资源简介

2.5.2　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点) 2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点) 3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点) 1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养．
把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点　圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程①表示以点为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①只有一个解，表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程①无实数解，不表示任何图形．
综上，我们将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程．
(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是__________．
(2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________．
(1)(3，0)　(2)4　[(1)方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，则圆心坐标为(3，0)．
(2)由题意知
解得]
类型1　圆的一般方程满足的条件
【例1】　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
①求实数m的取值范围；
②写出圆心坐标和半径．
(1)(－2，－4)　5　[方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5．]
(2)[解]　①法一：根据D2＋E2－4F>0求解．
由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为．
法二：化为圆的标准方程求解．
方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为
(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m．
由题意知1－5m>0，即m<．
所以实数m的取值范围是．
②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．
　二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
(1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．
(2)将该方程配方为＋＝，根据圆的标准方程来判断．
[跟进训练]
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
[解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2．因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|．
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝|m－2|．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F (1，1)．
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
[解]　(1)由题意可知kED＝kAB＝＝1，
又F (1，1)为AB的中点，
∴AB所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0．①
同理CA所在直线的方程为x－2y＝0，②
联立①②，得A(0，0)．
因此直线AB的方程为x－y＝0，点A的坐标为(0，0)．
(2)由线段AB的中点F (1，1)及A(0，0)得B(2，2)，由线段AC的中点E(4，2)及A(0，0)得C(8，4)，
设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C的坐标代入圆的方程可得
解方程组可得
∴圆的方程为x2＋y2－16x＋12y＝0．
　用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程是________．
(2)已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
(1)x2＋y2－4x－4y－2＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心是，
由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0．]
(2)[解]　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．
类型3　求动点的轨迹方程
【例3】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？
[解]　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵
∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1．
即线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
　求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
[跟进训练]
3．(1)已知圆x2＋y2＝1，点A(1，0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝
D．x2＋y2＝
(2)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
(1)D　[设D(x，y)，
由∠BAC＝60°知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，
∠DBO＝30°，则OD＝OB＝，
∴x2＋y2＝，
当C→A时，∠DAO＝30°，AD＝，此时x＝，
∴BC中点D的轨迹方程是x2＋y2＝，故选D．]
(2)[解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴　①
∵|AD|＝3，
∴＝9．②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36．
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0．
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．(教材P93习题2.5T4改编)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，16　　　　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
C　[圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2，3)，半径r＝4，故选C．]
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
D　[原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b)．]
3．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m< B．m>
C．m<1 D．m>1
A　[由二元二次方程表示圆的充要条件可知＋12－4m>0，解得m<，故选A．]
4．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________．
(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或＋＝或＋(y－1)2＝(写出其中任意一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋(y－1)2＝．]
5．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
x2＋y2＝9　[设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出圆的一般方程．
[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
[提示]　A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
(3)求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
[提示]　直接法、定义法、代入法(相关点法)．
课时分层作业(二十)　圆的一般方程
一、选择题
1．(多选题)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)
A．－2　 　　B．0　　 　C．1　　 　D．
ABD　[若方程表示圆，则满足＋a－1)>0，即a<1，所以ABD正确．]
2．与圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0有相同的圆心，且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y－＝0
D．x2＋y2－2x＋4y＋＝0
D　[易知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径为，故所求圆的圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝＝，即x2＋y2－2x＋4y＋＝0．]
3．(教材P94习题2.5T7改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　)
A．0或－1 B．0
C．7 D．－1或7
D　[将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆的圆心坐标为(1，4)，
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，
整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7．]
4．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　)
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
B　[由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，
故有－＝－，即D＝E．]
5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π C．8π D．9π
B　[设P(x，y)，由条件知＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π．]
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________．
－3　[由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，故半径r＝，∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3．]
7．若直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，则实数a＝________．
1　[根据题意，圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，
其圆心为(1，－2)．
因为直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，所以圆心(1，－2)在直线x＋y＋a＝0上，
则有a＋1－2＝0，解得a＝1．]
8．已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部，则实数m的取值范围是________．
　[由点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部，
得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13．
又由4＋9－4m>0，得m<，所以－13三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[解]　圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，－>0，即D>0，E<0，所以所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
10．如图，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0，－2)，B(4，－2)，C(4，2)，D(0，2)．
(1)求对角线AC所在直线的方程；
(2)求正方形ABCD外接圆的方程；
(3)若动点P为外接圆上一点，点N(－2，0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程．
[解]　(1)由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为＝，整理得x－y－2＝0．
(2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，
∴G，即(2，0)，
设r为外接圆的半径，则r＝|AC|，
|AC|＝＝4，∴r＝2．
∴外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8．
(3)设点P坐标为(x0，y0)，线段PN的中点M坐标为(x，y)，则x＝，y＝，
∴x0＝2x＋2，y0＝2y，①
∵点P为外接圆上一点，
∴＝8，
将①代入并整理，得x2＋y2＝2，
∴该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝2．
11．已知圆x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圆心在直线x＋y－7＝0上，则该圆的面积为(　　)
A．4π B．2π C．π D．
A　[圆的方程可化为(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圆心为(m，2m＋1)．
依题意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，
∴圆的半径为2，面积为4π，故选A．]
12．已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x＋6y＋14＝0
B．x2＋y2＋6x－6y＋14＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋4＝0
D．x2＋y2＋4x－4y＋4＝0
A　[设圆心C(0，0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，则由解得
所以所求的圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋14＝0．故选A．]
13．已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
(－∞，8)　[由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2，3)，代入直线方程，得b＝5，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，
所以a<13，由此得a－b<8．]
14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
(0，－1)　[∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．]
15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程．
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程．
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
[解]　(1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0．
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16．
又因为|OA|＝|OC|＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16．
(3)由题意知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，则＝16．
所以|OP|2＝(O为坐标原点)，且－2y02．故|OP|2＝＝
＝＋，
所以当＝时，|OP|max＝，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝．
1 / 12.5.2　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点) 2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点) 3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点) 1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养．
把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点　圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
(1)当_________________时，方程①表示以点为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①只有一个解，表示一个点；
(3)当_________________时，方程①无实数解，不表示任何图形．
综上，我们将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(_________________)叫作圆的一般方程．
(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是__________．
(2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________．
类型1　圆的一般方程满足的条件
【例1】　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
①求实数m的取值范围；
②写出圆心坐标和半径．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
(1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．
(2)将该方程配方为＋＝，根据圆的标准方程来判断．
[跟进训练]
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F (1，1)．
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程是________．
(2)已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　求动点的轨迹方程
【例3】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
[跟进训练]
3．(1)已知圆x2＋y2＝1，点A(1，0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝
D．x2＋y2＝
(2)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P93习题2.5T4改编)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，16　　　　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
3．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m< B．m>
C．m<1 D．m>1
4．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________．
5．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出圆的一般方程．
(2)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
(3)求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
1 / 1

展开更多......

收起↑