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2.6.2　圆与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点) 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法．(重点) 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点) 通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
知识点　两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
图示
d与r1，r 2的关系 ___________ ___________ |r1－r2|注：d＝0，两圆同心(当r1＝r2时，两圆重合)．
(2)代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2 1 0
两圆的公共点个数 __个 __个 __个
两圆的位置关系 ____ ____或____ ____或____
将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．
类型1　两圆位置关系的判断
【例1】　(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)
A．1或3 B．4 C．0 D．2
(2)当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤
(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[跟进训练]
1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
①相切？②相交？③外离？④内含？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　两圆相切问题
【例2】　【链接教材P99例6】
(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆A：(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切与外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
类型3　两圆相交问题
【例3】　【链接教材P100例7】
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
两圆的公共弦的端点同时在两个圆上，由此你想怎样求公共弦所在的直线方程？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例条件不变，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟进训练]
3．(1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．5
C．10 D．10
(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．
1．(教材P100练习T1改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离　 　B．相交　 　C．外切　 　D．内切
2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．圆心为C(2，0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则圆C的方程为________．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)判断两圆的位置关系有哪些方法？
(2)两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
(3)两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
1 / 12.6.2　圆与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点) 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法．(重点) 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点) 通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
知识点　两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
图示
d与r1，r 2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|注：d＝0，两圆同心(当r1＝r2时，两圆重合)．
(2)代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2 1 0
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？
[提示]　两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
[提示]　(1)只有一组实数解时可能外切也可能内切．
(2)当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．
(3)只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．
外切　[圆O1的圆心O1(－2，2)，半径r1＝1，
圆O2的圆心O2(2，5)，半径r2＝4，∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，∴圆O1与圆O2外切．]
类型1　两圆位置关系的判断
【例1】　(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)
A．1或3 B．4 C．0 D．2
(2)当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
(1)D　[由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝，
∴|C1C2|＝＝，则r1－r2<|C1C2|(2)[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离．
　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤
(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d．
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
[跟进训练]
1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
①相切？②相交？③外离？④内含？
(1)C　[圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2．
两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，
两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C．]
(2)[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|＝＝a．
①当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
②当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
③当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
④当|C1C2|＜3，即0类型2　两圆相切问题
【例2】　【链接教材P99例6】
(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆A：(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(－2－m)2＝25，解得m＝2或m＝－5．]
(2)[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，
由圆与直线y＝0相切、半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．
已知圆A：(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a，4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
【教材原题·P99例6】
例6　证明圆C1：x2＋y2－4x－16＝0与圆C2：x2＋y2＋2y－4＝0内切，并求它们的公切线方程．
[解]　将圆C1的方程化成标准方程，得
(x－2)2＋y2＝20，
则圆心坐标为(2，0)，半径r1＝＝2．
将圆C2的方程化成标准方程，得
x2＋(y＋1)2＝5，
则圆心坐标为(0，－1)，半径r2＝．
由于两圆心之间的距离
d＝＝＝r1－r2，
因此两圆内切(如图2.6-7)．
为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，其坐标即为方程组
的解．
②－①，得4x＋2y＋12＝0，　③
即y＝－2x－6．④
将④代入②，整理得
x2＋4x＋4＝0．
解此方程，得唯一解x＝－2，代入④，得y＝－2．故切点坐标为(－2，－2)．
过切点(－2，－2)、圆心(2，0)的直线的一个方向向量为(2－(－2)，0－(－2))＝(4，2)，并且与切线方向垂直，因此向量(4，2)是切线的一个法向量，故可设切线的一般式方程为
4x＋2y＋C＝0．
将切点(－2，－2)的坐标代入上述方程，解得C＝12．
因此，所求切线方程为2x＋y＋6＝0．
　处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切与外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
[设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．]
类型3　两圆相交问题
【例3】　【链接教材P100例7】
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
两圆的公共弦的端点同时在两个圆上，由此你想怎样求公共弦所在的直线方程？
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组
的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．则＝
，
解得a＝，故圆心为，半径为．
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7．故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
[母题探究]
1．本例条件不变，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
[解]　由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程．
∵圆C1的圆心(－3，0)，r＝．
∴C1到直线AB的距离d＝＝．
∴|AB|＝2＝2＝5．
即两圆的公共弦长为5．
弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线．
∵C1(－3，0)，C2(0，－3)．
∴AB的中垂线方程为＝1，即x＋y＋3＝0．
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0，
∴由得圆心，
由母题探究1解析知|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝．
【教材原题·P100例7】
例7　已知圆C1：x2＋y2＋x＋2y－3＝0与圆C2：x2＋y2－6＝0相交，求经过圆C1与圆C2的两个交点的直线方程．
