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13.3三角形的内角与外角讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
知识梳理
三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
精选题练习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 二七区开学）一个直角三角形的两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（　　）
A．20° B．60° C．30° D．45°
2．（2025 安阳开学）∠1、∠2和∠3是一个三角形的三个内角．如果∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
3．（2024秋 花山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝（　　）
A．42° B．72° C．69° D．84°
4．（2025春 泌阳县期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2025春 道里区期末）适合条件∠A＝∠B∠C的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
6．（2025春 沈丘县期末）如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，下列结论中正确的是（　　）
A．∠A＜∠2＜∠1 B．∠A＜∠1＜∠2 C．∠2＜∠1＜∠A D．∠1＜∠2＜∠A
7．（2025春 沈丘县期末）如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
8．（2025春 儋州期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（　　）
A．140° B．60° C．70° D．80°
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 宁化县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是 　 　 ．
10．（2025春 嘉定区期末）如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为　 　 ．
11．（2025春 莱州市期末）如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是　 　 三角形．
12．（2024秋 渭源县期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　 　 ．
13．（2025 东港区校级模拟）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　 度．
14．（2025 珠海三模）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝20°，∠2＝70°，求∠B＝ 　 　 ．
15．（2025春 仓山区期末）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　 　 °．
16．（2025春 惠来县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝60°，那么∠1+∠2的大小为 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 双阳区校级开学）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为边AB上的高，AD与CE交于点F，∠B＝44°，∠ACB＝80°．求∠AFC的度数．
18．（2025春 内江期末）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在边BC上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D．
（1）求证：∠DAC＝∠CED；
（2）若∠AFD＝60°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数．
19．（2024秋 花山区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
（2）直接写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．
20．（2024秋 罗山县期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
21．（2024秋 潢川县期末）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，且∠DBC＝30°．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CP交BD于P，若∠CPD＝75°，则CP是∠ACB的平分线吗？请说明理由．
22．（2024秋 金凤区校级期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”．
（1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．
①求∠A、∠B的度数．
②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数．
13.3三角形的内角与外角讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A D A C B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 二七区开学）一个直角三角形的两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（　　）
A．20° B．60° C．30° D．45°
【解答】设较小的锐角为x°，则较大的锐角为2x°，
根据题意，两角之和等于直角，
所以根据题意列一元一次方程得：x+2x＝90，
整理得，3x＝90，
解得x＝30，
故选：C．
2．（2025 安阳开学）∠1、∠2和∠3是一个三角形的三个内角．如果∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【解答】解：∵三角形三个内角的和为180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°．
又∵∠1＝∠2+∠3，
整理得∠1+∠1＝180°，即2∠1＝180°．
解得∠1＝90°．
有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、锐角三角形三个角都小于90°，所以此选项错误，不符合题意；
B、直角三角形有一个角是90°，所以此选项正确，符合题意；
C、钝角三角形有一个角大于90°，所以此选项错误，不符合题意；
D、可确定为直角三角形，所以此选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．（2024秋 花山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝（　　）
A．42° B．72° C．69° D．84°
【解答】解：∵∠DAC和∠ACF是△ABC的外角，
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠BCA）+（∠B+∠BAC），
∵∠B＝42°，∠B+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠DAC+∠ACF＝222°．
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴，
∴∠AEC＝180°﹣111°＝69°
故选：C．
4．（2025春 泌阳县期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
5．（2025春 道里区期末）适合条件∠A＝∠B∠C的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【解答】解：∵角形内角和为180°．
∴∠A+∠B+∠C＝180°．
又∵∠A＝∠B∠C的．
∴2∠C＝180°．
解得∠C＝90°．
故适合条件∠A＝∠B∠C的三角形是直角三角形．
故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确．
故选：D．
6．（2025春 沈丘县期末）如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，下列结论中正确的是（　　）
A．∠A＜∠2＜∠1 B．∠A＜∠1＜∠2 C．∠2＜∠1＜∠A D．∠1＜∠2＜∠A
【解答】解：∵∠1是△CDP的一个外角，∠2是△ABD的一个外角，
∴∠1＝∠2+∠DCP，∠2＝∠A+∠DBA，
∴∠2＜∠1，∠A＜∠2，
∴∠A＜∠2＜∠1．
故选：A．
7．（2025春 沈丘县期末）如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【解答】解：∵∠A＝10°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝80°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ADC＝∠DCE﹣∠A＝70°，
∵∠ADC＝∠EDF，
∴∠CED＝∠AED＝∠EDF﹣∠A＝60°，
∵∠CED＝∠FEG
∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝60°﹣10°＝50°，
故选：C．
8．（2025春 儋州期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（　　）
A．140° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵△DEF是由△DEA折叠而成的，
∴∠A＝∠F＝30°．
∵∠A+∠ADF+∠AEF+∠F＝360°，
∴∠ADF+∠AEF＝360°﹣∠A﹣∠F＝300°．
∵∠BDF＝180°﹣∠ADF，
∠FEC＝180°﹣∠AEF，
∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF
＝360°﹣（∠ADF+∠AEF）
＝360°﹣300°
＝60°．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 宁化县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是 　12°　 ．
【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE38°．
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝64°+38°＝102°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADE＝102°﹣90°＝12°．
故答案为：12°．
10．（2025春 嘉定区期末）如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为　∠1＜∠2＜∠3　 ．
【解答】解：在△BDE中，∠3＞∠2，
在△ABC中，∠2＞∠1，
∴∠1＜∠2＜∠3，
所以∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为：∠1＜∠2＜∠3．
故答案为：∠1＜∠2＜∠3．
11．（2025春 莱州市期末）如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是　直角　 三角形．
【解答】解：∵∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
故答案为直角．
12．（2024秋 渭源县期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　120°　 ．
【解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∠A′DE＝∠ADE＝30°，
∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为120°．
13．（2025 东港区校级模拟）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540　 度．
【解答】解：连接DG、AC．
在四边形EFGD中，得∠E+∠F+∠EDG+∠DGF＝360°，
又∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠B＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．
故答案为540．
14．（2025 珠海三模）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝20°，∠2＝70°，求∠B＝ 　40°　 ．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠2＝∠BAC+∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝20°，∠2＝70°（已知），
∴∠BAC＝∠2﹣∠1＝70°﹣20°＝50°．
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°．
所以∠B的度数为40°．
故答案为：40°．
15．（2025春 仓山区期末）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　40　 °．
【解答】解：∵∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A
＝70°﹣30°
＝40°，
故答案为：40．
16．（2025春 惠来县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝60°，那么∠1+∠2的大小为 　240°　 ．
【解答】解：由三角形内角和可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠AED＝180°﹣∠1，∠ADE＝180°﹣∠2，
∴180°﹣∠1+180°﹣∠2＝120°，
∴∠1+∠2＝240°．
故答案为：240°．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 双阳区校级开学）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为边AB上的高，AD与CE交于点F，∠B＝44°，∠ACB＝80°．求∠AFC的度数．
【解答】解：∵∠B＝44°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣44°﹣80°＝56°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴，
∵CE为边AB上的高，即∠AEC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝34°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACF＝180°﹣28°﹣34°＝118°．
18．（2025春 内江期末）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在边BC上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D．
（1）求证：∠DAC＝∠CED；
（2）若∠AFD＝60°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠CED是△BDE的外角，
∴∠CED＝∠B+∠D，
又∵∠C＝∠D，
∴∠DAC＝∠CED；
（2）解：∵∠AFD＝60°，
∴∠DFC＝120°，
∵∠DFC＝3∠B，
∴，
∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝∠D，
∴∠B+∠C+∠C+∠AFD＝180°，即40°+∠C+∠C+60°＝180°，
∴，
∴∠D＝40°，
∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
19．（2024秋 花山区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
（2）直接写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．
【解答】（1）解：∵∠B＝42°，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝42°+26°＝68°，
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝68°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+26°＝94°；
（2）解：∠BAC＝∠B+2∠E，证明如下：
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
又∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E
＝∠ECD+∠E
＝∠B+∠E+∠E
＝∠B+2∠E，
即：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．（2024秋 罗山县期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
21．（2024秋 潢川县期末）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，且∠DBC＝30°．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CP交BD于P，若∠CPD＝75°，则CP是∠ACB的平分线吗？请说明理由．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC交AC于D，且∠DBC＝30°，
∴∠ABC＝2∠DBC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
（2）CP是∠ACB的平分线．
证明：∵∠CPD＝75°，
∴∠PCB＝∠CPD﹣∠DBC＝75°﹣30°＝45°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠DCP＝45°，
∴CP是∠ACB的平分线．
22．（2024秋 金凤区校级期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”．
（1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．
①求∠A、∠B的度数．
②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数．
【解答】解：（1）①∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），
∴∠A＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，即2∠B+∠B＝90°，解得∠B＝30°，
∴∠A＝60°；
②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，
理由：∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°
在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°，
∴，
∴△ACD为“友爱三角形”；
在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°，
∴
∴△BCD为“友爱三角形”；
（2）∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A，B重合），
∴或，
当时，；
当时，
∴∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°，
∴∠ACD＝38°，
综上所述，∠ACD的度数为33°或38°．
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