数学运算素养．
观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
知识点1　数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
1．所有数列都有递推公式吗？
[提示]　不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列吗？
[提示]　不能．数列的递推公式是由初始条件和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始条件，那么这个数列是不能确定的．
知识点2　数列的单调性
1．递增数列
一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列．
2．递减数列
对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列．
3．摆动数列
对于一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
4．常数列
各项都相等的数列叫作常数列．
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
[答案]　A
2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
A　[an＋1－an＝3n+1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．]
知识点3　数列中an与Sn的关系
对于数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
类型1　由递推公式求数列中的项
【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟进训练]
1．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n＞1)，写出数列{an}的前5项．
[解]　∵an＝3an－1＋且a1＝1．
∴a2＝3×1＋＝，
a3＝3×＝10，
a4＝3×10＋＝，
a5＝3×＝91．
类型2　数列的单调性及应用
【例2】　【链接教材P9例7】
已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N＋)，判断数列{an}的单调性．
[解]　法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则
an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，
即an＋1＞an(n∈N＋)，故数列{an}是递增数列．
法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，
则＝＝·＞1．
又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列．
法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列．
【教材原题·P9例7】
例7　判断下列数列{an}的单调性：
(1)an＝1－10n；
(2)an＝．
[解]　(1)因为an＋1－an＝(1－10n+1)－(1－10n)
＝－9·10n<0，
所以an＋1即数列{an}是递减数列．
(2)因为an＋1－an＝
＝>0，
所以an＋1>an，
即数列{an}是递增数列．
　数列单调性的判断方法
(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法．
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围．解决此类问题常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1>an(n∈N＋)；
数列{an}递减 an＋1[跟进训练]
2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N＋)，且对任意 n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．λ＞0　　　　　　　 B．λ＜0
C．λ≥－2 D．λ＞－3
D　[法一(通解通法)：因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N＋)是函数f (x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f (x)图象的对称轴为x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3．
法二(优解)：由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－(2n＋1)恒成立．而n∈N＋，所以λ＞－3．]
类型3　由递推公式求通项
【例3】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N＋且n≥2，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋…＋
＝＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N＋)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×…××a1＝×…××1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N＋)．
[母题探究]
1．本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．
[解]　由an＋1＝得＝．
即＝．
又∵a1＝1，
∴＝＋…＋
＝＋1＝＋1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．
2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解]　由a1＝2，an＋1＝3an，得a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n-1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3．
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3．
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n-1．
即＝3n-1，所以an＝a1·3n-1，又a1＝2，
故an＝2·3n-1．
　
1．由递推公式求通项公式常用的两种方法
(1)累加法：当an＝an－1＋f (n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
2．本题在累加或累乘时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而出错．
类型4　an与Sn的关系
【例4】　已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－7；
(2)Sn＝2n2－30n．
[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1．
显然a1＝－4不适合上式，
所以an＝
(2)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*．
　由前n项和求通项公式的步骤
(1)先利用a1＝S1，求出a1．
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an．
[跟进训练]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an．
[解]　当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n-1＝2·3n-1．
当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3．
∴an＝
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C　[A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．]
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N＋)，则a5＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
D　[由条件可求得，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝，故选D．]
3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N＋)，则an＝________．
　[由条件知n≥2时，
a1a2a3…an－1＝(n－1)2，
∴两式相除得an＝，
又因a1＝12＝1．不适合于an＝，
∴an＝]
4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则a7＝________．
1　[由an＋1＝an＋an＋2知an＋2＝an＋1－an，
又∵a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1．]
5．已知数列an＝，则数列中的最小项是第________项．
5　[由于an＝＝，
所以当n≥6时，an>0，
且单调递减，当n5时，an<0，且单调递减．
所以当n＝5时，an取得最小值．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)数列的递推关系式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式，它们的优缺点如下：
项目 优点 缺点
通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，也有利于对数列性质的研究 一些数列的通项公式表述困难
递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
(2)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累乘法求通项an
[提示]　①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
(3)一般用什么方法求数列{an}的最大值和最小值？
[提示]　①利用数列的单调性确定数列的最大(小)项．当数列不单调时，还需解不等式an＋1－an＞0来确定数列的单调性．
②通过解不等式组来确定，即设第k(k∈N＋，k＞1)项是数列的最大(小)项，则求出k的正整数值后代入通项公式即得最大值(最小值)．
数列的由来
从前，有一个穷光棍，平时只知好吃懒做，不肯踏踏实实做事情，还经常想入非非做发财梦．一天，他在路边捡到一个鸡蛋，他非常高兴，捧着鸡蛋就在脑子里盘算开了：“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡，等小鸡长大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成鸡，这些鸡又可以生更多的蛋，蛋又可变成更多的鸡……过不了几年，我就可以把蛋和鸡去换许多钱，然后可以盖新房，还可以娶个漂亮媳妇，生儿育女……”他越想越高兴，不禁得意忘形手舞足蹈，忽听“啪”的一声，鸡蛋掉在地上，碎了！懒汉看着摔碎了的鸡蛋，放声痛哭：“哎呀，我的宝贝！我的房子呀！……”
