资源简介

2.3　两条直线的位置关系
2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
学习任务 核心素养
1．掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判定方法．(重点) 2．能用方程思想判定两条直线的位置关系．(难点) 通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？
知识点1　两条直线平行的判定
1．如图，两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 ________且________．
(2)若________并且________，那么两条直线重合．
2．如果l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2．
1．(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　 C．2　　　 D．－2
直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)，若l1⊥l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？
知识点2　两条直线垂直的判定
一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 ______________．
2．“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
知识点3　利用两条直线的方向向量或法向量判定平行或垂直
已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量，
(1)判定两条直线平行
l1∥l2 法向量平行 __________________ ____________________，λ为非零实数．
(2)判定两条直线垂直
l1⊥l2 法向量垂直 ______________________________________________．
若已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则(1，k1)，(1，k2)分别是l1，l2的方向向量，于是l1⊥l2 方向向量垂直 _________________________ ____________．
3．已知两条直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋y＋2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．2
类型1　判定两条直线的位置关系
【例1】　【链接教材P78例4】
判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；
(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；
(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　两条直线位置关系的判定方法
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)，则两直线相交．
(2)若A1A2＋B1B2＝0，则两直线相互垂直．
(3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行．
[跟进训练]
1．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别就下列条件求出实数m的值．
(1)直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与l2平行．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　根据平行或垂直求直线的方程
【例2】　已知直线过点P．
(1)若直线与3x－2y＋4＝0平行，求直线的方程；
(2)若直线与3x－2y＋4＝0垂直，求直线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(1)与直线l平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0；
(2)与直线l垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．
[跟进训练]
2．过点且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是(　　)
A．2x－y＝0　　　　　 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
3．已知直线l经过点，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
类型3　平行与垂直的综合应用
【例3】　(1)已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________．
(2)已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
4．在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若过点A(2，－2)，B(5，6)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，－m)的直线平行，则m的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－
C．2 D．
2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A． B．a
C．－ D．－或不存在
3．下列直线与直线x－2y＋1＝0平行的是(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x－y－1＝0 D．x－2y－1＝0
4．若直线l1：3x－(b＋2)y＋2＝0与l2：(4b＋4)x＋9y－18b＝0垂直，则l2的截距式方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知两条直线l1：x＋4y＋3m－5＝0，l2：2x＋y－8＝0，若l1⊥l2，则m的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何判定两直线方程平行或垂直？
(2)如何求与已知直线平行的直线方程？
(3)如何求与已知直线垂直的直线方程？
1 / 12.3　两条直线的位置关系
2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
学习任务 核心素养
1．掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判定方法．(重点) 2．能用方程思想判定两条直线的位置关系．(难点) 通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？
知识点1　两条直线平行的判定
1．如图，两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2．
(2)若k1＝k2并且b1＝b2，那么两条直线重合．
2．如果l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2．
1．(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？
[提示]　(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A，B，C三点共线．
1．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　 C．2　　　 D．－2
B　[因为kMN＝＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则＝－1，解得m＝－1．此时直线PQ与MN不重合，故选B．]
直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)，若l1⊥l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？
知识点2　两条直线垂直的判定
一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1·k2＝－1．
2．“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
[提示]　不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
2．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
