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1.2.2　等差数列与一次函数
学习任务 核心素养
1．理解等差数列与一次函数的关系．(重点) 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习等差数列与一次函数的关系，培养数学抽象素养． 2．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
知识点1　等差数列与一次函数的关系
1．等差数列的图象
对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，
当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成．
2．等差数列的单调性与其公差d的关系
当d＞0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右____，等差数列{an}____；
当d＜0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右____，等差数列{an}____；
当d＝0时，y＝a1为____方向的直线，数列为__数列．
1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4　　　　B．　　　　C．－4　　　　D．－
知识点2　等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝______．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为__________的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为____数列；
d<0 {an}为____数列；d＝0 {an}为常数列．
2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝ap一定成立吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　)
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　)
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)
类型1　等差数列的函数性质
【例1】　【链接教材P16例5】
已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值；若不是，说明理由．
(3)判断这个数列的单调性，并求其最小的正数项．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)根据等差数列图象上两点求其通项公式一般是设an＝dn＋b，将两点的坐标代入，解方程组可得d，b，可得出等差数列的通项公式．
(2)判断等差数列单调性的方法
①公差法：d＞0时递增；d＜0时递减；d＝0时不单调．
②图象法：图象上升递增；图象下降递减；图象为水平直线不单调．
[跟进训练]
1．设是等差数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足bn＝．若对任意的n∈N＋，都有bn≥b6成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
类型2　等差数列的性质
【例2】　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　　　　B．27　　　　C．24　　　　D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
能否通过性质“m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq”找出解题突破口．由此可以顺利解出来．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N＋)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝2ap．
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N＋．若{an}为递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，则p的值为________．
类型3　等差数列的实际应用
【例3】　为了测试某种金属的热膨胀性质，将由这种金属制成的一根细棒加热，从100 ℃开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 ℃测量一次，把依次量得的数据所构成的数列{ln}在图象中表示出来，如图，根据图象解答下列问题．
(1)第5次量得的金属棒长度是多少，此时金属棒的温度是多少；
(2)求数列{ln}的通项公式和金属棒长度ln(单位：m)关于温度t(单位：℃)的函数关系式(设长度ln是关于测量序号n的一次函数)；
(3)如果在30 ℃的温度条件下，把两块这种金属制成的矩形板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
4．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)(　　)
A．0.9升 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　)
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．非等差数列
D．以上说法均不正确
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10
3．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　)
A．a6 B．a7 C．a8 D．a9
4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)在等差数列{an}中，注意两项之间的关系是什么？
(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？
1 / 11.2.2　等差数列与一次函数
学习任务 核心素养
1．理解等差数列与一次函数的关系．(重点) 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习等差数列与一次函数的关系，培养数学抽象素养． 2．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)
知识点1　等差数列与一次函数的关系
1．等差数列的图象
对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，
当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成．
2．等差数列的单调性与其公差d的关系
当d＞0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增；
当d＜0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减；
当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列．
1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝．
1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4　　　　B．　　　　C．－4　　　　D．－
A　[由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4．故选A．]
知识点2　等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝ap一定成立吗？
[提示]　不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　)
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　)
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)
[提示]　(1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　等差数列的函数性质
【例1】　【链接教材P16例5】
已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值；若不是，说明理由．
(3)判断这个数列的单调性，并求其最小的正数项．
[解]　(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，
由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得
解得∴an＝2n－3．
(2)由2n－3＝17，得n＝10∈N＋，
∴(10，17)是{an}图象上的点．
(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．
由2n－3>0，得n>，即n≥2．
所以数列{an}的最小正数项为a2＝1．
【教材原题·P16例5】
例5　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)画出数列{an}的图象；
(3)判断数列{an}的单调性．
[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点，所以
a2＝－1，a4＝－7，
即
解得
因此，an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5．
(2)由(1)可知，数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列孤立点，如图1.2-3．
(3)由(1)可知公差d＝－3<0，所以等差数列{an}为递减数列．
　(1)根据等差数列图象上两点求其通项公式一般是设an＝dn＋b，将两点的坐标代入，解方程组可得d，b，可得出等差数列的通项公式．
(2)判断等差数列单调性的方法
①公差法：d＞0时递增；d＜0时递减；d＝0时不单调．
②图象法：图象上升递增；图象下降递减；图象为水平直线不单调．
[跟进训练]
1．设是等差数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C　[在是等差数列，若a10，
所以数列是递增数列，即充分性成立；
若数列是递增数列，则必有a1所以“a12．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足bn＝．若对任意的n∈N＋，都有bn≥b6成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
B　[由已知bn＝＝＋1，
∵对任意的n∈N＋，都有bn≥b6成立，即＋1≥＋1，即，
又数列是首项为a，公差为1的等差数列，
∴an＝a＋n－1，且是递增数列，
当n→＋∞时，→0，
∴a6<0，a7>0，即解得－6类型2　等差数列的性质
【例2】　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　　　　B．27　　　　C．24　　　　D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
能否通过性质“m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq”找出解题突破口．由此可以顺利解出来．
(1)C　(2)　[(1)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5．
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝．
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，
∴这个等差数列的顺序为，c，d，．
则c＝，d＝．∴m＝ab＝，n＝cd＝．
∴|m－n|＝＝．]
[母题探究]
1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．
[解]　法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10．
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32．
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，
所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32．
2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．
[解]　法一：∵在等差数列{an}中
a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450．
解得a5＝90．∴a2＋a8＝2a5＝180．
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．
∴a1＋4d＝90．而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180．
　等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N＋)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝2ap．
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N＋．若{an}为递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，则p的值为________．
　[因为数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn，而a1＝1，所以a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1．
又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，
即3p2－p＝0，解得p＝0或p＝．
当p＝0时，an＋1＝an，这与数列{an}是递增数列矛盾，故p＝．]
