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14.2三角形全等的判定讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
知识梳理
全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
精选题练习
一．选择题（共9小题）
1．（2024秋 荆州区期末）如图，∠1＝∠2，下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（　　）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
2．（2025春 锦江区校级期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．（2025春 杜尔伯特县期末）如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（　　）
A．120° B．125° C．127° D．104°
4．（2025春 青浦区期末）如图，△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2025春 清苑区期末）下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
6．（2025 十堰二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（a，0），B（0，b），C（2，2），其中b＜0＜a，则a，b之间的数量关系是（　　）
A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝4 D．a﹣b＝4
7．（2025 衡阳二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠DCE＝∠CDF，若AB＝16，AC＝4，则CD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2025春 南海区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点共线，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
9．（2024秋 海拉尔区期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE交于点P，BD交AC于点M，CE交AD于点N，连接AP．下列结论：
①BD＝CE；
②∠BPE＝180°﹣2α；
③PA平分∠BPE；
④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
二．填空题（共7小题）
10．（2025 东明县一模）如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件　 　 ，使△ACD≌△CBE．
11．（2024秋 桐柏县期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　 　 ．（写一种即可）
12．（2024秋 温岭市期末）如图，△ABC中，AC＝BC，BE⊥AC，E为垂足，点D在BC上，且AB＝AD，若CE＝3CD，AE＝2，则BC的长为＝ 　 　 ．
13．（2024秋 当阳市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＝CB，若∠D＝108°，则∠B＝　 　 °．
14．（2024秋 北京期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是　 　 度．（用含α的代数式表示）
15．（2025春 邯郸期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 　 　 m时，△CAP与△PQB全等．
16．（2024秋 沙市区期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 新城区校级二模）如图，点B、C、E在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，BC＝DE．求证：∠B＝∠D．
18．（2025 江安县模拟）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
19．（2025 南沙区校级二模）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
20．（2025 云南模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
21．（2024秋 淮阳区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠DEC＝∠AEB，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠DEC＝38°，求∠BDE度数．
22．（2024秋 淮阳区期末）如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝6cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若P、Q的运动速度相同，当t＝2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求出相应的x的值．
14.2三角形全等的判定讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A C A D C C B D
一．选择题（共9小题）
1．（2024秋 荆州区期末）如图，∠1＝∠2，下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（　　）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确，符合题意；
C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误，不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2025春 锦江区校级期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE是∠PRQ的平分线，
故选：A．
3．（2025春 杜尔伯特县期末）如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（　　）
A．120° B．125° C．127° D．104°
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D＝30°，∠BAC＝∠DAC∠BAD46°＝23°，
∴∠ACD＝180°﹣∠D﹣∠DAC＝180°﹣30°﹣23°＝127°，
故选：C．
4．（2025春 青浦区期末）如图，△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解答】解：如图：图中与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是5个．
故选：A．
5．（2025春 清苑区期末）下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，
那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，
那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．
故选：D．
6．（2025 十堰二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（a，0），B（0，b），C（2，2），其中b＜0＜a，则a，b之间的数量关系是（　　）
A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝4 D．a﹣b＝4
【解答】解：过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则：∠CEA＝∠CDB＝90°，
∵A（a，0），B（0，b），C（2，2），
∴OA＝a，OB＝﹣b，OD＝2，CE＝CD＝2，
∴AE＝a﹣2，BD＝2﹣b，
在Rt△CDB与Rt△CEA中，
，
∴Rt△CDB≌Rt△CEA（HL），
∴BD＝AE，
∴a﹣2＝2﹣b，
∴a+b＝4；
故选：C．
