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14.3角的平分线讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
知识梳理
角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质。
精选题练习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河北模拟）如图，∠A＝35°，根据图中尺规作图的痕迹，可得∠ABD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
2．（2024秋 海伦市期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
3．（2024秋 伊川县期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
4．（2024秋 安庆期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
5．（2025春 古蔺县校级期末）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
6．（2025 沈阳模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
7．（2025春 菏泽期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
8．（2024秋 平果市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 集美区期末）把两个同样大小的含30°角的直角三角尺（记作△ABC，△BCD）按图的方式进行摆放，其中M是AB与CD的交点，则可以得到结论：MA的长度等于点M到BC的距离．请用一个你学过的数学定理解释这个结论：　 　 ．
10．（2024秋 湛江校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC＝5，DE＝2，则AD的长为　 　 ．
11．（2024秋 兴国县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　 　 ．
12．（2024秋 全椒县期末）如图，已知△ABC的面积是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长＝ 　 　 ．
13．（2024秋 博兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，AD＝6，则点D到AB的距离为　 　 ．
14．（2024秋 偃师区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 　 　 ．
15．（2024秋 宜春期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝4，S△BDC＝2，则AD＝ 　 　 ．
16．（2024秋 淮滨县期末）如图，在平面直角坐标系中，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交x轴，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠BAO内部交于点P，作射线AP，交y轴于点D．已知点D的坐标是（0，﹣4），AB＝12，则△ABD的面积为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2025春 渭南期末）如图，在四边形ABCD中，请你利用尺规作图法作∠BAD的平分线AF交BC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2024秋 沈丘县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
19．（2024秋 磁县期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
20．（2025 市南区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB＝FC．
21．（2024秋 潼南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，AD＝CD．请完成以下作图与填空．
在（1）用尺规过点A作BC的垂线，分别交DC，BC于点E，F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，求证：AE＝2BF．
证明：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴　 　 ．
∴BC＝2BF．
∵AF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AFB＝∠BDC＝∠EDA＝90°．
∴∠DBF+∠EAD＝90°，∠DBF+∠BCD＝90°．
∴　 　 ．
在△AED和△CBD中，
∴△AED≌△CBD（ASA）．
∴　 　 ．
∴AE＝2BF．
22．（2024秋 醴陵市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AB，垂足为点E（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下：
①判断DC和DE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝BE，求∠B的度数．
23．（2024秋 播州区期末）小明用下列方法作射线OC：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：　 　 ；
（2）如图2，连接MN，试说明射线OC与线段MN的位置关系；
（3）如图3，∠AMN的平分线与OC相交于点D，请说明点D在∠MNB的平分线上．÷
14.3角的平分线讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B B A D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河北模拟）如图，∠A＝35°，根据图中尺规作图的痕迹，可得∠ABD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：由作图痕迹得BD⊥AC．
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝55°．
故选：C．
2．（2024秋 海伦市期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
3．（2024秋 伊川县期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
4．（2024秋 安庆期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
5．（2025春 古蔺县校级期末）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【解答】解：由题意得：∠OEC＝∠OFC＝90°，CE＝CF，
∴OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝25°，
∴∠OCF＝90°﹣∠BOC＝65°，
故选：B．
6．（2025 沈阳模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，过F点作FH⊥AB于H点，如图，
∵BF＝5，BC＝9，
∴FC＝4，
由作图可知：AM平分∠BAC，
∴FH＝FC＝4，
∴点F到AB的距离为4．
故选：B．
7．（2025春 菏泽期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
8．（2024秋 平果市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴5×4AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 集美区期末）把两个同样大小的含30°角的直角三角尺（记作△ABC，△BCD）按图的方式进行摆放，其中M是AB与CD的交点，则可以得到结论：MA的长度等于点M到BC的距离．请用一个你学过的数学定理解释这个结论：　角平分线上的点到角两边的距离相等　 ．
【解答】解：过M作MH⊥BC于H，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ACM＝∠MCH，
∴CD平分∠ACB，
∵∠A＝90°，
∴MA⊥AC，
∵MH⊥BC，
∴MA＝MH，
∴MA的长度等于点M到BC的距离，用学过的数学定理解释这个结论：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
