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1.3.3　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和公式
学习任务 核心素养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养． 2．借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养．
意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形面积为cn，请问你用什么方法能求出Sn和cn呢？
知识点1　等比数列的前n项和公式
类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若在等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，求公比q．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫作错位相减法．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为____数列，{bn}为____数列．
2．求和S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型1　等比数列基本量的运算
【例1】　在等比数列{an}中．
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2·a4＝(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5 C．－8 D．－11
类型2　错位相减法
【例2】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
(1)可用基本运算，解方程组的方法求an和bn．
(2)尝试用错位相减法求和．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列前n项和Sn′．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列的前n项和Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　错位相减法的适用条件及注意事项
(1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．
(2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．
[跟进训练]
2．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】　【链接教材P32例7】
小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少？
列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息，尝试用等比数列前n项和解决．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分期付款问题的求解策略
分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题通常有两种处理方法，一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．
[跟进训练]
3．某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问：每年年底应支付多少元？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P34练习T1(2)改编)已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93 B．－93 C．45 D．－45
2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝5，S5＝55，则公比q等于(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则等于(　　)
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
4．数列1，x，x2，…，xn-1，…的前n项和为(　　)
A． B．
C． D．以上均不对
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125 m吗？________(填“能”或“不能”)
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何使用等比数列前n项和公式求和？
(2)等比数列前n项和公式是如何推导的？
(3)你是如何理解错位相减法的？
1 / 11.3.3　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和公式
学习任务 核心素养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养． 2．借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养．
意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形面积为cn，请问你用什么方法能求出Sn和cn呢？
知识点1　等比数列的前n项和公式
类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
[提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
1．若在等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，求公比q．
[解]　若q＝1时，S3＝3a1＝3符合．
若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3．
解得q＝－2．
故公比q的值为1或－2．
知识点2　错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫作错位相减法．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
2．求和S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn．
[解]　当x＝0时，S＝0，
当x＝1时，S＝1＋2＋3＋…＋n＝，
当x≠1且x≠0时，S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， ①
xS＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn+1， ②
①－②得(1－x)S＝(x＋x2＋…＋xn)－nxn+1＝－nxn+1，
∴S＝．
类型1　等比数列基本量的运算
【例1】　在等比数列{an}中．
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[解]　(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n+1－或Sn＝．
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝＝．
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝．
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝．
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或．
　1．“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2·a4＝(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5 C．－8 D．－11
(1)A　(2)D　[(1)因为S3＝，S6＝，即S6≠2S3，所以q≠1，所以两式相除可得＝，所以q3＝8，即q＝2，a1＝，则a2·a4＝q4＝×24＝4．故选A．
(2)在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q．由已知得q＝1不成立，因此q≠1．由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，即a1q·(8＋q3)＝0，由等比数列的性质知q＝－2，所以＝＝＝－11，故选D．]
类型2　错位相减法
【例2】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
(1)可用基本运算，解方程组的方法求an和bn．
(2)尝试用错位相减法求和．
[解]　(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0．
由题意，得解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n-1＝2n．
(2)令cn＝anbn＝n·2n，
所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n-2＋(n－1)×2n-1＋n·2n，
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n＋n·2n+1，
两式相减得：－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n-1＋2n－n·2n+1
＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，
所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2．
[母题探究]
1．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列前n项和Sn′．
[解]　令cn＝＝＝，
∴Sn′＝＋…＋， ①
∴Sn′＝＋…＋， ②
∴①－②得：Sn′＝
＝
＝1－，
∴Sn′＝2－．
2．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列的前n项和Tn．
[解]　∵bn＝2n，
∴前n项和为Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×．
∴Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝－(2n－1)×＝，
所以Tn＝3－＝3－．
　错位相减法的适用条件及注意事项
(1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．
(2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．
[跟进训练]
2．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
[解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n，
∴an＝
当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1，
∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，　①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn．
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝；
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
类型3　等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】　【链接教材P32例7】
小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少？
列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息，尝试用等比数列前n项和解决．
[解]　法一：设小华每期付款x元，第k(k取2，4，6，8，10，12)个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
……
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈880.8．
故小华每期付款金额约为880.8元．
