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第2课时　排列的综合应用
学习任务 核心素养
1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养．
类型1　数字排列问题
【例1】　【链接教材P188例5】
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)能被5整除的五位数．
[解]　(1)第一步，排个位数，有种排法；
第二步，排十万位，有种排法；
第三步，排其他位，有种方法．
故共有＝288个六位奇数．
(2)能被5整除的数字个位必须为0或5，若个位上是0，则有个；个位上是5，若不含0，则有个；若含0，但0不作首位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法，故共有＋＋＝216个能被5整除的五位数．
[母题探究]
(变设问)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则 240 135 是第几项？
[解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，所以240 135的项数是＋1＝193，即240 135是数列的第193项．
【教材原题·P188例5】
例5　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字？
(1)个位数字不是5的六位数；
(2)不大于4 310的四位偶数．
[解]　(1)(方法一)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．
第一类，当个位排0时，有个；
第二类，当个位不排0时，有个．
故符合题意的六位数共有＋＝504(个)．
(方法二)将数字0，1，2，3，4，5进行排列，共得个六位数，其中5在个位的六位数有个．
故符合题意的六位数共有－＝504(个)．
(2)分三种情况，具体如下：
①当千位上排1或3时，共有个．
②当千位上排2时，有个．
③当千位上排4时，形如“40××”，“42××”的各有个；
形如“41××”的有个；
形如“43××”的只有4 310和4 302这两个数．
故符合题意的四位偶数共有＋＋＋2＝110(个)．
　数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素．
常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
[跟进训练]
1．用0，1，2，3，4五个数字，
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
[解]　(1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，4×5×5×5×5＝2 500个．
(2)考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为，故共有＝96个．另外，也可以考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入种填法，然后将其余4个数字在剩余四个位置上全排列为种，故共有＝96个．
类型2　排队、排节目问题
　排队问题
【例2】　有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数．
(1)甲只能在中间或者两边位置；
(2)男生必须排在一起；
(3)男、女各不相邻；
(4)甲、乙两人中间必须有3人．
[解]　(1)根据题意，分2步进行分析：
①甲只能在中间或者两边位置，则甲有3个位置可选；
②将剩下的6人全排列，安排在剩下的6个位置，有＝720种情况．
则有3×720＝2 160种不同的排法．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将3个男生看成一个整体，有种情况；
②将男生整体与4名女生全排列，有种情况．
则有＝720种不同的排法．
(3)根据题意，分2步进行分析：
①将4个女生全排列，有种情况，排好后，中间有3个空位可用；
②将3个男生全排列，安排在3个空位中，有种情况．
则有＝144种不同的排法．
(4)根据题意，分3步进行分析：
①将甲、乙2人全排列，有种情况；
②排好后，在剩下的5人中任选3人，安排在甲、乙两人之间，有种情况；
③将排好的5人看成一个整体，与剩下的2人全排列，有种情况．
则有＝720种不同的排法．
　排节目问题
【例3】　某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目，3个舞蹈节目，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；
(2)两个唱歌节目不相邻；
(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
[解]　(1)先排唱歌节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有＝1 440种排法．
(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有种插入方法，所以共有＝30 240种排法．
(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有＝2 880种．
　排队、排节目问题的解题策略
(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．
(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．
(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．
[跟进训练]
2．7名同学，站成一排：
(1)甲站在最中间的排法共有多少种？
(2)甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
[解]　(1)先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，共有＝720种排列方法．
(2)先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有＝2种方法，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有＝720种方法，
所以这样的排法一共有＝1 440种方法．
(3)先将其余四个同学排好有＝24种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
所以一共有＝1 440种．
3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？
[解]　先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为＝604 800(种)．
类型3　排列问题的综合应用
　元素的“在”与“不在”问题
【例4】　3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．
2 880　[第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有种排法．
第二步，安排其余6名，有种排法．
由分步乘法计数原理知，共有＝2 880种不同排法．]
　固定顺序排列问题
【例5】　7人站成一排．
(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法．
(2)甲在乙的左边，有________种不同的排法．
(1)840　(2)2 520　[(1)法一：7人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840种．
法二：(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有＝7×6×5×4＝840种．
(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有＝2 520种．]
　分类讨论思想
【例6】　用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，并由小到大排列，则第114个数是多少？
[解]　分以下几类：
1×××型的四位数有＝60(个)；
3×××型的四位数有＝60(个)；
39××型的四位数有＝12(个)．
因此可得到千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于9的数共有60＋60－12＝108(个)，所以第114个数必是39××型，按由小到大的顺序分别是3 916，3 917，3 918，3 961，3 967，3 968，…，故由小到大排列第114个数是3 968．
[母题探究]
若本例条件不变，问3 796是第几个数？
