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微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题
在集合的关系与运算中，特别是涉及集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算量较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图求解集合问题，就会直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率．
类型1　利用数轴解决集合的运算
问题
【例1】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，( UA)∪B，A∩( _U B)) ) ，( UA)∪( UB)．
[解]　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B．
这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}， UA＝{x|x<－2或3类型2　利用数轴解决集合的关系问题
【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若( RA)∪B≠R，求a的取值范围；
(2)若A∩B≠A，求a的取值范围．
[解]　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x<0或x>2}．
若( RA)∪B＝R，如图，
则a≤0且a＋3≥2，即－1≤a≤0，
∴满足( RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<－1或a>0}．
(2)若A∩B＝A，则A B．
又A≠ ，则得即－1≤a≤0．
∴当A∩B≠A时，a的取值范围为{a|－1≤a≤0}的补集，即{a|a<－1或a>0}．
类型3　利用数轴解决集合运算中求参数范围问题
【例3】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝ ；(2)A (A∩B)．
[解]　(1)若A＝ ，则A∩B＝ 成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6．
若A≠ ，如图所示，
则解得6≤a≤7．
综上，满足条件A∩B＝ 的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
(2)因为A (A∩B)，
所以A∩B＝A，即A B．
显然A＝ 满足条件，此时a<6．
若A≠ ，如图所示，
则或
由解得a∈ ．
由解得a>．
综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是．
类型4　利用维恩图解决集合中元素问题
【例4】　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩( UP)＝{3，5}，( UM)∩P＝{7，19}，( UM)∩( UP)＝{2，17}，求集合M，P．
[解]　根据题意，全集U＝{不大于20的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}．
由M∩( UP)＝{3，5}可知，
3∈M，5∈M且3 P，5 P；
由( UM)∩P＝{7，19}可知，7∈P，19∈P且7 M，19 M；又由( UM)∩( UP)＝{2，17}可知，
2 M，17 M，2 P，17 P．
这样依次可画出维恩图，结合图示对11，13分别进行分析，
可知11，13在两个集合的交集内．
因此集合M＝{3，5，11，13}，P＝{7，11，13，19}．
微专题强化练(一)　利用数轴、维恩图解决集合问题
一、选择题
1．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－1A　[利用数轴可知A∩B＝{x|－23}＝{x|－22．设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
A　[利用数轴可知M∪N＝{x|x<2}，所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．]
3．已知A，B都是R的子集，且A B，则B∪( RA)＝(　　)
A．A B．B
C． D．R
D　[维恩图如图所示，
易知B∪( RA)＝R．故选D．]
4．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则(　　)
A．P Q B．Q P
C．P RQ D．Q RP
B　[P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}＝{x|－2可知Q P，故选B．]
5．已知集合M＝{x|x＋1≥0}，N＝，则下列维恩图中阴影部分可以表示集合{x|－1≤x<0}的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[∵M＝{x|x＋1≥0}＝[－1，＋∞)，
N＝＝(－∞，0)，∴M∩N＝{x|－1≤x<0}．由各选项维恩图知，A符合要求，故选A．]
二、填空题
6．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}．若B∪( UA)＝R，B∩( UA)＝{x|0{x|02}，又B∪( UA)＝R，B∩( UA)＝{x|0]
7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x(2，＋∞)　(－∞，1]　[根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示为：
若A∩B＝A，则有A B，必有a>2，
若A∩B＝ ，必有a≤1．]
8．某班级共有50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有________人．
25　[根据题意可设全班的学生组成的集合为U，做对物理实验的学生组成的集合为A，做对化学实验的学生组成的集合为B．
并将两种实验都做正确的学生记为x人，则可用维恩图将其关系表示如图，结合维恩图及题意知，＋x＋＋4＝50，解得x＝25，
故两种实验都做正确的学生为25人．]
三、解答题
9．集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
[解]　(1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，画出数轴如图所示．
由图可知，若A∩B＝ ，则
解得－1≤a≤2．∴a的取值范围是[－1，2]．
(2)由A∩B＝A，得A B．
则a＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5．
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(5，＋∞)．
1/1微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题
在集合的关系与运算中，特别是涉及集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算量较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图求解集合问题，就会直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率．
类型1　利用数轴解决集合的运算
问题
【例1】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，( UA)∪B，A∩( _U B)) ) ，( UA)∪( UB)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用数轴解决集合的关系问题
【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若( RA)∪B≠R，求a的取值范围；
(2)若A∩B≠A，求a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用数轴解决集合运算中求参数范围问题
【例3】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝ ；(2)A (A∩B)．
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类型4　利用维恩图解决集合中元素问题
【例4】　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩( UP)＝{3，5}，( UM)∩P＝{7，19}，( UM)∩( UP)＝{2，17}，求集合M，P．
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