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2.4　点到直线的距离
学习任务 核心素养
1．理解点到直线的距离公式的推导过程，会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线间的距离．(难点) 2．掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式，能用两点间的距离公式及点到直线的距离公式解决实际问题．(重点) 通过研究两点间的距离公式、点到直线的距离公式即两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养．
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1　两点间的距离公式
两点间的距离公式：平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝．
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a＝(　　)
A．1　　　B．－5　　　C．1或－5　　D．－1或5
知识点2　点到直线的距离公式
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
1．(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．
知识点3　两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
2．(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　)
A． B． C． D．1
类型1　两点间距离公式及应用
【例1】　(1)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　)
A．(5，5)　　　　　　　　 B．(－1，1)
C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1)
(2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
1．(1)△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　)
A． B． C． D．
(2)如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　点到直线的距离
【例2】　(1)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)
A．0或－ B．或－6
C．－或 D．0或
(2)已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．
(3)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
2．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．3
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程为________．
类型3　两条平行线间的距离
【例3】　【链接教材P86例5】
(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．4 B． C． D．
(2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
3．(1)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是________．
(2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为________．
(3)(源自人教A版教材)已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　利用距离公式解决最值问题
【例4】　两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围．
[跟进训练]
4．(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型5　对称问题
【例5】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．直线关于点的对称
(1)直线关于点的对称直线的求法：
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程．
(2)直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0．
2．点关于直线的对称
(1)如图，已知P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来求：
第一步，直线PP′和l垂直，
故kPP′·kl＝－1；①
第二步，PP′的中点刚好在直线l上，
即点满足直线方程Ax＋By＋C＝0，
得到A·＋B·＋C＝0．②
联立①②式可以解出x′，y′．
(2)常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下：
点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)．
[跟进训练]
5．如图，一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知三角形的三个顶点A，B，C，则过A点的中线长为(　　)
A． B．2 C．11 D．3
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是(　　)
A． B． C．2 D．1
3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出点到直线的距离公式．
(2)试写出两条平行线间的距离公式．
(3)试写出两点间距离公式．
(4)如何解决与距离有关的最值问题？
1 / 12.4　点到直线的距离
学习任务 核心素养
1．理解点到直线的距离公式的推导过程，会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线间的距离．(难点) 2．掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式，能用两点间的距离公式及点到直线的距离公式解决实际问题．(重点) 通过研究两点间的距离公式、点到直线的距离公式即两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养．
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1　两点间的距离公式
两点间的距离公式：平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝．
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a＝(　　)
A．1　　　B．－5　　　C．1或－5　　D．－1或5
C　[由两点间距离公式得(a＋2)2＋(3＋1)2＝52，
∴(a＋2)2＝9，∴a＝1或a＝－5，故选C．]
知识点2　点到直线的距离公式
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
1．(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法？
[提示]　(1)直线方程应为一般式．
(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：
P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|．
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．
　[d＝＝．]
知识点3　两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
2．(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？
[提示]　(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．
3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　)
A． B． C． D．1
C　[由两条平行直线的距离公式得：
d＝＝．]
类型1　两点间距离公式及应用
【例1】　(1)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　)
A．(5，5)　　　　　　　　 B．(－1，1)
C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1)
(2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．
(1)C　[设点P(x，y)，则y＝．由|PA|＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5．当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，
∴P(－1，1)或(5，5)，故选C．]
(2)[证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．
　坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
1．(1)△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　)
A． B． C． D．
(2)如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
(1)A　[AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，
∴|CD|＝＝．]
(2)[证明]　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系xDy．
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝(a＋b)2＋c2＋(b－a)2＋c2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
类型2　点到直线的距离
【例2】　(1)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)
A．0或－ B．或－6
C．－或 D．0或
(2)已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．
(3)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为________．
(1)B　(2)　(3)－1　[(1)依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6，故选B．
(2)因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝．故答案为．
(3)直线方程可化为m(x－2)－y＋1＝0，
令得即直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点Q(2，1)且斜率为m，当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点P到直线的距离最大．
此时m·＝－1，所以m＝－1．]
　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
2．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．3
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程为________．
(1)D　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　[(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离
d＝＝＝3，
∴d有最小值3，故选D．
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝＝＝．
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．]
类型3　两条平行线间的距离
【例3】　【链接教材P86例5】
(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．4 B． C． D．
(2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
(1)D　[∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2．
∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0．
法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝．
法二：在l1上取一点M(0，3)，则点M到l2的距离
d＝＝即为所求．]
(2)[解]　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0．
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5．
【教材原题·P86例5】
例5　(1)求证：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离是
d＝．
(2)求平行直线l1：4x－3y＋6＝0与l2：4x－3y－8＝0之间的距离．
分析　求两条平行直线间的距离，可在其中一条直线上任取一点，求这个点到另一条直线的距离．