上面这则笑话流传已久，对我们很有教育意义，然而恐怕谁都没有认真计算过：如果鸡蛋没有打碎，几年后这个懒汉究竟有多少只鸡，多少个蛋呢？不过，公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波那契(Fibonacci，约1170－1250？)在他的《算盘全书》(这里的“算盘”指的是计算用的沙盘)中提出过一个“养兔问题”，却被无数人算过．这道题说的是：
某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔．再过一个月，大兔生了一对小兔，以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔．如此下去，问一年后此人共有多少对兔子？
你能算清吗？不少同学恐怕看完题就已经动手算了，而且很快就算出了答案．不过对不对可不敢保证．说实在的，这题要算对并不那么容易，这可要不慌不忙细心地算才行．
通常可以列一个表来算这个题：
填了几行后，你就可以总结出几条结论：
(1)每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数．(因上个月的小兔这个月都长成大兔)
(2)每个月的小兔子数就是上个月的大兔数．(因上月大兔子这个月都需生一对小兔，而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子．)由(1)可知：每月小兔数就是前月的兔子总数．
(3)每月兔子总数是当月大、小兔子数的和．由(1)、(2)知每月兔子数就等于上月与前月这两个月兔子数的和．
若记第n个月的兔子数为fn，就有
f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4，…．
一般的，有fn－2＋fn－1＝fn．有了这个规律，填这个表就很容易了．
你看，养一对兔子，一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了．
按这个规律，可以把兔子数一直写下去：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…．
这样得出的一列数就称为“斐波那契数列．”
波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：
一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？
这恰好也可以得到“斐波那契数”．
人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果．比如“斐”数与黄金分割(0.618)的关系，直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用；又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数，乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”．可见一个“养兔问题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘．
课时分层作业(二)　数列的递推公式及数列的性质
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n　　　　　　　　 B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D．]
2．(多选题)符合递推关系式an＝an－1(n≥2且n∈N＋)的数列是(　　)
A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，…
C．，2，2，4，… D．0，，2，2，…
BC　[A不对，B、C经验证符合an＝an－1，D中，因为首项为0，故不正确，故选BC．]
3．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝n B．an＝
C．an＝en-1 D．an＝
C　[由题知ln an－ln an－1＝1，
ln an－1－ln an－2＝1，
…
ln a3－ln a2＝1，
ln a2－ln a1＝1，
以上各式累加得ln an－ln a1＝n－1，
ln an＝n－1＋ln a1，又a1＝1，
∴ln an＝n－1，∴an＝en-1．]
4．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6
B　[由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝．故选B．]
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9．]
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2n　[因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，
所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*，
两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
整理得nan＋1＝(n＋1)an，
得＝，n∈N*，所以为常数列，
所以＝＝2，所以an＝2n．]
7．(教材P9例8改编)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是________．
108　[an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7，
∵n是整数，∴当n＝7时，数列取最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．]
8．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2 026个三角形数与第2 025个三角形数的差为________．
2 026　[由条件可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，所以可推测a2 026－a2 025＝2 026．故应填2 026．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项：
(1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*；
(2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*．
[解]　(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，
所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，
a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，
a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16．
因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16．
(2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以
a2＝2－＝2－＝，
a3＝2－＝2－＝，
a4＝2－＝2－＝，
a5＝2－＝2－＝．
因此，数列{an}的前5项依次为2，．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(k∈R)．
(1)当k＝1时，判断数列{an}的单调性；
(2)若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围．
[解]　(1)当k＝1时，an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝＝>0，
故数列{an}是递增数列．
(2)若数列{an}是递减数列，则an＋1－an<0恒成立，
即an＋1－an＝＝<0恒成立．
因为(2n＋5)(2n＋3)>0，所以必有3k<0，故k<0．
11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－．记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 028＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．
A　[∵a1＝2，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝，a3＝1－＝－，a4＝1－＝－3，a5＝1－＝2，…，即an＋4＝an，
∴数列{an}是以4为周期的数列．
又a1·a2·a3·a4＝a5·a6·a7·a8＝…＝a2 025·a2 026·a2 027·a2 028＝1，
又Tn为数列{an}的前n项之积，
∴T2 028＝(a1·a2·a3·a4)·(a5·a6·a7·a8)·…·(a2 025a2 026a2 027a2 028)＝1．故选A．]
12．(多选题)已知数列满足an＝n·kn，下列命题正确的有(　　)
A．当k＝时，数列为递减数列
B．当k＝时，数列一定有最大项
C．当0D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
BCD　[当k＝时，a1＝a2＝，知A错误；
当k＝时，＝·，当n<4时，>1，当n>4，<1，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当0设＝m，当n>m，即n≥m＋1时数列{an}为递减数列，当n13．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________．
－12　－2n　[由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，∴a1＝－2．a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－8，a5＝a4＋a1＝－10，∴a6＝a5＋a1＝－12，依此类推可知an＝－2n．]
14．数列{(25－2n)2n-1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
136　11　[令an＝(25－2n)2n-1，则a4＝(25－2×4)×24-1＝136．
当n≥2时，设an为最大项，则
即
解得n．
而n∈N＋，所以n＝11，
又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42，
所以数列{(25－2n)2n-1}的最大项所在的项数为11．]
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N＋，都有ana6成立，求a的取值范围．
[解]　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)．
结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N＋，都有ana6成立，结合函数f (x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8．
即a的取值范围是(－10，－8)．
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