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2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
A　[圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．]
类型1　直线与圆的位置关系的判定
【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点？
(2)只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简整理得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝．
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－直线与圆没有公共点．
　判断直线和圆的位置关系的方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A．l与C相交　　　　 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
(1)A　(2)C　[(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝＝(m－2＋1)＝－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．]
类型2　直线与圆的相切问题
【例2】　(1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．
(2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，求直线l的方程．
(1)15x＋8y－36＝0或x＝4　[因为＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0．
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－．
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0．
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．]
(2)[解]　根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，
即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)，
直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0．
[母题探究]
若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？
[解]　设圆心C(3，1)，则|AC|＝＝，
则切线长d＝＝4．
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　)
A．2x－y＋9＝0　　　　　 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．　　　D．3
(1)B　(2)C　[(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0．
(2)圆心C(3，0)到y＝x＋1的距离d＝＝2．
所以切线长的最小值为l＝＝．]
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．
(2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[解]　(1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得
解得或所以交点为A(1，3)，B(2，0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝．
法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，
则圆心C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：3x＋y－6＝0的距离d＝＝，则弦长|AB|＝2＝．
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3．
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0．
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0．
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0．
　求圆的弦长的两种方法
交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
圆的性质 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题
[跟进训练]
3．(1)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．6
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
(1)C　(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4　[(1)设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝2＝4，故选C．
(2)设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝．
又由题意知，半弦长为，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2．
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．]
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B　[∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在直线y＝x＋1上，
∴直线不过圆心．]
2．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2 B．－12
C．2 D．12
CD　[圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或b＝12．]
3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．3
D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3．]
4．过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________．
x＝2或y＝3　[∵P(2，3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2，3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴＝1，∴k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2．]
5．若直线x－y＋m＝0(m>0)被圆(x－1)2＋(y－1)2＝3截得的弦长等于m，则m的值为________．
2　[设圆心为C，半径为r，点C到直线的距离为d．由已知，得点C的坐标为(1，1)，r＝，d＝＝．依题意，r2－d2＝，即3－＝，解得m＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　①几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(2)如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
[提示]　①点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程．
②点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况．
(3)直线和圆相交时，如何求弦长？
[提示]　①利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
②利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
课时分层作业(二十一)　直线与圆的位置关系
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
C　[直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0)，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C．]
2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l相切于点P(1，)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋2＝0 B．x－y＋4＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0
A　[由12＋()2－4×1＝0知点P在圆上，圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，圆心与点P连线的斜率k＝＝－，则切线l的斜率kl＝，所以切线l的方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0，故选A．]
3．(多选题)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的直线方程是(　　)
A．4x－3y＝14 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
AB　[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线的距离为半径2，即＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知A、B正确，故选AB．]
4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°＜α30° B．0°＜α60°
C．0°α30° D．0°α60°
D　[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0．
因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离1，即k2－k0，
解得0k，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°α60°．]
5．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
B　[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2) 的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．故选B．]
二、填空题
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
2　[由题意可知，直线l的方程为y＝x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，半径r＝2．圆心(0，2)到直线x－y＝0的距离d＝＝1，所以弦长l＝2＝2．]
7．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________，此时切线长为________．
x＝2或3x－4y＋10＝0　4　[由22＋42＝20>4，得点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
∴＝2，解得k＝．
故所求切线方程为3x－4y＋10＝0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．
此时切线长为P点的纵坐标4．
故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2．]
8．若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m＝________．
－4　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，
∴圆心(1，－2)，
设圆心到直线的距离为d，则d＝＝0，因此弦长6就是直径2r，∴r＝3．
∴r 2＝5－m＝9 m＝－4．]
三、解答题
9．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4．
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
[解]　(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，所以点A在圆上，
所以12＋a2＝4，所以a＝±．
当a＝时，A(1，)，此时切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，此时切线方程为x－y－4＝0．
(2)设直线方程为x＋y＝b，因为直线过点A(1，a)，所以1＋a＝b，即a＝b－1．①
又圆心到直线的距离d＝，
所以＋＝4，②
由①②得或
所以a＝－1或a＝－－1．
10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
[解]　(1)由题意可得，直线l的斜率存在，
则过点A(0，1)的直线方程：y＝kx＋1，即：kx－y＋1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径r＝1．
故由＝1，解得
k1＝，k2＝．
故当(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为y＝kx＋1，
代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，
由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，
解得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．所以|MN|＝2．
11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
12．一束光线从点A(－2，3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
C　[圆的方程可化为(x－3)2＋(y－2)2＝1．
易知A(－2，3)关于x轴对称的点为A′(－2，－3)．
如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，其方程为y＋3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－3＝0，
依题意得，圆心到反射光线所在直线的距离d＝＝1，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝．故选C．]
13．若直线l：x＋y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________．
1　－1或3　[圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝4，
则圆心C(1，0)，半径r＝2，
设圆心C到直线l的距离为d，则
d2＋()2＝r2 d＝1(负值舍去)．
∴＝1 |m－1|＝2 m＝－1或m＝3．]
14．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1，0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．]
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
[解]　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|．
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9．所以当x＝－时＝9．
所以|AP|min＝＝2．
即四边形PACB面积的最小值为2．
(2)由(1)知圆心C到直线距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
1 / 12.6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __个 __个 __个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
类型1　直线与圆的位置关系的判定
【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点？
(2)只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断直线和圆的位置关系的方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A．l与C相交　　　　 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
类型2　直线与圆的相切问题
【例2】　(1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．
(2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，求直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　)
A．2x－y＋9＝0　　　　　 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．　　　D．3
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．
(2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求圆的弦长的两种方法
交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
圆的性质 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题
[跟进训练]
3．(1)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．6
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2 B．－12
C．2 D．12
3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A．　　　B．2　　　C．3　　　D．3
4．过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________．
5．若直线x－y＋m＝0(m>0)被圆(x－1)2＋(y－1)2＝3截得的弦长等于m，则m的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
(2)如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
(3)直线和圆相交时，如何求弦长？
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