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3.3　函数的应用(一)
学习任务 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(直观想象) 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模、数学运算)
随着经济和社会的发展，新能源汽车逐渐受到人们的青睐．下面是某地一新能源汽车销售公司近年来的销售量统计表： 年份202120222023销量/万辆81830
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2024年实际销售44万辆，圆满完成销售目标． 问题　(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？ (2)如果我们分别将2021，2022，2023，2024年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？ (3)依照目前的形势分析，你能预测一下2025年该公司预销售多少辆新能源汽车吗？
知识点　常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f (x)＝
对勾函数模型 f (x)＝x＋(p为常数且p＞0)
1．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______元．
2．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f (x)的解析式为________．
类型1　一次函数模型的应用
【例1】　【链接教材P129例2】
某厂日生产文具盒的总成本y(单位：元)与日产量x(单位：套)之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
A．2 000套　　　 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
[跟进训练]
1．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出________张门票．
类型2　二次函数模型
【例2】　【链接教材P130例4】
某化学试剂厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围．
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用二次函数求最值的方法
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．
[跟进训练]
2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　分段函数模型的应用
【例3】　【链接教材P128例1】
某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　对勾函数模型的应用
【例4】　【链接教材P130例5】
某公司为了变废为宝，节约资源，设立了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可以近似表示为
y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元．该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确定下一步的解题方向．若所建数学模型为求最大(小)值，则常考虑利用均值不等式求解．
[跟进训练]
4．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x(单位：千部)手机，需另投入成本P(x)万元，且P(x)＝通过市场调研得知，每部手机售价0.6万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)当产量为多少(单位：千部)时，企业所获利润最大，最大利润是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x(0B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(52．(教材P131习题3－3AT1改编)某商场将洗衣机的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台洗衣机利润为360元，那么洗衣机的进价是(　　)
A．2 000元　　　　 B．2 500元
C．3 000元 D．3 500元
3．某公司招聘员工，面试的人数按拟录用的人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用的人数，y代表面试的人数．若面试的人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．70
4．某类产品按工艺共分10个档次，第1档(即最低档次)产品每件利润为8元，每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，用同样的工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得的利润最大时，生产的产品是第________档．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数模型在实际应用中，函数的自变量有什么特点？
2．建立函数模型解决实际问题的步骤有哪些？
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
1．实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图①．
图①
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．
2．实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Léonard Euler，1707－1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图②所示的图形．实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
图②
3．数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
4．一笔画定理
一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形．
(2)图形中的奇点个数为0或2．
3.4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点(略)
1/13.3　函数的应用(一)
学习任务 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(直观想象) 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模、数学运算)
随着经济和社会的发展，新能源汽车逐渐受到人们的青睐．下面是某地一新能源汽车销售公司近年来的销售量统计表： 年份202120222023销量/万辆81830
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2024年实际销售44万辆，圆满完成销售目标． 问题　(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？ (2)如果我们分别将2021，2022，2023，2024年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？ (3)依照目前的形势分析，你能预测一下2025年该公司预销售多少辆新能源汽车吗？
知识点　常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f (x)＝
对勾函数模型 f (x)＝x＋(p为常数且p＞0)
1．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______元．
60　[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售单价为60元时，y取得最大值．]
2．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f (x)的解析式为________．
[答案]　y＝f (x)＝
类型1　一次函数模型的应用
【例1】　【链接教材P129例2】
某厂日生产文具盒的总成本y(单位：元)与日产量x(单位：套)之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
A．2 000套　　　 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
D　[因为利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]
【教材原题P129例2】
例2　城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f (t)亿．写出f (t)的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数．
[解]　因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f (t)是一次函数，设f (t)＝kt＋b，其中k，b是常数．
注意到2013年是1978年后的第2 013－1 978＝35年，因此
即
解得k＝0.16，b＝1.7．
因此f (t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t<40．
又因为2017年是1978年后的第2 017－1 978＝39年，而且
