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类型1　求数列的通项公式
【例1】　(1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝(　　)
A．2n　　B．2n+1　　C．　　D．
(2)已知在数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　数列通项公式的求法
(1)定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
(3)累加或累乘法
形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．
(4)构造法
如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式．
类型2　等差、等比数列的基本运算
【例2】　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
(1)利用方程思想求出首项和公比，从而得通项公式；(2)同样利用方程思想求首项和公差，最后求和Sn．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．
类型3　等差、等比数列的判定
【例3】　已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．
(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；
＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋) {an}是等比数列．
提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．
类型4　等差、等比数列的性质
【例4】　(1)(多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7　　　　B．a8　　　　C．S15　　　　D．S16
(2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 023B．a2 023a2 025－1<0
C．T2 024是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决等差、等比数列有关问题的几点注意
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．
类型5　数列求和
【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3．
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
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　数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．形如{an＋bn}，其中{an}，{bn}是不同的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．形如，其中{an}为等差数列．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．形如{anbn}，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．本例(2)采用了这种方法．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
1 / 1类型1　求数列的通项公式
【例1】　(1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝(　　)
A．2n　　B．2n+1　　C．　　D．
(2)已知在数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
(1)A　[法一：由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0．由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2．因此an＝2n．
法二：由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1．由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2．又由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n．]
(2)[解]　法一：由题意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n-1a1＋3n-2×4＋3n-3×4＋…＋3×4＋4＝3n-1＋＝3n-1＋2(3n-1－1)＝3n－2．
法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2．
法三：∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2．
　数列通项公式的求法
(1)定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
(3)累加或累乘法
形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f (n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．
(4)构造法
如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式．
类型2　等差、等比数列的基本运算
【例2】　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
(1)利用方程思想求出首项和公比，从而得通项公式；(2)同样利用方程思想求首项和公差，最后求和Sn．
[解]　(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32．
设{bn}的公差为d，则有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28．
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n．
　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．
类型3　等差、等比数列的判定
【例3】　已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．
(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
[解]　(1)证明：∵bn－an＝n，b1＝2，∴a1＝1，
∵an＋1＋1＝2an＋n，∴an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，
∴＝2，即＝2．
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2n．
(2)由bn－an＝n，得an＝2n－n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝＝2n+1－2－．
　等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；
＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋) {an}是等比数列．
提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．
类型4　等差、等比数列的性质
【例4】　(1)(多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7　　　　B．a8　　　　C．S15　　　　D．S16
(2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 023B．a2 023a2 025－1<0
C．T2 024是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
(1)BC　(2)AB　(3)5　[(1)由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8不是定值．故选BC．
(2)当q＜0时，a2 023a2 024＝q＜0，不成立；
当q≥1时，a2 023≥1，a2 024＞1，＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2 023＞1，0＜a2 024＜1，故S2 024＞S2 023，A正确；
a2 023a2 025－1＝－1＜0，故B正确；
T2 023是数列{Tn}中的最大值，CD错误；故选AB．
(3)由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝＝4 a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝＝5log22＝5．]
　解决等差、等比数列有关问题的几点注意
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．
类型5　数列求和
【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3．
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
[解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn-1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，
＝＝c3＝8，
∴c＝2．
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
解得k＝2，
∴an＝2n．
当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式．
综上所述，an＝2n(n∈N＋)．
(2)nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n+1．