分析　两圆相交，它们的交点的坐标应同时满足两个圆方程．
[解]　将圆C1与圆C2的方程联立，得方程组
①－②，得
x＋2y＋3＝0．③
这是二元一次方程，它的图象是一条直线．
两圆的交点A，B的坐标同时满足方程①和②，因此也满足方程③，也就是说，这两个交点都在直线x＋2y＋3＝0上．
因此，x＋2y＋3＝0就是经过两圆交点A，B的直线方程．
　1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟进训练]
3．(1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．5
C．10 D．10
(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．
(1)D　(2)　[(1)公共弦所在的直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
圆心为(5，5)，半径r＝5，
圆心(5，5)到直线4x＋3y－10＝0的距离为d＝＝5，
所以公共弦长为2＝10，故选D．
(2)由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0．
又圆C3的圆心坐标为(1，1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
设圆C3的半径为r，
由条件知，r2－d2＝＝，
所以弦长为2×＝．]
1．(教材P100练习T1改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离　 　B．相交　 　C．外切　 　D．内切
B　[圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝＝2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定
C　[圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2．
依题意有＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5．]
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D．]
4．圆心为C(2，0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则圆C的方程为________．
x2＋y2－4x＝0　[设x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R，
x2＋y2＋4x－6y＋4＝0 (x＋2)2＋(y－3)2＝9，
所以圆心A坐标为(－2，3)，半径r为3，圆心距为|AC|＝＝5，因为两圆相外切，所以有|AC|＝r＋R R＝2，故圆C的方程为：(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0．]
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________．
1　[将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　①几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
②代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的个数问题．
(2)两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示]　圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；
两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．
(3)两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示]　求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
课时分层作业(二十二)　圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
D　[x2－4x＋y2＝0 (x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0 (x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]
2．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C　[∵圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1，1)，半径为，
∴过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，
当所求的圆的圆心在直线x＋y＝0上时，半径最小，排除A，B．
圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为＝，故选C．]
3．(教材P101习题2.6T6改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(　　)
A． B． C．2 D．3
C　[圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的方程相减得x－y＋2＝0．
∵圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，r＝2，则公共弦长为2＝2．故选C．]
4．若圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－a)2＋(y－2a)2＝4有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[由题意可知，圆O1的圆心是原点，半径r1＝1，
圆O2的圆心是(a，2a)，半径r2＝2，两圆的圆心距d＝＝|a|．∵圆O1与圆O2有公共点，∴|r1－r2|dr1＋r2，即1|a|3，
解得－a－或a．∴实数a的取值范围是．故选A．]
5．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
C　[由题意知圆C1的圆心为(－3，1)，半径r1＝2；圆C2的圆心为(1，－2)，半径r2＝2．所以两圆的圆心距d＝＝5>r1＋r2＝4，
所以两圆外离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9．故选C．]
二、填空题
6．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y＝0　[圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10．又另一圆的方程为x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0．所以直线AB的方程为x＋3y＝0．]
7．若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________．
1或121　[圆x2＋y2＝m的半径r1＝，
圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6．
因为两圆内切，且圆心距离d＝5，
所以6－＝5或－6＝5，
解得m＝1或m＝121．]
8．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
外切　[因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，
所以a2＋b2＝4．
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则圆心距d＝|C1C2|＝＝＝2＝r1＋r2，所以两圆外切．]
三、解答题
9．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
[解]　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为－8＝0，
作O1H⊥AB，H为垂足(图略)，则|AH|＝|AB|＝，
所以|O1H|＝＝＝．
由圆心O1(0，－1)到直线－8＝0的距离为
＝，得＝4或＝20．
故圆O2的方程为
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20．
10．(源自北师大版教材)已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2＋y2＝1相外切，求圆C的方程．
[解]　设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
因为圆C与x轴和y轴都相切，
所以|a|＝|b|＝r．①
因为圆C与圆O：x2＋y2＝1相外切，
所以＝1＋r．②
由方程①化简方程②，得r＝1＋r，
所以r＝＋1．
所以|b|＝|a|＝＋1＝r．
所以圆C的方程为
C1：(x－－1)2＋(y－－1)2＝(＋1)2
或C2：(x＋＋1)2＋(y－－1)2＝(＋1)2
或C3：(x＋＋1)2＋(y＋＋1)2＝(＋1)2
或C4：(x－－1)2＋(y＋＋1)2＝(＋1)2．
如图所示．
11．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D　[设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9．]
12．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为(　　)
A．－3 B．5－3
C．7－3 D．
B　[如图，作圆N关于x轴对称的圆G，连接MG，交x轴于点A(即点O)，连接AN，圆G：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1．
则|AP|＋|AQ|的最小值为|MG|－1－2＝－3＝5－3，故选B．]
13．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中任意一个即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．
如图，
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋．
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意解得
所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
14．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________．
±5　4　[如图所示，在Rt△OO1A中，
由已知条件知|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝＝5，所以当圆O1在y轴右侧时，m＝5，
当圆O1在y轴左侧时，m＝－5．∴m＝±5．
又AB⊥OO1，∴|AC|＝＝2．故|AB|＝4．]
15．已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切．
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．
[解]　(1)圆x2＋y2－2x－4y－76＝0的圆心坐标为(1，2)，半径为9．设圆C的圆心坐标为(a，2a)，则半径r＝＝，两圆的圆心距为＝|a－1|＝r，
因为两圆外切，所以r＝r＋9，
∴r＝＋1．
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)，
①若斜率不存在，则直线方程为：x＝1，圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线，
②若斜率存在，设公切线方程为：y－2＝k(x－1)，
则d＝＝r＝对任意的a都成立，
＝＝，
两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，其方程为7x－y－5＝0．
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