f (39)＝0.16×39＋1.7＝7.94，
所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿．
　1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
[跟进训练]
1．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出________张门票．
234　[由题图知，盈利额每天要超过1 000元时，x∈(200，300]这一区间，
设y＝kx＋b(k≠0)，将(200，500)，(300，2 000)代入得得即y＝15x－2 500，由15x－2 500>1 000，得x>，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元．]
类型2　二次函数模型
【例2】　【链接教材P130例4】
某化学试剂厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围．
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
[解]　(1)由题意可知，2≥30．
即5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3．
又1≤x≤10，
所以3≤x≤10．
(2)易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
【教材原题P130例4】
例4　某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？
[解]　设矩形的长为x时，场地的面积为S．
因为矩形的周长要为l，所以矩形的宽为(l－2x)，由
可解得0又因为
S＝(l－2x)x＝－x2＋x＝－＋，
所以当x＝时，S的最大值为．此时矩形的宽为
＝．
即所围矩形是长、宽都为的正方形时，场地面积最大．
　利用二次函数求最值的方法
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．
[跟进训练]
2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？
[解]　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0，2]，
所以y＝60u2－100u＋400＝60＋150，所以当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
类型3　分段函数模型的应用
【例3】　【链接教材P128例1】
某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解]　(1)当05时，产品只能售出500件．
所以f (x)＝
即f (x)＝
(2)当0－(x－4.75)2＋10.781 25，
所以当x＝4.75(百件)时，f (x)有最大值，
f (x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f (x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
【教材原题P128例1】 例1　为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档户年用水量/m3综合用水单价/(元m-3)第一阶梯0～220(含)3.45第二阶梯220～300(含)4.83第三阶梯300以上5.83
记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f (x)元． (1)写出f (x)的解析式； (2)假设该市某户居民2015年共用水260 m3，则2015年应缴纳水费多少元？ [解]　(1)不难看出，f (x)是一个分段函数，而且： 当0300时，有 f (x)＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83＝5.83x－603.6． 因此f (x)＝ (2)因为220<260≤300， 所以f (260)＝4.83×260－303.6＝952.2， 因此此户居民2015年应缴纳水费952.2元．
　1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
[解]　(1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360．
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km．
(2)根据题图，有
s＝
这个函数的图象如图所示．
类型4　对勾函数模型的应用
【例4】　【链接教材P130例5】
某公司为了变废为宝，节约资源，设立了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可以近似表示为
y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元．该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？
[解]　由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为
＝
当x∈[120，144)时，
＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240；
当x∈[144，500)时，
＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，
即x＝400时，取得最小值200．
因为200<240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【教材原题P130例5】
例5　已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2＋3 000，且当年产量是100时，总成本是6 000．设该产品年产量为Q时的平均成本为f (Q)．
(1)求f (Q)的解析式；
(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
[解]　(1)将Q＝100，C＝6 000代入C＝aQ2＋3 000中，可得
1002a＋3 000＝6 000，
从而a＝，于是C＝＋3 000．
因此f (Q)＝＝Q＋，Q>0．
(2)因为f (Q)＝Q＋≥2＝60，
且Q＝，即Q＝100时，上述等号成立．
因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60．
　根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确定下一步的解题方向．若所建数学模型为求最大(小)值，则常考虑利用均值不等式求解．
[跟进训练]
4．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x(单位：千部)手机，需另投入成本P(x)万元，且P(x)＝通过市场调研得知，每部手机售价0.6万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)当产量为多少(单位：千部)时，企业所获利润最大，最大利润是多少？
[解]　(1)由已知W(x)＝0.6×1 000x－[200＋P(x)]＝600x－[200＋P(x)]，
又P(x)＝
∴W(x)＝
即W(x)＝
(2)当0∴当x＝20时，W(x)有最大值，最大值W(20)max＝3 800(万元)．
当x≥40时，>0，W(x)＝－＋5 800≤－2＋5 800，
当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立，此时W(x)有最大值，最大值W(100)max＝5 600(万元)，
综上所述，当产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润为5 600万元．
1．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x(0B．y＝20－2x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5D　[由题意，得2x＋y＝20，
∴y＝20－2x．
∵y>0，∴20－2x>0．
又x>0，∴0又三角形两边之和大于第三边，
∴解得x>5，
∴52．(教材P131习题3－3AT1改编)某商场将洗衣机的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台洗衣机利润为360元，那么洗衣机的进价是(　　)
A．2 000元　　　　 B．2 500元
C．3 000元 D．3 500元
C　[设洗衣机的进价为x元，
得1.4x×0.8－x＝360，
解得x＝3 000，故选C．]
3．某公司招聘员工，面试的人数按拟录用的人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用的人数，y代表面试的人数．若面试的人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．70
C　[当1≤x≤10时，4≤y≤40，不符合题意；
当x>100时，y>150，不符合题意．
因此10由2x＋10＝60，得x＝25．]
4．某类产品按工艺共分10个档次，第1档(即最低档次)产品每件利润为8元，每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，用同样的工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得的利润最大时，生产的产品是第________档．
