资源简介

微专题2　不等式恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下三种解题策略：判别式法、分离变量法、变更主元法．能成立问题的解题方法可转化为求函数最值问题．
1．判别式法
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．
2．分离变量法
如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，那么可以利用函数的最值求解．a>y恒成立 a>ymax，a3．变更主元法
在有多个变量的问题中，常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元．在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决．
4．最值法
能成立问题可以转化为m>ymin或m【例1】　对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　不妨设y＝x2－2x＋3－m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使y≥0(x∈R)恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m)≤0，解得m≤2．故实数m的取值范围为(－∞，2]．
【例2】　若关于x的不等式ax2－2x＋2>0对于满足1[解]　∵1∴不等式ax2－2x＋2>0可转化为a>．
令y＝＝－2＋．
∵<<1，∴当＝，
即x＝2时，函数取得最大值，
∴a>，即实数a的取值范围为．
【例3】　对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
[解]　不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0，设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的函数，
则0≤p≤4时y>0恒成立．
即
解得x<－1或x>3．
所以x的取值范围是{x|x<－1或x>3}．
【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
[解]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，∴实数m的取值范围为[－2，＋∞)．
微专题强化练(二)　不等式恒成立、能成立问题
一、选择题
1．若不等式kx2＋2kx－3＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．{k|－3＜k＜0} B．{k|－3≤k≤0}
C．{k|－3≤k＜0} D．{k|－3＜k≤0}
D　[当k＝0时，－3＜0显然成立；当k≠0时，由题意可得
解得－3＜k＜0．
即k的取值范围为{k|－3＜k≤0}．]
2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
B　[由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0，
若a＝1，不等式的解集为{1}符合题意，
若a＜1，不等式的解集为[a，1]，
若满足[a，1] [－4，3]，则－4≤a＜1，
若a＞1，不等式的解集为[1，a]，
若满足[1，a] [－4，3]，则1＜a≤3，
综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4，3]．]
3．命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．k∈(－3，0) B．k∈(－3，0]
C．k∈(－3，1) D．k∈(－3，＋∞)
A　[因为 x∈R，2kx2＋kx－<0为真命题，所以k＝0或所以－3对选项A，“k∈(－3，0)”是命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件，正确；
对选项B，“k∈(－3，0]”是命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充要条件，错误；
对选项C，“k∈(－3，1)”是命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的必要不充分条件，错误；
对选项D，“k∈(－3，＋∞)”是命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的必要不充分条件，错误．
故选A．]
4．存在x∈[0，2]，使aA．(－∞，－1) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，－1]
C　[因为存在x∈[0，2]，使a又y＝x2－2x在x＝0或2时取到最大值为0，所以a<0．故选C．]
5．已知关于x的不等式x2－2x＋5≤a2－3a有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，4]
B．[－4，1]
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
C　[(法一：分离参数法)∵x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，
∴要使不等式x2－2x＋5≤a2－3a有解，只需a2－3a≥4，得a≤－1或a≥4．
(法二：判别式法)原不等式可化为x2－2x＋5－a2＋3a≤0，则该不等式有解时，(－2)2－4(5－a2＋3a)≥0，解得a≤－1或a≥4．]
二、填空题
6．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙2x<1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－－1，－1)　[根据定义，不等式(x＋m)⊙ 2x<1即为(x＋m)(2－2x)<1，
整理得2x2＋(2m－2)x－2m＋1>0对一切实数x恒成立，则只需(2m－2)2－8(1－2m)<0，
整理得m2＋2m－1<0，
解得m∈(－－1，－1)．]
7．若不等式2x＞x2＋a对一切x∈[－2，3]恒成立，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－8)　[∵2x＞x2＋a，
∴a＜2x－x2，
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1在x∈[－2，3]的最小值为－8，∴a<－8，
∴实数a的取值范围为(－∞，－8)．]
8．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－6]∪[2，＋∞)　[不等式x2－ax－a≤－3变形为x2－ax＋3－a≤0，
∵不等式有解，
∴方程x2－ax＋3－a＝0的判别式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，
解得a≤－6或a≥2，
故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
[解]　(法一)y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0．
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，只需x2－x＋1小于的最小值，即x2－x＋1< x2－x－1<0 ∴实数x的取值范围为．
(法二)设关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6．
由题意知y<0对1≤m≤3恒成立．
∵x2－x＋1>0，
∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大，
∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0，
即(x2－x＋1)×3－6<0 x2－x－1<0 ∴实数x的取值范围为．
10．已知 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解]　(1)因为 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0，1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0，0≤a≤1．
①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为 ；
当11．已知不等式mx2－mx－1<0．
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)①若m＝0，原不等式为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，不等式mx2－mx－1<0恒成立，
则解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4，0]．
(2)令y＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需当x＝1时，y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得m<，所以0③当m<0时，函数y＝mx2－mx－1的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝1时，函数y<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是．
1/1微专题2　不等式恒成立、能成立问题
不等式恒成立、能成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下三种解题策略：判别式法、分离变量法、变更主元法．能成立问题的解题方法可转化为求函数最值问题．
1．判别式法
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．
2．分离变量法
如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，那么可以利用函数的最值求解．a>y恒成立 a>ymax，a3．变更主元法
在有多个变量的问题中，常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元．在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决．
4．最值法
能成立问题可以转化为m>ymin或m【例1】　对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】　若关于x的不等式ax2－2x＋2>0对于满足1[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例3】　对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1

展开更多......

收起↑