7．（2025 衡阳二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠DCE＝∠CDF，若AB＝16，AC＝4，则CD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵∠DCE＝∠CDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴BD＝AC＝4，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝8，
故选：C．
8．（2025春 南海区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点共线，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE，
∵∠2＝30°，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵，∠1＝25°，
∴∠3＝∠ABD+∠1＝55°，
故选：B．
9．（2024秋 海拉尔区期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE交于点P，BD交AC于点M，CE交AD于点N，连接AP．下列结论：
①BD＝CE；
②∠BPE＝180°﹣2α；
③PA平分∠BPE；
④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
【解答】解：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE＝α+∠CAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
故①正确；
∵∠BPC＝∠BMC﹣∠ACE＝∠BMC﹣∠ABD＝∠BAC＝α，
∴∠BPE＝180°﹣∠BPC＝180°﹣α≠180°﹣2α，
故②错误；
作AF⊥BD于点F，AL⊥CE于点L，
∵S△BAD＝S△CAE，且S△BADBD AFCE AF，S△CAECE AL，
∴CE AFCE AL，
∴AF＝AL，
∴点A在∠BPE的平分线上，
∴PA平分∠BPE，
故③正确；
如图2，∠BAC＝∠DAE＝α＝60°，则∠BPE＝180°﹣α＝120°，
∴∠APE＝∠APB∠BPE＝60°，
在PE上截取PL＝AP，连接AL，则△APL是等边三角形，
∴AP＝AL，∠PAL＝60°，
∴∠PAD＝∠LAE＝60°﹣∠DAL，
在△APD和△ALE中，
，
∴△APD≌△ALE（SAS），
∴PD＝LE，
∴PE＝PL+LE＝AP+PD，
故④正确，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
10．（2025 东明县一模）如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件　AD＝CE或∠ACD＝∠B　 ，使△ACD≌△CBE．
【解答】解：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵CD＝BE，
∴添加AD＝CE或∠ACD＝∠B，
可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：AD＝CE或∠ACD＝∠B．
11．（2024秋 桐柏县期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　AC＝BD　 ．（写一种即可）
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC＝BD．
12．（2024秋 温岭市期末）如图，△ABC中，AC＝BC，BE⊥AC，E为垂足，点D在BC上，且AB＝AD，若CE＝3CD，AE＝2，则BC的长为＝ 　5　 ．
【解答】解：过A作AH⊥BD于H，
∵AB＝AD，
∴BH＝DH，
∵BE⊥AC，
∴∠AHC＝∠BEC＝90°，
∵AC＝BC，∠BCE＝∠ACH，
∴△BCE≌△ACH（AAS），
∴CH＝CE＝3CD，
∴DH＝2CD，
∵AC＝BC，
∴BH＝AE＝2，
∴DH＝BH＝2，
∴CDDH＝1，
∴BC＝BD+CD＝2BH+CD＝2×2+1＝5．
故答案为：5．
13．（2024秋 当阳市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＝CB，若∠D＝108°，则∠B＝　108　 °．
【解答】解：在△ABC和ADC中，
，
∴△ABC≌ADC（SSS），
∴∠B＝∠D＝108°
故答案为：108．
14．（2024秋 北京期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是　180°﹣2α　 度．（用含α的代数式表示）
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α
15．（2025春 邯郸期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 　1或3　 m时，△CAP与△PQB全等．
【解答】解：设P点每分钟走xm．
①若BP＝AC＝4，此时AP＝BQ＝8，△CAP≌△PBQ，
∴t4，
∴x1．
②若BP＝AP＝6，AC＝BQ＝4，△ACP≌△BQP，
∴t2，
∴x3，
故答案为1或3．
16．（2024秋 沙市区期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是　①②④　 ．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 新城区校级二模）如图，点B、C、E在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，BC＝DE．求证：∠B＝∠D．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
∴∠B＝∠D（全等三角形对应边相等）．
18．（2025 江安县模拟）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【解答】解：AC⊥DE．
∵∠B＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），
∴∠BCA＝∠CDE，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠CDE＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥DE．
19．（2025 南沙区校级二模）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA）．
20．（2025 云南模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）由（1）得△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
21．（2024秋 淮阳区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠DEC＝∠AEB，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠DEC＝38°，求∠BDE度数．
【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠AEB，
∴∠DEC+∠AED＝∠BEA+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）解：由（1）知△AEC≌△BED，
∴CE＝DE，∠C＝∠BDE，
∵∠DEC＝38°，
∴∠C＝∠CDE（180°﹣38°）＝71°，
∴∠BDE＝∠C＝71°，
∴∠BDE的度数是71°．
22．（2024秋 淮阳区期末）如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝6cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若P、Q的运动速度相同，当t＝2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求出相应的x的值．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2cm，
∴BP＝6cm，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣t，t＝xt
解得：x＝1，t＝2；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，t＝8﹣t
解得：x，t＝4．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为1或．
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