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2.5　圆的方程
2.5.1　圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
如图所示，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2．
(1)判断点A(3，2)是否在⊙C上；
(2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？
知识点1　圆的标准方程
(1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点即圆心，而定长就是半径．
(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程是___________________________，把它叫作圆的标准方程．
特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．
方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
知识点2　点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系 d与的大小r 图示 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r _______________________________
点在圆上 d＝r _______________________________
点在圆内 d2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．在圆上　　　　　　　 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
类型1　求圆的标准方程
【例1】　【链接教材P90例2】
已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)．
(1)求周长最小的圆的标准方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内　　　　　　 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　点与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；
(2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，判断与r2的大小．
[跟进训练]
2．已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　与圆有关的最值问题
【例3】　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，试求x2＋(y－4)2的最值．
x2＋(y－4)2有什么几何意义？如何求圆上一点和圆外一点距离的最大值和最小值？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知点(x，y)在圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上，求d＝的最值问题的处理方法如下：
(1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)间的距离dMO．
(2)根据圆的几何性质知，
①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；
②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO．
[跟进训练]
3．设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　)
A．(－1，5)，　　　　　　 B．(1，－5)，
C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3
2．(教材P91练习T1改编)圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
4．已知P(x，y)是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则x2＋y2的最小值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出圆的标准方程．
(2)如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
(3)如何求圆C外一点M和圆C上任意一点P的距离|PM|的最值？
1 / 12.5　圆的方程
2.5.1　圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
如图所示，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2．
(1)判断点A(3，2)是否在⊙C上；
(2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？
知识点1　圆的标准方程
(1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点即圆心，而定长就是半径．
(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，把它叫作圆的标准方程．
特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．
方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
[提示]　当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|．
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
D　[由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D．]
知识点2　点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系 d与的大小r 图示 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．在圆上　　　　　　　 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
B　[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．]
类型1　求圆的标准方程
【例1】　【链接教材P90例2】
已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)．
(1)求周长最小的圆的标准方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程．
[解]　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即所求圆以线段AB的中点(0，1)为圆心，
|AB|＝为半径．故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10．
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0．
由解得即圆心的坐标是(3，2)．所以圆的半径r＝＝2．
所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20．
法二：设圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20．
【教材原题·P90例2】
例2　已知某圆经过A(－2，2)，B(6，0)两点，圆心M在直线2x－y＝1上，求该圆的方程．
[解]　(方法一)设圆心为M(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意可得方程组
解此方程组，得
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34．
(方法二)如图2.5-2，由于圆心M到点A，B的距离相等(都等于半径)，因此圆心M在AB的垂直平分线l上，并且位于直线l与直线2x－y＝1的交点处．
因为l⊥AB，所以＝(8，－2)是l的一个法向量，故可设直线l的方程为
8x－2y＋C＝0． ①
又直线l过AB的中点N，而N的坐标为，
即N(2，1)，将其代入①式，解得C＝－14．
所以直线l的方程为8x－2y－14＝0，即4x－y＝7．
圆心M的坐标是方程组的解，
解此方程组，得
所以圆心M的坐标为(3，5)．
圆的半径r＝|AM|＝＝．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34．
　圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
[解]　(1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
(2)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝|MC|＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10．
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内　　　　　　 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
(1)B　(2)[0，1)　[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)由题意知
即解得0a<1．]
　点与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；
(2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，判断与r2的大小．
[跟进训练]
2．已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
[解]　(1)因为点A在圆的内部，
所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
且a不为0，解得a<－．
(2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，
解得a＝－．
(3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
且a不为0，解得a>－且a≠0．
类型3　与圆有关的最值问题