[解]　由原题知千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于7的数共有60＋12×2＝84(个)．因为3 796在37××型的数中，按由小到大的顺序分别是3 716，3 718，3 719，3 761，3 768，3 769，3 781，3 786，3 789，3 791，3 796，…，可见3 796在这类数中占第11位，所以由小到大排列3 796是第95个数．
　1．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
2．固定顺序的排列问题的求解方法
解这类问题采用的是分类法．n个不同元素的全排列有种排法，m个元素的全排列有种排法．因此种排法中，关于m个元素的不同分法有类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
[跟进训练]
4．(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．
(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．
(1)300　(2)504　[(1)法一(分类法)：分两类．
第1类，化学被选上，有种不同的安排方法；
第2类，化学不被选上，有种不同的安排方法．
故共有＝300种不同的安排方法．
法二(分步法)：第1步，第四节有种排法；第2步，其余三节有种排法，故共有＝300种不同的安排方法．
法三(间接法)：从6门课程中选4门安排在上午，有种排法，而化学排第四节，有种排法，故共有＝300种不同的安排方法．
(2)4名男生和2名女生站成一排共有＝720种站法，其中男生甲站最左端有＝120种站法，女生乙站最右端有种站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有＝24种站法，故满足条件的共有720－120－120＋24＝504种站法．]
1．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为(　　)
A．18 B．72 C．36 D．144
D　[6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为＝144．]
2．(教材P187例4改编)用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．36 B．30 C．40 D．60
A　[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有种，十位数字和百位数字的排法种数有种，故奇数有＝3×4×3＝36个．]
3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
48　[从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有＝48个．]
4．将5辆列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有________种．
78　[当b列车停在第一轨道上时，有种不同的停放方法；当b列车不停在第一轨道上时，第一轨道上有种列车可以停放，第二轨道上也有种列车可以停放，其他轨道上有种不同的停放方法，故共有＝78种不同的停放方法．]
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
186　[可选用间接法解决，先求出从7人中选派3人的方法数，再求出从4名男生中选派3人的方法数，两者相减即得结果＝186(种)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？
[提示]　采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求．
(2)对于元素有特殊位置的排列解题思想是什么？
[提示]　以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？
[提示]　元素相邻问题采用“捆绑”法，不相邻问题采用“插空”法．
课时分层作业(三十七)　排列的综合应用
一、选择题
1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)
A．6种 B．9种 C．18种 D．24种
C　[先排体育有种，再排其他的三科有种，共有3×6＝18(种)．]
2．将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
D　[就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张椅子，共有＝24种不同坐法．]
3．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
B　[分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有种排法；
第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有种排法，有种排法．
由分类加法计数原理，共有＝36种不同的安排方案．]
4．(教材P187例4改编)用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有(　　)
A．288个 B．240个 C．144个 D．126个
B　[第1类，个位数字是2，首位可排3，4，5之一，有种排法，排其余数字有种排法，所以有个数；
第2类，个位数字是4，有个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2，3，4，5之一，有种排法，排其余数字有种排法，所以有个数．
由分类加法计数原理，可得共有＝240个数．]
5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(　　)
A．42 B．30 C．20 D．12
A　[法一：有两种插法，一种是新节目相邻，有·6＝12种插法，另一种是新节目不相邻，有＝30种插法．
∴共有12＋30＝42(种)．
法二：增加两个新节目，共有7个节目，先安排2个新节目，而原来的5个节目按原顺序放入余下的5个位置即可，共有＝42种方法．]
二、填空题
6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
36　[分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有＝36种选法．]
7．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．
448　[千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制，共有＝448个．]
8．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为________．
36　[甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法，故共有＝36种站法．]
三、解答题
9．用0，1，2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：
(1)五位奇数？
(2)大于30 000的五位偶数？
[解]　(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有种不同的排列方法，因此由分步乘法计数原理知共有＝13 440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共种取法．所以共有种不同情况．
②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六位数字中选取，其余三个数位仍有种选法，所以共有种不同情况．
由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数共有＝10 752个．
10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)两名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
[解]　(1)先考虑甲有种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为＝2 160(种)．
(2)2名女生站在一起有站法种，视为一种元素与其余5人全排，有种排法，所以有不同站法＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有种，所以共有不同站法＝144(种)．
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法＝420(种)．
11．用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A．2 296 B．1 792 C．5 040 D．4 536
