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1.3　等比数列
1.3.1　等比数列及其通项公式
学习任务 核心素养
1．理解等比数列的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？
知识点1　等比数列的概念
文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之__都等于__________，那么这个数列称为等比数列．这个常数叫作等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)
等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)
(3)常数列一定为等比数列． (　　)
知识点2　等比中项
在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成____数列，则G称为a与b的等比中项．
当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　 B．－1　　 　C．±1　　 　D．2
知识点3　等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝_________．
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
类型1　等比数列通项公式的基本运算
【例1】　【链接教材P26例1】
在等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第四个，其中a1与q是基本量．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．在等比数列{an}中．
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　等比中项及应用
【例2】　(1)设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　)
A．8　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．
(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42．求a5，a7的等比中项．
(1)利用等比中项建立等式，再寻找求最小值的方法．
(2)按等比数列基本量的运算确定a5，a7后，这两项的等比中项也就确定了．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等比中项的三个功能
(1)求等比中项，任何同号的两个实数a，b的等比中项为±；异号的两数没有等比中项．
(2)建立等量关系式，a，b，c成等比数列 b2＝ac．
(3)证明数列为等比数列，若在数列{an}中，anan＋2＝ {an}为等比数列．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．－8
(2)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，则实数x的值为________．
类型3　等比数列的判断与证明
【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下：
(1)定义法：若当n≥1，n∈N＋时，＝q(q≠0，q为常数)，则数列{an}为等比数列．
(2)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N＋)，则数列{an}为等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式an＝cqn(c，q≠0)，则数列{an}为等比数列．
2．一般地，若数列{an}满足递推关系式an＝kan－1＋b(k，b∈R，k≠1)，则可构造等比数列，通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式．
3．一般地，若数列{an}满足Sn＝kan＋b(k，b∈R，k≠0，且k≠1)，则根据Sn与an的关系可推得{an}是首项为，公比为的等比数列．
[跟进训练]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．求证：数列是等比数列．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)
A．an＝n　　　　　　 B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
2．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．16
3．若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5＝(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
5．在等差数列{an}中，a3＝0，如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
(2)任何两个实数都有等比中项吗？
(3)如何判断一个数列为等比数列？
等比数列的由来
等比数列源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年—前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7，49，343，2 401，16 807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜．2 000多年中无人能解释．
直到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题：
今有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？
显然这是一个等比数列的求和问题．
由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然这仅仅是推测．
我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：
今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？
这并不是纯粹的互相传抄，而是反映了数学发展的内部规律．
1 / 11.3　等比数列
1.3.1　等比数列及其通项公式
学习任务 核心素养
1．理解等比数列的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？
知识点1　等比数列的概念
文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)
等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)
(3)常数列一定为等比数列． (　　)
[提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　等比中项
在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．
当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
2.2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　 B．－1　　 　C．±1　　 　D．2
C　[设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1．即a＝±1．]
知识点3　等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1．
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．
又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]
类型1　等比数列通项公式的基本运算
【例1】　【链接教材P26例1】
在等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[解]　设首项为a1，公比为q．
(1)法一：因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn-1＝．
法二：因为a7＝a4q3，
所以q3＝4，q＝．
所以an＝a4qn-4＝2·．
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32，
又an＝1，
∴32×＝1．
即26-n＝20，所以n＝6．
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．
由an＝a1qn-1＝1，知n＝6．
【教材原题·P26例1】
例1　已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
(2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n．
[解]　(1)由等比数列的通项公式可知，
这是一个关于a1和q的方程组，②÷①得q3＝27，即q＝3．
因此，a1＝．
因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2．
(2)由等比数列的通项公式，得an＝a1qn-1＝125×＝54-n．
又an＝3.2×10-4＝5-5，
因此，54-n＝5-5，得n＝9．
　1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第四个，其中a1与q是基本量．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．在等比数列{an}中．
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
[解]　(1)∵an＝a1·qn-1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n-1＝128，
∴2n-1＝32，
∴n－1＝5，n＝6．
(2)∵an＝a1·qn-1＝625，n＝4，q＝5，
∴a1＝＝＝5．
(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2．
当q＝2时，an＝a1qn-1＝2·2n-1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn-1＝2·(－2)n-1
＝(－1)n-12n，
∴数列{an}的公比q为2或－2，
对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n-12n．
类型2　等比中项及应用
【例2】　(1)设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　)
A．8　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．
(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42．求a5，a7的等比中项．
(1)利用等比中项建立等式，再寻找求最小值的方法．
(2)按等比数列基本量的运算确定a5，a7后，这两项的等比中项也就确定了．
(1)B　[因为是5a与5b的等比中项，
则＝5a·5b，所以a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．]
(2)[解]　设该等比数列的公比为q，
∵
∴
1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
②÷①得q(1－q)＝ q＝，
∴a1＝＝＝96．
设G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962·＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3．
　等比中项的三个功能
(1)求等比中项，任何同号的两个实数a，b的等比中项为±；异号的两数没有等比中项．
(2)建立等量关系式，a，b，c成等比数列 b2＝ac．
(3)证明数列为等比数列，若在数列{an}中，anan＋2＝ {an}为等比数列．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．－8
(2)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，则实数x的值为________．
(1)A　(2)－4　[(1)由题意可得＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋×2＝10．
(2)根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．]
类型3　等比数列的判断与证明
【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列．