类型3　等差数列的实际应用
【例3】　为了测试某种金属的热膨胀性质，将由这种金属制成的一根细棒加热，从100 ℃开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 ℃测量一次，把依次量得的数据所构成的数列{ln}在图象中表示出来，如图，根据图象解答下列问题．
(1)第5次量得的金属棒长度是多少，此时金属棒的温度是多少；
(2)求数列{ln}的通项公式和金属棒长度ln(单位：m)关于温度t(单位：℃)的函数关系式(设长度ln是关于测量序号n的一次函数)；
(3)如果在30 ℃的温度条件下，把两块这种金属制成的矩形板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？
[解]　(1)由题图得l5＝2.005(m)，此时金属棒的温度t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)．
即第5次量得的金属棒长度是2.005 m，此时金属棒的温度是300 ℃．
(2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001，l2＝2.002，
得解得
所以{ln}的通项公式是ln＝0.001n＋2(n∈N＋)．
由题意可得t＝50(n－1)＋100＝50n＋50，
所以n＝，代入通项公式，得ln＝0.000 02t＋1.999．
由上式可知，ln也是关于t的一次函数，不过t不限于取正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数．
(3)由(2)知当t＝30 ℃时，ln＝0.000 02×30＋1.999＝1.999 6(m)；
当t＝500 ℃时，ln＝0.000 02×500＋1.999＝2.009(m)．
在30 ℃温度条件下铺设两块这种金属板时，它们之间的空隙至少为2.009－1.999 6＝0.009 4(m)．
　解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题．
[跟进训练]
4．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)(　　)
A．0.9升 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
B　[不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得
故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．]
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　)
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．非等差数列
D．以上说法均不正确
B　[由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b，
∴数列{2an}的公差为2d．]
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10
A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5．]
3．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　)
A．a6 B．a7 C．a8 D．a9
B　[∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d，∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故选B．]
4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．
12　[在等差数列{an}中，∵a1＋a15＝2a8，∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝∴－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是________．
－2，0，2，4　[设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)在等差数列{an}中，注意两项之间的关系是什么？
[提示]　在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d．
(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？
[提示]　
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)
性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an
性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d
性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn)是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列
性质6 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列
课时分层作业(四)　等差数列与一次函数
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　)
A．　　　B．±　　　C．－　　　D．－
D　[在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，即3a7＝4π，
∴a7＝，又∵a2＋a12＝2a7．∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－．]
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
B　[∵2an＝an－1＋an＋1，
∴{an}是等差数列，
由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
∴a3＋a4＝3＋4＝7．]
3．设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且＝an，当P，A，B三点共线时，数列为(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
B　[由题：＝an，P，A，B三点共线，
根据共线定理，则an＋2－an－1＝1，即an－an－1＝－1，
所以数列是一个公差为－1的等差数列，所以是递减数列．]
4．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是(　　)
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
D　[利用等差数列的单调性可得：若a2>a1，所以公差d>0，所以等差数列是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，∴A，B正确；
则a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，∴D不一定成立；
若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，
∴C正确．]
5．已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
A　[在等差数列中，由a1＝13，a5＜0，得，得－d＜－，
∵公差d 为整数，
∴d＝－4．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________．
132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．]
7．已知(1，3)，(3，－1)是等差数列图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq的值为________．
－10　[设等差数列通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2＝－10．]
8．已知是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N＋，都有bnb5成立，则实数a的取值范围是________．
　[由题可知：bn＝1＋，
当n∈和时，该数列递减．
若1－a0，则该数列在n∈N＋上递减，不可能满足题意；
若1－a>0，要满足题意，只需1－a∈，解得a∈．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式．
[解]　法一：设{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，
∴a1＝4－7d．
代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±．
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋．
法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4．
a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，
∴16－25d2＝7，
∴d＝±．
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；
当d＝－时，an＝－n＋．
法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，
∴a8＝4，∴
∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，
∴或
由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，
∴an＝a3＋(n－3)d＝n－．
同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋．
10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解]　法一：设这三个数为a，b，c(a法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，
∴这三个数为4，6，8．
11．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是(　　)
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列{an＋3nd}是递增数列
AD　[在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；＝＝＋d．当b＞0时，数列递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列，D正确．故选AD．]
12．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
A　[∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0．∵Δ＝62－4×10＝－4＜0，∴方程无实根．]
13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________，________，________．
2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度的气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．]
14．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是________．
　[由题意可设四个根分别为＋d，＋2d，＋3d，由一元二次方程根与系数的关系可得a＋b＝，且＋3d＝＋d＋＋2d＝1，解得d＝，a＋b＝．]
15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息图如图．甲调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30减少到第6年的10．
甲　　　　　　　　　乙
请根据提供的信息回答问题．
(1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数．
(2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
(3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由．
[解]　由题图甲可知，从第1年到第6年每个养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；由题图乙可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn．
(1)由a1＝1，a6＝2得
所以 a2＝1.2．
由b1＝30，b6＝10得
所以 b2＝26．
故c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2．
综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年平均出产鸡31.2万只．
(2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20(3)因为an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6且n∈N＋)，
bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1n6且n∈N＋)．
所以cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝＋3.6n＋27.2(1n6且n∈N＋)．
上式可以看作cn关于n的二次函数关系式．因为二次函数f (x)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的图象的对称轴为直线x＝，所以当n＝2时，cn最大，即第2年该县的养鸡业规模最大．
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