A　[法一：先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有种方法，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位，有种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有＝2 296个．
法二：个位是0的不同四位偶数共有种，个位不是0的不同四位偶数有个，其中包含个位是偶数且千位为0的有种，故没有重复数字的四位偶数共有＝2 296个．
法三：若千位为奇数，则有个，若千位是偶数，有个，故没有重复数字的四位偶数共有＝2 296个．
法四：没有重复数字的四位数有个，没有重复数字的四位奇数有个，故没有重复数字的四位偶数有)＝2 296个．
故选A．]
12．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法种数共有(　　)
A．48 B．72
C．78 D．84
A　[将五个球排成一行共有种不同的排法，
当两个红色球相邻共有种不同的排法，
当两个黄色球相邻共有种不同的排法，
当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，
则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有＝120－48－48＋24＝48(种)．]
13．市内某公共汽车站有7个候车位(成一排)，现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车，则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为________．
480　[甲，乙相邻用捆绑法，有种，然后从4个位置选2个安排甲，乙，戊有种，
最后用插空法安排丙，丁2人，即从5个空中，插入2人，有种，
故共有＝2×12×20＝480种．]
14．高三年级有3名男生和3名女生共6名学生排成一排照相，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有________种．(用数字作答)
40　[根据题意，分2种情况讨论：
①6名学生按男女男女男女排列，
若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，
剩下的2名男生和女生都有＝2种情况，
此时有1×2×2＝4种安排方法，
若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，
剩下的2名男生和女生都有＝2种情况，此时有2×2×2×2＝16种安排方法；
则此时有4＋16＝20种安排方法；
②6名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，
则符合条件的安排方法有20＋20＝40种．]
15．7人站成一排．
(1)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？
(2)若排成两排照相，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
[解]　(1)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有种方法．
第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有种方法．
第三步：甲、乙及中间1人的排列为．
根据分步乘法计数原理得＝1 200(种)，
故有1 200种排法．
(2)第一步安排甲，有种排法；第二步安排乙，有种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有＝1 440(种)．
1 / 1第2课时　排列的综合应用
学习任务 核心素养
1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养．
类型1　数字排列问题
【例1】　【链接教材P188例5】
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)能被5整除的五位数．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变设问)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则 240 135 是第几项？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素．
常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
[跟进训练]
1．用0，1，2，3，4五个数字，
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　排队、排节目问题
　排队问题
【例2】　有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数．
(1)甲只能在中间或者两边位置；
(2)男生必须排在一起；
(3)男、女各不相邻；
(4)甲、乙两人中间必须有3人．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　排节目问题
【例3】　某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目，3个舞蹈节目，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；
(2)两个唱歌节目不相邻；
(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　排队、排节目问题的解题策略
(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．
(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．
(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．
[跟进训练]
2．7名同学，站成一排：
(1)甲站在最中间的排法共有多少种？
(2)甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　排列问题的综合应用
　元素的“在”与“不在”问题
【例4】　3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　固定顺序排列问题
【例5】　7人站成一排．
(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法．
(2)甲在乙的左边，有________种不同的排法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分类讨论思想
【例6】　用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，并由小到大排列，则第114个数是多少？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
若本例条件不变，问3 796是第几个数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
2．固定顺序的排列问题的求解方法
解这类问题采用的是分类法．n个不同元素的全排列有种排法，m个元素的全排列有种排法．因此种排法中，关于m个元素的不同分法有类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
[跟进训练]
4．(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．
(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．
1．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为(　　)
A．18 B．72 C．36 D．144
2．(教材P187例4改编)用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．36 B．30 C．40 D．60
3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
4．将5辆列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有________种．
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？
(2)对于元素有特殊位置的排列解题思想是什么？
(3)对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？
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