　数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．形如{an＋bn}，其中{an}，{bn}是不同的数列．
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．形如，其中{an}为等差数列．
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．形如{anbn}，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．本例(2)采用了这种方法．
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
章末综合测评(一)　数列
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，3，，…，，…，则是这个数列的(　　)
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第21项
B　[观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B．]
2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列第6项a6＝(　　)
A．6 B．8 C．12 D．16
B　[因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得2a6＝a4＋a8＝16，所以a6＝8．故选B．]
3．在等比数列{an}中，已知a4a7＝8，a2a5a6＝24，则a2＝(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
C　[由题设可得 a1q＝3，由此可得a2＝3，故选C．]
4．如果b是a和c的等比中项，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．0或2
A　[由b是a和c的等比中项，得到b2＝ac，且ac>0，
令ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac＜0，
所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是0．故选A．]
5．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A． B．
C． D．n2＋n
A　[设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝．∴an＝2＋(n－1)×＝n＋．∴Sn＝＝n2＋．故选A．]
6．已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，则a2 023＝(　　)
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
C　[∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)，
即数列{an－n}是以1为首项，－1为公比的等比数列，
∴an－n＝(－1)n-1，∴an＝n＋(－1)n-1，
∴a2 023＝2 023＋(－1)2 022＝2 024．]
7．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列{an}的通项公式为an＝2n
B．数列{an}为等比数列
C．数列{ln an}为等比数列
D．数列{ln an}为等差数列
C　[因为a1＝2，an＋1＝，所以ln an＋1＝＝2ln an，
所以数列{ln an}是以2为公比，ln 2为首项的等比数列，所以C正确，D错误；
所以ln an＝2n-1ln 2，所以an＝ ，所以A错误，
所以＝＝ 不是常数，所以数列{an}不是等比数列，所以B错误．故选C．]
8．数列{an}是正项等比数列，满足anan＋1＝4n，则数列的前n项和Tn＝(　　)
A． B． C． D．
A　[数列{an}是正项等比数列，设公比为q(q>0)，由anan＋1＝4n，可得a1a2＝q＝4，a2a3＝q3＝16，解得a1＝，q＝2，则an＝a1qn-1＝·2n-1＝．
则＝
＝＝
＝2，
则Tn＝2
＝2＝．故选A．]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1＜an＋2
ABD　[由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；an＝2×2n-1＝2n，选项B正确；
Sn＝＝2n+1－2，所以S10＝2 046，选项C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确．故选ABD．]
10．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．14
ACD　[由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，
由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15，
因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．]
11．设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD　[由是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，
则a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0，
则数列为递减数列，即选项A，B正确；
由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，即S9由a1>a2>…>a6＞a7＝0>a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
25　[法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．
法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．]
13．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是________．
4　[当n＝1时，S1＝a1＋b1＝1①，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n-1，则a2＋b2＝4②，a3＋b3＝8③，a4＋b4＝14④，②－①得d＋b1(q－1)＝3⑤，③－②得d＋b2(q－1)＝4⑥，④－③得d＋b3(q－1)＝6⑦，⑥－⑤得b1(q－1)2＝1，⑦－⑥得b2(q－1)2＝2，则q＝2，b1＝1，d＝2，所以d＋q＝4．]
14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．
　[设第n天织布的尺数为an，可知数列为等差数列，设等差数列的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn＝90，
则Sn＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－，因此，每天比前一天少织布的尺数为．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N＋)．用数学归纳法证明：an[证明]　①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1②假设n＝k(k∈N＋)时，akak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋ ＝
＝>0，
所以，当n＝k＋1时，不等式成立．
综上所述，不等式an16．(本小题满分15分)设数列{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求数列{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
[解]　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．
故数列{an}的公比为－2．
(2)记Sn为数列{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n-1．
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n．
可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n＝－n×(－2)n．
所以Sn＝．
17．(本小题满分15分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2．
又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1．
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋．
18．(本小题满分17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－2－k－k
＝4n＋k－2，
当n＝1时，a1＝S1＝2k＋2，
又数列为等差数列，
故当n＝1时，a1＝2k＋2＝2＋k，
解得k＝0．
故an＝4n－2．
(2)由(1)可知，bn＝
＝，
故Tn＝
＝＝ ．
故数列{bn}的前n项和Tn＝．
19．(本小题满分17分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
[解]　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d．
(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d
＝·an－2－d－d
＝…
＝a1－d．
整理得an＝(3 000－d)－2d＝·(3 000－3d)＋2d．
由题意知am＝4 000，所以(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝．
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
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