法二：设小华每期付款x元，到第k(k取2，4，6，8，10，12)个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x，
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)，
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)，
……
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．
∵年底付清欠款，
∴A12＝5 000×1.00812，
即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
∴x＝≈880.8．
故小华每期付款金额约为880.8元．
【教材原题·P32例7】
例7　某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨(参考数据：lg 1.6≈0.204，lg 1.1≈0.041，结果保留整数)
[解]　设制糖厂第n年的产量为an万吨．由题意，{an}是一个等比数列，其中
a1＝5，q＝1＋10%＝1.1．
由于Sn＝30，
所以＝30．
整理后，得
1．1n＝1.6．
两边取对数，得
n lg 1.1＝lg 1.6．
从而求得
n＝≈≈4.98≈5．
答：约5年内可以使总产量达到30万吨．
　分期付款问题的求解策略
分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题通常有两种处理方法，一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．
[跟进训练]
3．某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问：每年年底应支付多少元？
[解]　余款10万元6年的本利和是＝105×1.16．
设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5
＝a·＝10a(1.16－1)．
由105×1.16＝10a(1.16－1)得
a＝≈22 960(元)．
∴每年年底应支付22 960元．
1．(教材P34练习T1(2)改编)已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93 B．－93 C．45 D．－45
A　[S5＝＝＝93．]
2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝5，S5＝55，则公比q等于(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
C　[∵a1＝5，S5＝55≠5×5，∴S5＝＝55，∴1－q5＝11(1－q)，将选项代入验证得q＝－2．]
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则等于(　　)
A．(2n－1)2 B．(2n－1)
C．4n－1 D．(4n－1)
D　[∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-1，当n＝1时，a1＝21－1＝21-1＝1，故an＝2n-1，q＝＝＝1，q2＝＝＝(4n－1)．]
4．数列1，x，x2，…，xn-1，…的前n项和为(　　)
A． B．
C． D．以上均不对
D　[当x＝0时，数列为1，0，0，…，0，…，前n项和为Sn＝1．当x＝1时，数列为1，1，…，1，1，…，前n项和为Sn＝n．当x≠1且x≠0时，数列为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝x，所以前n项和Sn＝＝＝．∴1＋x＋x2＋…＋xn-1＝故选D．]
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125 m吗？________(填“能”或“不能”)
不能　[用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125．
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何使用等比数列前n项和公式求和？
[提示]　①等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
②q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
(2)等比数列前n项和公式是如何推导的？
[提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
(3)你是如何理解错位相减法的？
[提示]　设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，数列{cn}满足cn＝anbn，则{cn}的前n项和为
Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn
＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn，①
qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbn＋1．②
①－②得
(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋－anbn＋1，
∴Sn＝．
课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式
一、选择题
1．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝(　　)
A．－32　　　B．－16　　　C．16　　　D．32
D　[因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32．]
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则{an}的公比为(　　)
A．－或 B．或－
C．－3或2 D．3或－2
A　[依题意
两式相除得＝，即6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，解得q＝－或q＝．故选A．]
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　)
A．或5 B．或5 C． D．
C　[设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝．]
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3．
故选B．]
5．(多选题)数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，若a2＝2，a4＝8，则S10的可能值为(　　)
A．1 023 B．341 C．1 024 D．342
AB　[因为数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，所以数列{an}为等比数列，因为a2＝2，a4＝8，所以q2＝＝4，所以q＝±2，
当q＝2时a1＝1，所以S10＝＝1 023．
当q＝－2时a1＝－1，
所以S10＝＝341．故选AB．]
二、填空题
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
－　[由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－．]
7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．
2n-1－　[由a4＝a1q3得q＝－2，
∴an＝(－2)n-1，
∴|an|＝2n-2．∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n-1－．]
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．
6　[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2≥100，则2n+1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n+1}为递增数列，所以n≥6，即n的最小值为6．]
三、解答题
9．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列，
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N＋)．
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．
∴b1＝4，＝＝4，
∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
∴Tn＝＝＝．
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和．
[解]　(1)因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3，
所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列的公比q＝，故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝．
(2)由等比数列求和公式得Sn＝＝－．
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝n＝－n－．
11．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0．则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
ABC　[∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0∴0C中，T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；
D中，因为a7>1，012．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
C　[法一：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．
法二：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)·(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．]
13．设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________．
1　121　[由于解得由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n-1，即Sn＝，所以S5＝121．]
14．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．
2　2n－＋1　[由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋(x－2)＝5．解得x＝2，即2天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1．]
15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn．
[解]　(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0．
由题意得
消去x1得3q2－5q－2＝0．
因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n-1．
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n-1＝2n-1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n-1＝(2n＋1)×2n-2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2-1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n-3＋(2n＋1)×2n-2．①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n-2＋(2n＋1)×2n-1．②
①－②得，－Tn＝3×2-1＋(2＋22＋…＋2n-1)－(2n＋1)×2n-1＝－(2n＋1)×2n-1．
所以Tn＝．
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