[解]　(1)在l1上任取一点P(x1，y1)，则
Ax1＋By1＝－C1．
点P到l2的距离d就是平行直线l1与l2之间的距离，即
d＝＝．
(2)由(1)所得公式，得直线l1与l2之间的距离
d＝＝．
　求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
3．(1)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是________．
(2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为________．
(3)(源自人教A版教材)已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
(1)5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0　(2)x＋y－6＝0　[(1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，
由两平行直线间的距离公式，得＝2，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．
(2)由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0．]
(3)[解]　先求l1与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4，0)．
点A到直线l2的距离
d＝＝＝，
所以l1与l2间的距离为．
类型4　利用距离公式解决最值问题
【例4】　两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？
[解]　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3．
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．
　通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围．
[跟进训练]
4．(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程．
[解]　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x．
由解得
∴点P的坐标为(2，2)．
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．
类型5　对称问题
【例5】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即
解得
∴P′点坐标为(－2，7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则
解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0，3)，F (－1，0)，
则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E′(6，1)，F′(7，4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，
即3x－y－17＝0．
　1．直线关于点的对称
(1)直线关于点的对称直线的求法：
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程．
(2)直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0．
2．点关于直线的对称
(1)如图，已知P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来求：
第一步，直线PP′和l垂直，
故kPP′·kl＝－1；①
第二步，PP′的中点刚好在直线l上，
即点满足直线方程Ax＋By＋C＝0，
得到A·＋B·＋C＝0．②
联立①②式可以解出x′，y′．
(2)常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下：
点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)．
[跟进训练]
5．如图，一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[解]　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得
∴A的坐标为(4，3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为y＝3．
由方程组
解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3．
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8．
1．已知三角形的三个顶点A，B，C，则过A点的中线长为(　　)
A． B．2 C．11 D．3
B　[设中点为D(x，y)，B，C，
则可得D(4，－2)，
所以|AD|＝＝＝2，故选B．]
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是(　　)
A． B． C．2 D．1
A　[2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式得d＝＝．]
3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
2x－y＋1＝0　[设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝，解得m＝1．
故所求直线方程为2x－y＋1＝0．]
4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．
4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0　[设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0．
则＝2，即|C－7|＝10．
解得C＝－3或C＝17．
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出点到直线的距离公式．
[提示]　点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝．
(2)试写出两条平行线间的距离公式．
[提示]　两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
(3)试写出两点间距离公式．
[提示]　平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为
|AB|＝．
(4)如何解决与距离有关的最值问题？
[提示]　①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．
课时分层作业(十八)　点到直线的距离
一、选择题
1．(教材P87习题2.4T1改编)已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B． C．2 D．
D　[根据题意，平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|2＝＋(－x)2＝2＋，则有|AB|≥，
则|AB|的最小值为，故选D．]
2．(教材P87练习T3改编)若两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，则l1与l2之间的距离是(　　)
A．2 B． C． D．
A　[两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，
则＝≠，解得a＝4．
所以2x＋4y＋8＝0可化为x＋2y＋4＝0，
所以两直线间的距离d＝＝＝2．故选A．]
3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A． B． C． D．
C　[由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝．]
4．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)
A． B． C． D．3
B　[直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，
∴M(0，2)．
∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，
∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，
∴d＝＝＝．故选B．]
5．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
C　[当两条平行直线l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]．]
二、填空题
6．过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝________．
2　[因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，
所以kAB＝＝1，即a－b＝2，
所以|AB|＝＝＝2．]
7．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5　[两条直线方程为x＝－2和x＝3，从而两条平行线间的距离为|3－(－2)|＝5．]
8．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________．
5　[由两点式得AB的直线方程为＝，
即3x－y－5＝0．再由点到直线的距离公式得点C到直线AB的距离为d＝＝．又|AB|＝＝．∴S△ABC＝＝5．]
三、解答题
9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
[解]　法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k．
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0．
由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，
得＝，
解得k＝0或k＝1．
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0．
法二：当直线l过线段AB的中点时，
直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2．
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2．
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
[解]　由解得
所以中心坐标为(－1，0)．
所以中心到已知边的距离为＝．
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0．
因为正方形中心到各边距离相等，
所以＝和＝．
所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0．
所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0．
11．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为(　　)
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
C　[由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0．]
12．一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　)
A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
B　[点A(1，0)关于y轴的对称点A′(－1，0)在反射光线所在的直线上，因此反射光线所在直线的截距式方程为＝1，即2x－y＋2＝0，故选B．]
13．已知a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边长，若点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．
4　[因为a，b，c为直角三角形的三边长，
c为斜边长，所以c＝．
又因为点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上，
所以m2＋n2表示直线l上的点到原点距离的平方，
所以m2＋n2的最小值为原点到直线l距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d＝＝2，
所以m2＋n2的最小值为d2＝4．]
14．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为________．
　[由得故P(1，2)．
直线l的方程可整理为x＋2＋a(y－1)＝0，故直线l过定点Q(－2，1)．
因为P到直线l的距离d|PQ|，当且仅当l⊥PQ时等号成立，所以dmax＝＝．]
15．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
[解]　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则
解得
故A′(－2，8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA|||AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得
故所求的点P的坐标为(12，10)．
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