－　[由条件l1⊥l2得－＝－1，解得m＝－．]
知识点3　利用两条直线的方向向量或法向量判定平行或垂直
已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量，
(1)判定两条直线平行
l1∥l2 法向量平行 A1B2－A2B1＝0 A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数．
(2)判定两条直线垂直
l1⊥l2 法向量垂直 (A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0．
若已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则(1，k1)，(1，k2)分别是l1，l2的方向向量，于是l1⊥l2 方向向量垂直 (1，k1)·(1，k2)＝1＋k1k2＝0 k1k2＝－1．
3．已知两条直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋y＋2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．2
B　[∵l1⊥l2，显然m≠0且m≠2，∴＝－1，解得m＝1．]
类型1　判定两条直线的位置关系
【例1】　【链接教材P78例4】
判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；
(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；
(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0．
[解]　(1)直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，由题意知＝≠，∴l1∥l2．
(2)由题意知＝＝，∴l1与l2重合．
(3)由题意知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，∴l1⊥l2．当a≠－1时，k1＝a＋1，k2＝－＝－．∴k1·k2＝(a＋1)×＝－1，∴l1⊥l2．综上，得l1⊥l2．
【教材原题·P78例4】
例4　已知λ≠－1，求λ取什么值时，直线l1：2x＋(λ＋1)y＝2与直线l2：λx＋y＝1：
(1)重合；(2)平行；(3)垂直．
[解]　直线l1的斜率k1＝－，它在y轴上的截距b1＝．
直线l2的斜率k2＝－λ，它在y轴上的截距b2＝1．
(1)重合 k1＝k2，b1＝b2 λ＝1．
(2)平行 k1＝k2，b1≠b2 λ＝－2．
(3)垂直 k1k2＝－1 ·(－λ)＝－1 λ＝－．
　两条直线位置关系的判定方法
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)，则两直线相交．
(2)若A1A2＋B1B2＝0，则两直线相互垂直．
(3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行．
[跟进训练]
1．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别就下列条件求出实数m的值．
(1)直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与l2平行．
[解]　(1)∵l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0垂直，
∴(m－2)×1＋3m＝0，解得m＝．
(2)∵l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，
∴m(m－2)－1×3＝0且≠，解得m＝－1．
类型2　根据平行或垂直求直线的方程
【例2】　已知直线过点P．
(1)若直线与3x－2y＋4＝0平行，求直线的方程；
(2)若直线与3x－2y＋4＝0垂直，求直线的方程．
[解]　(1)若直线与直线3x－2y＋4＝0平行，设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，
将点P的坐标代入所求直线方程得3×2－2×1＋C＝0，解得C＝－4，
故所求直线方程为3x－2y－4＝0．
(2)法一：直线3x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，
设所求直线的斜率为k2，则k1k2＝－1，可得k2＝－，
故所求直线方程为y－1＝－，即2x＋3y－7＝0．
法二：由题意，设所求直线的方程为2x＋3y＋C1＝0，
因为直线过点P，将其坐标代入上述方程可得4＋3＋C1＝0，解得C1＝－7，
故所求的直线方程为2x＋3y－7＝0．
　已知直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(1)与直线l平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0；
(2)与直线l垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．
[跟进训练]
2．过点且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是(　　)
A．2x－y＝0　　　　　 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
C　[因为所求直线与直线x＋2y－9＝0平行，可设所求直线方程为x＋2y＋C＝0(C≠－9)，
将点的坐标代入直线的方程x＋2y＋C＝0得1＋2×2＋C＝0，解得C＝－5．
因此，所求直线的方程为x＋2y－5＝0．]
3．已知直线l经过点，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
C　[∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋C＝0，
∵直线l经过点，∴1－2＋C＝0，即C＝1．
∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]
类型3　平行与垂直的综合应用
【例3】　(1)已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________．
(2)已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？
(1)(10，－6)　[设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线BC的斜率kBC＝－，直线AD的斜率kAD＝，
由AB⊥CD，且AD∥BC，
得
解得所以点D的坐标为(10，－6)．]
(2)[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
　　　
图(1)　　　　　　　　图(2)
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝．
由AD∥BC kAD＝kBC，
即＝－3；
由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，
即·(－3)＝－1．
解得故A．
综上所述，A点坐标为(1，－1)或．
　关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
4．在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．
[解]　设D(x，y)，因为DC∥AB，所以＝　①，又因为DA⊥AB，所以·＝－1　②．
由①②解得x＝－11，y＝2．所以D(－11，2)．
1．若过点A(2，－2)，B(5，6)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，－m)的直线平行，则m的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－
C．2 D．
B　[由题意知：＝＝，解得m＝－．]
2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A． B．a
C．－ D．－或不存在
D　[由l1⊥l2，当a≠0时＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D．]
3．下列直线与直线x－2y＋1＝0平行的是(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x－y－1＝0 D．x－2y－1＝0
D　[已知直线x－2y＋1＝0的斜率为k＝，与直线x－2y＋1＝0平行的直线满足斜率k＝，且能化成x－2y＋C＝0的形式．
选项A中，直线2x＋y－1＝0的斜率为：k1＝－2≠，故不平行；
选项B中，直线x＋2y－1＝0的斜率为：k2＝－≠，故不平行；
选项C中，直线2x－y－1＝0的斜率为：k3＝2≠，故不平行；
选项D中，直线x－2y－1＝0的斜率为：k4＝，故斜率相等，又直线x－2y－1＝0中，C＝－1≠1，故x－2y＋1＝0与x－2y－1＝0不重合，故满足题意．]
