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1.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
学习任务 核心素养
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？”
思考：怎样计算1＋2＋3＋…＋99＋100
知识点1　等差数列的前n项和公式及推导
等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d
推导方法 倒序相加法
推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝＋an)，∴Sn＝． 又∵an＝a1＋(n－1)d，∴上述公式又可以写成Sn＝na1＋d
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　)
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式． (　　)
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． (　　)
知识点2　等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．
特别地，若a1>0，d>0，则___是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值．
我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型1　等差数列前n项和的有关计算
【例1】　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25　　 　B．22　　　 C．20　　 　D．15
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________．
(3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求数列的基本量的基本方法
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解．
[跟进训练]
1．(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B． C．1 D．
(2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　)
A．154 B．153 C．77 D．78
类型2　等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】　【链接教材P19例7】
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
判断是否构成了等差数列，公差是多少？尝试可用前n项和公式来解决．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n．
[跟进训练]
2．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
类型3　等差数列前n项和和Sn的最大(小)值
【例3】　【链接教材P20例10】
数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大？
(1)Sn与an间的关系是什么？能否利用这种关系求数列的通项公式？
(2)等差数列{an}的前n项和Sn为关于n的二次函数，是否可以利用二次函数求最值方法解决？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变结论)本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
[跟进训练]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＞0，S11＝S18．问当n为何值时，Sn最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1　 　　B．　　 　C．2　 　　D．3
2．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝ (　　)
A．288 B．144 C．572 D．72
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
5．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N＋)，其中a，b为常数，则ab＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)等差数列的前n项和公式有几种形式？
(2)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
(3)常用的数列求和公式有哪些？
1 / 11.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
学习任务 核心素养
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？”
思考：怎样计算1＋2＋3＋…＋99＋100
知识点1　等差数列的前n项和公式及推导
等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d
推导方法 倒序相加法
推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝＋an)，∴Sn＝． 又∵an＝a1＋(n－1)d，∴上述公式又可以写成Sn＝na1＋d
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　)
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式． (　　)
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． (　　)
[提示]　(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
知识点2　等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
[提示]　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
类型1　等差数列前n项和的有关计算
【例1】　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25　　 　B．22　　　 C．20　　 　D．15
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________．
(3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________．
(1)C　(2)15　(3)－171　[(1)法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．
法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C．
(2)设等差数列{an}的公差为d，则
解得
∴a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15．
(3)由Sn＝＝＝－1 022，得n＝4．
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171．]
　求数列的基本量的基本方法
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理．
(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．
(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解．
[跟进训练]
1．(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B． C．1 D．
(2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　)
A．154 B．153 C．77 D．78
(1)D　(2)C　[(1)由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋d＝1 9a1＋36d＝1，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝．故选D．
(2)根据题意，等差数列{an}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又a10＝8，
∴S14＝＝＝77．故选C．]
类型2　等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】　【链接教材P19例7】
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
判断是否构成了等差数列，公差是多少？尝试可用前n项和公式来解决．
[解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－．
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
【教材原题·P19例7】
例7　某体育场一角的看台共有20排，每一排都比前一排多两个座位，第一排有15个座位．问体育场这一角里共有多少个座位？
[解]　设第n排的座位有an个，则得到的数列{an}(1n20)是首项为15，公差为2的等差数列．
根据等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，这一角里总共的座位数为S20＝20×15＋×2＝680．
　遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n．
[跟进训练]
2．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．]
类型3　等差数列前n项和和Sn的最大(小)值
【例3】　【链接教材P20例10】
数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大？
(1)Sn与an间的关系是什么？能否利用这种关系求数列的通项公式？
(2)等差数列{an}的前n项和Sn为关于n的二次函数，是否可以利用二次函数求最值方法解决？
[解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令an≥0，得34－2n≥0，所以n17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的
图象可知：当n17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法四：设Sn＝An2＋Bn．
∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
2．(变结论)本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　由数列{an}的通项公式an＝34－2n知，当n17时，an≥0；
当n≥18时，an<0．
所以当n17时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2．
当n≥18时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544．
故Tn＝
【教材原题·P20例10】
例10　已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S17＝S9．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值及对应的n值．