10．（2024秋 湛江校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC＝5，DE＝2，则AD的长为　3　 ．
【解答】解：由题意可得：DE＝DC＝2，
∴AD＝AC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
11．（2024秋 兴国县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　24　 ．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABD的面积为16，AB＝8，
∴16，
∵AB＝8，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴24，
故答案为：24．
12．（2024秋 全椒县期末）如图，已知△ABC的面积是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长＝ 　14　 ．
【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD＝3，
∴OD＝OE＝OF＝3，
∵△ABC的面积是21，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝21，
∴，
∴，
∵OD＝3，
∴BC+AC+AB＝14，则△ABC的周长为14，
故答案为：14．
13．（2024秋 博兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，AD＝6，则点D到AB的距离为　5　 ．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质定理可得，DE＝DC＝5，即点D到AB的距离为5．
故答案为：5．
14．（2024秋 偃师区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 　120°　 ．
【解答】解：由作图可和，OB是∠ABC的平分线，OC是∠ACB的平分线，
∴，，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
，
在△ABC中，∠A＝60°，
∴，
故答案为：120°．
15．（2024秋 宜春期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝4，S△BDC＝2，则AD＝ 　1　 ．
【解答】解：过D点作DE⊥BC，垂足为E，
∵S△BDC＝2，
∴BC×DE＝2，
∵BC＝4，
∴4×DE＝2，即2DE＝2，
解得DE＝1，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE＝1．
所以AD的长为1，
故答案为：1．
16．（2024秋 淮滨县期末）如图，在平面直角坐标系中，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交x轴，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠BAO内部交于点P，作射线AP，交y轴于点D．已知点D的坐标是（0，﹣4），AB＝12，则△ABD的面积为　24　 ．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G．
由条件可知OD＝4．
∴DG＝OD＝4．
∴．
故答案为：24．
三．解答题（共7小题）
17．（2025春 渭南期末）如图，在四边形ABCD中，请你利用尺规作图法作∠BAD的平分线AF交BC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：AF即为所求．
18．（2024秋 沈丘县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
【解答】（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝27°．
19．（2024秋 磁县期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，
∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC＝60°，OB＝4
∴∠OBD＝30°，
∴ODOB＝2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
2×AB2×AC2×BC
＝AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC＝16．
20．（2025 市南区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB＝FC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB＝FC．
21．（2024秋 潼南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为D，AD＝CD．请完成以下作图与填空．
在（1）用尺规过点A作BC的垂线，分别交DC，BC于点E，F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，求证：AE＝2BF．
证明：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴　①　 ．
∴BC＝2BF．
∵AF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AFB＝∠BDC＝∠EDA＝90°．
∴∠DBF+∠EAD＝90°，∠DBF+∠BCD＝90°．
∴　②　 ．
在△AED和△CBD中，
∴△AED≌△CBD（ASA）．
∴　④　 ．
∴AE＝2BF．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）证明：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC．
∴BC＝2BF．
∵AF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AFB＝∠BDC＝∠EDA＝90°．
∴∠DBF+∠EAD＝90°，∠DBF+∠BCD＝90°．
∴∠EAD＝∠BCD．
在△AED和△CBD中，
，
∴△AED≌△CBD（ASA）．
∴AE＝CB．
∴AE＝2BF．①BF＝FC；
②∠EAD＝∠BCD；
③AD＝CD；
④AE＝CB，
故答案为：BF＝FC；∠EAD＝∠BCD；AD＝CD；AE＝CB．
22．（2024秋 醴陵市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AB，垂足为点E（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下：
①判断DC和DE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝BE，求∠B的度数．
【解答】解：（1）如图，线段DE即为所求；
（2）①判断：DC＝DE，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
由条件可知∠AED＝∠C＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴DC＝DE；
②由△ACD≌△AED可得AC＝AE，
由条件可知AE＝BE，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD+∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
23．（2024秋 播州区期末）小明用下列方法作射线OC：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：　∠AOC＝∠BOC　 ；
（2）如图2，连接MN，试说明射线OC与线段MN的位置关系；
（3）如图3，∠AMN的平分线与OC相交于点D，请说明点D在∠MNB的平分线上．÷
【解答】（1）解：如图1，由作法得OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC；
故答案为：∠AOC＝∠BOC；
（2）解：如图2，
由作法得OM＝ON，CM＝CN，
∴点M、N都在线段MN的垂直平分线上，
∴MN⊥OC；
（3）证明：过D点作DE⊥OA于点E，OF⊥OB于F点，OD交MN于G点，
∵OC平分∠AOB，
∴OE＝OF，
∵MD平分∠AMN，DG⊥MN，DE⊥MA，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF，
而DG⊥NM，DF⊥NB，
∴点D在∠MNB的平分线上
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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