[证明]　∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
　1．判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下：
(1)定义法：若当n≥1，n∈N＋时，＝q(q≠0，q为常数)，则数列{an}为等比数列．
(2)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N＋)，则数列{an}为等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式an＝cqn(c，q≠0)，则数列{an}为等比数列．
2．一般地，若数列{an}满足递推关系式an＝kan－1＋b(k，b∈R，k≠1)，则可构造等比数列，通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式．
3．一般地，若数列{an}满足Sn＝kan＋b(k，b∈R，k≠0，且k≠1)，则根据Sn与an的关系可推得{an}是首项为，公比为的等比数列．
[跟进训练]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．求证：数列是等比数列．
[证明]　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以Sn＋1－Sn＝Sn，
所以n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，
所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以＝2．
因为＝a1＝1≠0，
所以≠0(n∈N＋)，
所以＝2(常数)，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)
A．an＝n　　　　　　 B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
C　[只有选项C具备an＝cqn的形式，故选C．]
2．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．16
A　[两式相加得a5＝32，两式相减得a1＝2．
∴q4＝＝16．∴q2＝4．∴a3＝a1q2＝2×4＝8．故选A．]
3．若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5＝(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
B　[∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1．两式作差得an＝2an－1，∵q＝＝2，又a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1．∴a5＝a1×q4＝1×24＝16．故选B．]
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
4n-1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．]
5．在等差数列{an}中，a3＝0，如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
9　[∵a3＝0，∴ak＝(k－3)d，a6＝3d，ak＋6＝(k＋3)d．由条件知3d×(k＋3)d＝(k－3)2d2，解得k＝9，故应填9．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．
(2)任何两个实数都有等比中项吗？
[提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．
(3)如何判断一个数列为等比数列？
[提示]　
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N＋) {an}为等比数列
等比中项法 ＝anan＋2(n∈N＋且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
等比数列的由来
等比数列源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年—前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7，49，343，2 401，16 807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜．2 000多年中无人能解释．
直到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题：
今有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？
显然这是一个等比数列的求和问题．
由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然这仅仅是推测．
我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：
今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？
这并不是纯粹的互相传抄，而是反映了数学发展的内部规律．
课时分层作业(七)　等比数列及其通项公式
一、选择题
1．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是(　　)
A．{lg an}　　　　　　 B．{1＋an}
C． D．{}
C　[因为数列{an}是等比数列，所以an＝a1qn-1，
对于A，＝不一定是常数，故A不一定是等比数列；
对于B，{1＋an}可能有的项为零，故B不一定是等比数列；
对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列{an}公比的倒数，故C项一定是等比数列；
对于D，当q<0时，数列{an}存在负项，此时无意义，故D项不符合题意．故选C．]
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ (　　)
A．4　　　B．2　　　C．－2　　　D．－4
D　[根据已知条件知，a＋c＝2b①，bc＝a2②且a＋3b＋c＝10③，由①③得b＝2．把b＝2代入①②解得a＝2(舍)或a＝－4．故选D．]
3．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　)
A． B． C． D．
A　[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝∴＝＝＝．]
4．实数－1，x，y，t，－4等比数列，则xyt等于(　　)
A．－4 B．1 C．8 D．－8
D　[设a1＝－1，a2＝x，a3＝y，a4＝t，a5＝－4，
由等比数列知xt＝a2a4＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，
y2＝＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，因为y＜0，所以y＝－2，所以xyt＝4×(－2)＝－8，故选D．]
5．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为(　　)
A． B．－ C． D．1
C　[设等差数列的公差为d(d≠0)，则a3＝1＋2d，a7＝1＋6d，a16＝1＋15d，由条件可知(1＋2d)(1＋15d)＝(1＋6d)2，解得d＝或d＝0(舍)，故选C．]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________．
3×2n-3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2．
所以an＝a1qn-1＝a1q2·qn-3＝a3·qn-3＝3×2n-3．]
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27，81　[设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3．
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．]
8．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝144，4a2＋a4＝48，则数列{an}的公比为________．
2　[由a2a4＝144，得q4＝144，因为各项均为正数，所以a1q2＝12，由4a2＋a4＝48，得4a1q＋a1q3＝48，解得a1＝3，q＝2，所以公比为2．故答案为2．]
三、解答题
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
[解]　令an＋1＋k＝2(an＋k)，即an＋1＝2an＋k，
与an＋1＝2an＋1比较得k＝1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
又因为a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1，所以an＝2n－1．
10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且 a2·a5＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解]　(1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，
又a2·a5＝，
所以＝，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－．
(2)设an＝－，则－＝－＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
11．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　)
A．－ B．－2 C．1 D．－1
AC　[由题意知2a3＝a1＋a2，∴2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选AC．]
12．(多选题)有下列四个命题，正确的是(　　)
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
AC　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选AC．]
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0． ①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1． ②
由①②解得a1＝，d＝－1．]
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N＋)，则数列{an}中，a1＝________，an＝________．
2　3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2，
当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N＋)，
得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，两式相减得2an＝3an－3an－1－2，
即an＝3an－1＋2，整理得＝3，
∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝3n，∴an＝3n－1．故答案为a1＝2，an＝3n－1．]
15．(1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
[解]　(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N＋均成立．将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n+1＋3n+1－p(2n＋3n)]2＝[2n+2＋3n+2－p(2n+1＋3n+1)][2n＋3n－p(2n-1＋3n-1)]，整理得(2－p)(3－p)＝0，解得p＝2或p＝3．
(2)证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q．要证{cn}不是等比数列，只需证≠c1c3．
因为＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝q2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝q2＋a1b1(p2＋q2)，
所以－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p－q)2．
因为p≠q，
所以p－q≠0，
又a1≠0，b1≠0，
所以≠c1c3．
故{cn}不是等比数列．
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