[解]　(1)记数列{an}的公差为d．
由S17＝S9得17a1＋d＝9a1＋d．
又a1＝25，解得d＝－2，所以
an＝a1＋(n－1)d＝27－2n．
(2)因为Sn＝
＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169，
所以当n＝13时，Sn取最大值，S13＝169．
　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
[跟进训练]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＞0，S11＝S18．问当n为何值时，Sn最大？
[解]　法一：由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，
即a1＝－14d＞0，所以d＜0．
解不等式组
即得14n15．
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
法二：由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0．又a1＞0，所以d＜0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1　 　　B．　　 　C．2　 　　D．3
C　[设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得解得]
2．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝ (　　)
A．288 B．144 C．572 D．72
B　[∵a1＋a16＝a2＋a15＝a5＋a12，∴由a2＋a5＋a12＋a15＝36得2(a1＋a16)＝36．即a1＋a16＝∴＝＝8×18＝144．故选B．]
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
B　[由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n．
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝．
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．]
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
95　[因为数列{an}为等差数列，则由题意得解得
则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
5．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N＋)，其中a，b为常数，则ab＝________．
－1　[由an＝4n－得a1＝4－＝．
∴a1＋a2＋…＋an＝＝＝2n2－n，
∴a＝2，b＝－．即ab＝－1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)等差数列的前n项和公式有几种形式？
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn形式．
(2)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示]　①通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其中n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．
②二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N＋及二次函数图象的对称性来确定．
③图象法：借助二次函数的图象的对称性来求解．
(3)常用的数列求和公式有哪些？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
12＋22＋32＋…＋n2＝．
课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a2＋a3＝8，S5＝25，则该数列的公差为 (　　)
A．－2　　　 B．2　 　　C．－3　 　　D．3
B　[由条件可得(a1＋d)＋(a1＋2d)＝8且5a1＋d＝25．解得d＝2．]
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝(　　)
A．99 B．33 C．198 D．66
D　[因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则
S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D．]
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665 C．763 D．663
B　[由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665．]
4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10 C．19 D．29
B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝．
当n＝19时，S19＝190．当n＝20时，S20＝210>200．∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]
5．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是(　　)
A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
A　[记8个儿子按年龄从大到小依次分绵a1斤，a2斤，a3斤，．．．，a8斤，
因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，
所以数列为等差数列，且公差为17，所以an＝a1＋17．
因为绵的总数为996斤，所以8a1＋×17＝996，解得a1＝65．
所以第7个儿子分到的绵是a7＝65＋17×6＝167(斤)．]
二、填空题
6．记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
2　[由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．]
7．在等差数列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为________．
70　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
则解得
所以Sn＝na1＋d＝－n2＋n．
因为二次函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝，n∈N＋，
所以当n＝7时，(Sn)max＝70．]
8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．
304　[因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40 d＝－8，所以an＝40－8n．所以|an|＝|40－8n|＝所以前12项之和为＝80＋224＝304．]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50．
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n．
[解]　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d．
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n．
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0．
(1)求公差d的取值范围；
(2)该数列的前几项和最大？
[解]　(1)由a3＝12，S12＞0，S13＜0，得
整理得
解得－＜d＜－3．
故公差d的取值范围是．
(2)法一：由题意可得d＜0，∴{an}为递减数列．由S12＞0，S13＜0，可知在1n12中，必存在自然数n，使得an≥0，an＋1＜0，此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
∵∴a7＜0，a6＞0，∴前6项和最大．
法二：解关于n的不等式组
得
由－＜d＜－3，得n3－＜3＋＝7，n＞2－＞2＋＝5.5．
∴5.5＜n＜7．
∵n∈N＋，
∴n＝6．故当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
法三：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d＝n2＋n＝－．
由－＜d＜－3，知6＜＜6.5，
∴当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　)
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
ABD　[显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．
又若对任意n∈N＋，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．
而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]
12．(多选题)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9则(　　)
A．d＞0 　　 B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值 　　 D．S5＞S6
BC　[因为Sn＝na1＋d，所以Sn＝n2＋n，
则Sn是关于n(n∈N＋，n≠0)的一个二次函数，又a1＞0且S6＝S9，则d<0，故A错误，
对称轴n＝＝，开口向下，
又n为整数，所以Sn在[1，7]上单调递增，
在[8，＋∞)上单调递减，
所以S5＜S6，故D错误，所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确，由题意知a7＋a8＋a9＝0，
∴a8＝0，故B正确，故选BC．]
13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________．
－2　－1　[由题意知
解得
所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1．]
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．]
15．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S4＝－20．
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d．
∵S2＝2，S4＝－20，∴2a1＋d＝2，4a1＋6d＝－20．
联立解得a1＝4，d＝－6．∴an＝4－6(n－1)＝10－6n．
Sn＝＝7n－3n2．
(2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3．
∴2[7(n＋2)－3(n＋2)2＋2n]＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5．
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．
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