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13.1三角形的概念讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
知识梳理
三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
精选题练习
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南通校级开学）下列说法正确的是（　　）
A．1条射线长12厘米
B．角的大小与边的长短有关系
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．圆的周长和它的直径成正比例
2．（2024秋 鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 深圳期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．AB＝2BD B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
4．（2024秋 当阳市期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
5．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　）
A．90° B．95° C．100° D．110°
6．（2025春 三水区期中）△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（2024秋 玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
8．（2024秋 无为市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．69° C．76° D．88°
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 宝安区期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　 ．
10．（2024秋 醴陵市期末）在△ABC中，AB＝AC＝5cm，∠B＝60°，则BC＝　 　 ．
11．（2025春 城关区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△BEF的面积为12，则图中阴影面积为 　 　 ．
12．（2024秋 大洼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　 　 ．
13．（2024秋 泗洪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 　 　 ．
14．（2024秋 绵阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD⊥CD，CD平分∠ACB，若∠ABD＝6°，则∠A＝ 　 　 ．
15．（2024秋 八公山区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　 　 ．
16．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
17．（2025春 城关区校级期末）如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度．
18．（2025春 青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
19．（2024秋 太康县期末）如图所示，BD与CE相交于点A，且AB＝AC，AD＝AE，△ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F，则AF与DE垂直吗？为什么？
20．（2024秋 裕安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝　 　 °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝　 　 °．
（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．
21．（2024秋 阳信县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在BC上，AE是∠BAC的平分线，BE＝AE，∠B＝40°．
（1）求∠EAD的度数；
（2）求∠C的度数．
13.1三角形的概念讲义-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C D A B D
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南通校级开学）下列说法正确的是（　　）
A．1条射线长12厘米
B．角的大小与边的长短有关系
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．圆的周长和它的直径成正比例
【解答】解：A、射线不能度量，没有长度，说法错误，故不符合题意；
B、角的大小与边的长短无关，说法错误，故不符合题意；
C、等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，说法错误，故不符合题意；
D、圆的周长和它的直径成正比例，说法正确，故符合题意；
故选：D．
2．（2024秋 鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
3．（2025春 深圳期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．AB＝2BD B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC（故B不符合题意），
AD平分∠BAC（故C不符合题意），
∠B＝∠C（故D不符合题意），
无法得到AB＝2BD（故A符合题意），
故选：A．
4．（2024秋 当阳市期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，
∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠A＝∠EBC．
故选：C．
5．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　）
A．90° B．95° C．100° D．110°
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，
∴∠DAC∠BAC＝40°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED70°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
6．（2025春 三水区期中）△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，
∴一个底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
故选：A．
7．（2024秋 玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
8．（2024秋 无为市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．69° C．76° D．88°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°，
∴∠ODC＝23°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°，
∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 宝安区期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　三角形具有稳定性　 ．
【解答】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
10．（2024秋 醴陵市期末）在△ABC中，AB＝AC＝5cm，∠B＝60°，则BC＝　5cm　 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝5cm，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝5cm．
故答案为：5cm．
11．（2025春 城关区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△BEF的面积为12，则图中阴影面积为 　36　 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
设S△ABC＝a，
∴S△ABDa，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEFa＝12．
∴a＝72，
∴图中阴影面积＝S△ABD＝36，
故答案为：36．
12．（2024秋 大洼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　40°　 ．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD是△ABC的中点，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝40°．
故答案为：40°．
13．（2024秋 泗洪县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 　20°　 ．
【解答】解：由题意得，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD（180°﹣∠A），
∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠ACD（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝20°，
故答案为：20°．
14．（2024秋 绵阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD⊥CD，CD平分∠ACB，若∠ABD＝6°，则∠A＝ 　52°　 ．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
设∠ACB＝∠ABC＝α，
∵∠ABD＝6°，CD平分∠ACB，
∴∠BCDα，∠DBC＝α﹣6°，
∵BD⊥CD，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴α+α﹣6°＝90°，
∴α＝64°，
∴∠ACB＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝52°，
故答案为：52°．
15．（2024秋 八公山区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　30°或120°﹣α．　 ．
【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，
∵△OMN是等边三角形，
∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，
∵∠MNP＝∠AOB＝α，
∴∠PON＝∠PNO，
∴PO＝PN，
△MPO≌△MPN，（SAS）
∴∠OMP＝∠NMP∠OMN60°＝30°
（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，
此时△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ＝60°，
∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
故答案为：30°或120°﹣α．
16．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　140°　 ．
【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD，
∴∠AEC＝∠ACE，∠BDC＝∠BCD，
设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，
∵∠DCE＝180°﹣（∠AEC+∠BDC）＝180°﹣（x°+y°）＝20°，
∴x°+y°＝160°，
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴∠ACB+（180°﹣2x°）+（180°﹣2y°）＝∠ACB+360°﹣2（x°+y°）＝∠ACB+360°﹣2×160°＝180°，
∴∠ACB＝140°，
故答案为：140°．
三．解答题（共5小题）
17．（2025春 城关区校级期末）如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BDBC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，
∵BC＝10cm，
∴BD＝5cm．
18．（2025春 青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
【解答】证明：作AF⊥BC，垂足为F，
因为AB＝AC，AF⊥BC，
所以BF＝CF
因为AD＝AE，AF⊥BC，
所以DF＝EF
所以BF﹣DF＝CF﹣EF，
即BD＝CE
19．（2024秋 太康县期末）如图所示，BD与CE相交于点A，且AB＝AC，AD＝AE，△ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F，则AF与DE垂直吗？为什么？
【解答】解：AF⊥DE，理由是：
在△ABC中，AG是中线，
∴AG平分∠BAC，
即∠BAG＝∠CAG，
又∵∠EAF＝∠CAG，∠DAF＝∠BAG，
∴∠EAF＝∠DAF，
即AF平分∠EAD，
又∵AE＝AD，
∴AF⊥DE．
20．（2024秋 裕安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝　15　 °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝　40　 °．
（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．
【解答】解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，
∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝m+n，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝2m，
∴2m+n＝n+30，
解得m＝15°，
∴∠EDC的度数是15°；
若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．
故答案为：15；40；
（2）y与x之间的关系式为yx，
证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B+x＝∠B+y+y，
∴2y＝x，
∴yx．
21．（2024秋 阳信县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在BC上，AE是∠BAC的平分线，BE＝AE，∠B＝40°．
（1）求∠EAD的度数；
（2）求∠C的度数．
【解答】解：（1）∵BE＝AE，∠B＝40°，
∴∠B＝∠BAE＝40°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝80°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠AEC
＝180°﹣90°﹣80°
＝10°；
（2）∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC，
＝180°﹣40°﹣80°
＝60．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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