【例3】　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，试求x2＋(y－4)2的最值．
x2＋(y－4)2有什么几何意义？如何求圆上一点和圆外一点距离的最大值和最小值？
[解]　(1)由已知得，圆心C(3，0)，半径r＝|AB|＝2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4．
(2)x2＋(y－4)2表示点M(0，4)与圆C上任意一点P(x，y)的距离的平方，即|PM|2．
由(0－3)2＋42>4知点M(0，4)在圆C外部．
又|MC|＝＝5，
∴|PM|max＝5＋2＝7，|PM|min＝5－2＝3．
∴＝＝9．
即x2＋(y－4)2的最大值为49，最小值为9．
　已知点(x，y)在圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上，求d＝的最值问题的处理方法如下：
(1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)间的距离dMO．
(2)根据圆的几何性质知，
①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；
②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO．
[跟进训练]
3．设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
＋2　[因为P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，
所以表示点M(1，1)与该圆上任意一点P(x，y)的距离|PM|．
因为12＋(1＋4)2>4，所以点M(1，1)在圆外．
设圆心为C(0，－4)，
则|MC|＝＝，
所以|PM|max＝＋2，
即的最大值为＋2．]
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　)
A．(－1，5)，　　　　　　 B．(1，－5)，
C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3
B　[由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－5)，半径r＝，故选B．]
2．(教材P91练习T1改编)圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．]
3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
B　[由12＋32<24知，点P(1，3)在圆内，故选B．]
4．已知P(x，y)是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则x2＋y2的最小值为________．
3－2　[x2＋y2表示点P(x，y)与原点O(0，0)的距离的平方|PO|2．
由(0－1)2＋(0－1)2>1知原点O在圆外．
设M(1，1)，则|MO|＝，则|PO|min＝－1．
从而＝3－2．即x2＋y2的最小值为3－2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出圆的标准方程．
[提示]　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2)如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
[提示]　点P在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2(3)如何求圆C外一点M和圆C上任意一点P的距离|PM|的最值？
[提示]　先求点M和圆心C的距离|MC|，则
|PM|max＝|MC|＋r，|PM|min＝|MC|－r．
课时分层作业(十九)　圆的标准方程
一、选择题
1．(教材P91练习T2改编)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D　[圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25．]
2．点(sin 30°，cos 30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)
A．点在圆上　　　　　　 B．点在圆内
C．点在圆外 D．不能确定
C　[因为sin230°＋cos230°＝1>，
所以点在圆外，故选C．]
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1
C．(x－3)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1
A　[设圆心坐标为(0，a)，∵圆的半径为1，且过点(1，3)，∴(0－1)2＋(a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圆的方程为x2＋(y－3)2＝1．]
4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．{－1，1}
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C　[∵点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－15．圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
A　[由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1)．又A(－3，0)，半径r＝|AM|＝＝．则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5．]
二、填空题
6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为________．
1＋　[的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为＋1．]
7．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝13　[易知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得圆的半径为，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
8．圆(x＋1)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的标准方程为________．
x2＋(y＋1)2＝5　[圆(x＋1)2＋y2＝5的圆心坐标为(－1，0)，它关于直线y＝x的对称点坐标为(0，－1)，即所求圆的圆心坐标为(0，－1)，所以所求圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝5．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．
[解]　设所求的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ①
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25．
所以，△ABC的外接圆的标准方程是
(x－2)2＋(y＋3)2＝25．
10．已知A(0，1)，B(2，1)，C(－1，2)，能否确定一个圆？若能，判断D(3，4)与该圆的位置关系．
[解]　由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆．设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
则解得
所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5．
把点D的坐标(3，4)代入圆的方程的左边，得(3－1)2＋(4－3)2＝5．
所以点D在经过A，B，C三点的圆上．所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5．
11．(多选题)若经过点P(5m＋1，12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值可能是(　　)
A．　　B．　　C．－　　D．－
AD　[过P可作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>或m<－，可知AD可能．]
12．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
A　[由题意可知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(－2，1)，半径为1，
所以其关于原点对称的圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为1，
所以所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1．]
13．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
1　[由题意可得，圆C的圆心坐标为(2，4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1．]
14．已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点P(1，2)对称，则直线AB的方程为________．
3　x＋y－3＝0　[圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0，1)，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则直线经过圆心(0，1)，∴a＝3．又若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1，2)中心对称，则CP⊥AB，P为AB的中点，∵kCP＝＝1，∴kAB＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．]
15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝，求d的最大值及最小值．
[解]　设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2．
圆心坐标为C(3，4)，O为坐标原点，
∴|CO|2＝32＋42＝25，即|CO|＝5，
∴(5－1)2x2＋y2(5＋1)2，
即16x2＋y236．
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74．
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