4．若直线l1：3x－(b＋2)y＋2＝0与l2：(4b＋4)x＋9y－18b＝0垂直，则l2的截距式方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[因为l1与l2垂直，所以3(4b＋4)－9(b＋2)＝0，解得b＝2，
则l2的方程为12x＋9y－36＝0，即＝1．]
5．已知两条直线l1：x＋4y＋3m－5＝0，l2：2x＋y－8＝0，若l1⊥l2，则m的值为________．
－　[当5＋m＝0时，不满足l1⊥l2，舍去；
当5＋m≠0时，直线l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝－．
∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝－·＝－1，解得m＝－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何判定两直线方程平行或垂直？
[提示]　①设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②设两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 法向量平行 A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数．l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
(2)如何求与已知直线平行的直线方程？
[提示]　①根据两直线平行可求其斜率，利用点斜式求解．
②与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
(3)如何求与已知直线垂直的直线方程？
[提示]　①根据两直线垂直可求其斜率，利用点斜式求解．
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋D＝0．
课时分层作业(十六)　两条直线平行与垂直的判定
一、选择题
1．设直线l1：kx＋y＋1＝0，l2：(k－1)x－2y＋1＝0，若l1⊥l2，则k＝(　　)
A．－1　 　B．－1或2　 　C．2　 　D．0
B　[由l1⊥l2，则k＋1×＝0，即k2－k－2＝0，解得k＝2或k＝－1．]
2．从原点O作直线l的垂线，垂足为点，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
C　[由题意知，原点与点构成直线的斜率为＝2，所以直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y－2＝－，整理可得x＋2y－5＝0．]
3．“m＝－1”是“直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直，可得m×2＋(m－1)×m＝0，∴m2＋m＝0，∴m＝0或m＝－1．
当m＝－1时，直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直；
当直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直时，m＝－1不一定成立．所以“m＝－1”是“直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要条件，故选A．]
4．(教材P78例3改编)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
C　[易知kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．]
5．下列命题中，正确的是(　　)
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
D　[A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－ ＝1－，则k1＝k2，又直线l1与直线l2不重合，所以l1∥l2．]
二、填空题
6．若直线l1：ax＋2y＋a＋3＝0与l2：x＋(a－1)y－2＝0平行，则实数a的值为________．
2　[直线l1：ax＋2y＋a＋3＝0与l2：x＋(a－1)y－2＝0平行，
则a－1×2＝0，解得a＝2或a＝－1，
当a＝－1时，两直线重合，舍去，所以a＝2．]
7．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为________．
y＝－x＋　[直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位长度得到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋．]
8．已知点A(－3，－2)，B(6，1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．
(0，－11)　[设P(0，y)，由题意知，kAB，kAP存在，又知∠BAP＝90°，所以kAB·kAP＝＝＝－1，解得y＝－11．
所以点P的坐标是(0，－11)．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
[解]　如图，由已知可得
AB边所在直线的斜率kAB＝－，
CD边所在直线的斜率kCD＝－，
BC边所在直线的斜率kBC＝，
DA边所在直线的斜率kDA＝．
因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．
因此四边形ABCD是平行四边形．
10．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求实数m的值．
[解]　如图，易知直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝．
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2．
当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，
∴线段AB的垂直平行线l2的斜率k2＝．
∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝，
解得m＝4＋．
综上，实数m的值为4＋．
11．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　)
A．1 B．
C． D．1或
D　[由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或．]
12．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　)
A．19 B． C．5 D．4
B　[由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得y＝．故选B．]
13．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
－2　[依题意，知直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有＝1，所以a＝0．又直线l2与l1平行，
所以1＝－，即b＝－2，
所以a＋b＝－2．]
14．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根．若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
－2　2　[由根与系数的关系，知k1k2＝，
若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2；
若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝16－8m＝0，得m＝2．]
15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
[解]　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
又PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1．①
由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2．②
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1)．
(2)设Q(x，0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP．
又kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，∴Q(1，0)．
又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴．
∴直线MQ的倾斜角为90°．
1 / 1

展开更多......

收起↑