9　[设生产的产品提高x个档次后，可获利y元，则y＝(8＋2x)(60－3x)＝－6x2＋96x＋480＝－6(x－8)2＋864，所以当x＝8时，y取得最大值，即生产的产品是第9档．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数模型在实际应用中，函数的自变量有什么特点？
[提示]　在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．
2．建立函数模型解决实际问题的步骤有哪些？
[提示]
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
1．实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图①．
图①
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．
2．实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Léonard Euler，1707－1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图②所示的图形．实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
图②
3．数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
4．一笔画定理
一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形．
(2)图形中的奇点个数为0或2．
课时分层作业(二十六)　函数的应用(一)
一、选择题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
B　[设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，
则
解得
∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300．
∴营销人员没有销售量时的收入是300元．]
2．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系满足f (t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是(　　)
A．54 B．58
C．64 D．68
C　[函数f (t)＝－t2＋24t－101的图象的对称轴为直线t＝12，所以f (t)在[4，12]上单调递增，在[12，18]上单调递减，所以f (t)max＝f (12)＝43，f (t)min＝f (4)＝－21，所以在该时段的最大温差是43－(－21)＝64．]
3．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　)
A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
BCD　[在A中，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；
在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；
在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；
在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．]
4．我国的烟花名目繁多，制造烟花时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　)
A．26米 B．28米
C．30米 D．32米
B　[h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17图象的对称轴的方程为t＝－＝，因此当t＝时，烟花距离地面的高度最大，为h≈28．
故选B．]
5．图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示．以下能说明该事实的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[对于A，当x＝0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；
对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，B错误；
对于C，当x＝0时，y值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；
对于D，当x＝0时，虚线y值变大，说明成本减小，又因为虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，D正确．
故选D．]
二、填空题
6．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元．当公司的收益最大时，订购件数为________．
175　[设销售额为y元，销售件数为x件，
则y＝
当x≤150且x∈N时，y的最大值为200×150＝30 000．
令g(x)＝x[200－(x－150)]＝350x－x2，则当x＝175时，g(x)max＝g(175)＝30 625，即ymax＝30 625．
因为30 625>30 000，所以当x＝175时，y取得最大值30 625．]
7．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________h．
10　[设全部物资到达灾区所需时间最少为t h，
由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了
km所用的时间，
因此，t＝＝≥2＝10．
当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．
故最少需要10 h．]
8．某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2(万元)，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
2 500　[L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]
三、解答题
9．某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y＝－70x＋10 000，已知该生产线年产量最大为220吨．
(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本．
(2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？
[解]　(1)生产每吨产品的平均成本
＝＝－70≥2－70＝30，
当且仅当＝，
即x＝200时等号成立，
∴当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，为30万元．
(2)设年利润为W(x)，则W(x)＝50x－y＝50x－＝－(x－240)2＋4 400，
当0∴当年产量为220吨时，可以获得最大年利润为4 300万元．
10．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　)
A．135 B．149
C．165 D．195
B　[由题意得，N＝＝≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149．
故选B．]
11．某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是________ m．
3　[以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系(图略)．则由题设条件知，抛物线的顶点M，A点坐标为(0，10)．于是可设抛物线方程为y＝a(x－1)2＋．将A点坐标(0，10)代入该方程可求得a的值为－．
∴抛物线方程为y＝－(x－1)2＋．
令y＝0，得(x－1)2＝4，
∴x＝3或－1(舍去)．
∴B点的坐标为(3，0)，
故OB＝3．]
12．A公司为了进一步打开海外市场，需要加大在开创性、创新性探索和实践方面的投入．A公司旗下甲、乙两家子公司，各子公司投入与利润的关系如下．甲公司：利润y(单位：亿元)与投入x(单位：亿元)的函数关系为y＝kx＋b(k≠0)，乙公司：利润y(单位：亿元)与投入x(单位：亿元)的函数关系为y＝m＋n(m≠0)，如图所示．目前，A公司准备拿出资金10亿元投入甲、乙两公司，当总利润最大时应投入甲公司________亿元，投入乙公司________亿元．
　[对于甲公司，由题意可得，解得即甲公司利润与投入的函数关系式为y＝x－．对于乙公司，由解得即乙公司利润与投入的函数关系式为y＝．
设投入到乙公司x亿元，则投入到甲公司(10－x)亿元，
总利润y＝(10－x)＋－1．
令t＝，t∈[0，]，则总利润为y＝－t2＋t＋3＝－＋，
因此当t＝，即投入到乙公司x＝亿元，投入到甲公司10－x＝亿元时，总利润最大．]
13．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生接受概念的能力(f (x)的值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f (x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解]　(1)当0由f (x)的图象(图略)可知，当x＝10时，f (x)取得最大值，
即f (x)max＝f (10)＝59；当10当16因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．
3.4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点(略)
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