资源简介

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
[学习目标]　1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
问题2．二倍角的正弦、余弦、正切公式分别是什么？
探究1　二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题　在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？
提示：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，tan 2α＝．
[新知生成]
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan 2α＝ T2α
【教用·微提醒】　倍角公式中的“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等．
[典例讲评]　【链接教材P223练习T3】
1．(源自北师大版教材)已知sin α与的比是8∶5，0°<α<180°，求cos α，sin 和tan 的值．
[解]　由题意＝2cos ，所以cos ，
又0°<α<180°，所以0°<<90°，0°<<45°，
所以sin ＝＝，cos α＝2cos2－1＝2×，
tan ＝．
【教材原题·P223练习T3】　已知sin 2α＝－sin α，α∈，求tan α的值．
[解]　因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，且sin α≠0，所以cos α＝－．
又α∈，
所以sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝－．
　掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名称和结构的特点，如系数、次数等，在化简求值时，从“角”着手，分析倍角关系，套用相应公式求解．
[学以致用]　【链接教材P221例5】
1．(源自苏教版教材)已知sin α＝，α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
[解]　因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－＝－．
于是sin 2α＝2sin αcos α＝2×，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×，
tan 2α＝．
【教材原题·P221例5】
已知sin 2α＝<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
分析：已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．
[解]　由<α<，得<2α<π．
又sin 2α＝，
所以cos 2α＝－＝－．
于是sin 4α＝sin [2×(2α)]
＝2sin 2αcos 2α
＝2×；
cos 4α＝cos [2×(2α)]
＝1－2sin22α
＝1－2×；
tan 4α＝
＝－．
探究2　给角求值问题
[典例讲评]　2．求下列各式的值．
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[解]　(1)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝．
(2)原式＝．
(3)原式＝·2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°·cos 80°
＝·sin 80°·cos 80°
＝·sin 160°
＝．
　二倍角给角求值问题
(1)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α，＝tan 2α．
(2)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos α·cos 2α·cos 22α·…·cos 2n-1α＝(sin α≠0)．
[学以致用]　【链接教材P223练习T5】
2．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
[解]　(1)原式＝－
＝＝－cos ＝cos ．
(2)原式＝2×．
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°
＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝
＝
＝
＝．
【教材原题·P223练习T5】　求下列各式的值：
(1)sin 15°cos 15°；
(2)cos2－sin2；
(3)；
(4)2cos222.5°－1．
[解]　(1)sin15°cos 15°＝sin 30°＝．
(2)cos2－sin2＝cos．
(3)tan45°＝．
(4)2cos222.5°－1＝cos45°＝．
探究3　倍角公式的综合运用
[典例讲评]　【链接教材P222例6】
3．已知sin ，0[解]　原式＝＝＝2sin ．
∵sin ＝cos ，
且0∴sin ＝＝，
∴原式＝2×．
【教材原题·P222例6】
例6　在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值．
解法1：在△ABC中，由cos A＝，0sin A＝＝＝，
所以tan A＝，
tan 2A＝．
又tan B＝2，
所以tan 2B＝．
于是tan(2A＋2B)＝．
解法2：在△ABC中，由cos A＝，0sin A＝＝＝，
所以tan A＝．
又tan B＝2，
所以tan (A＋B)＝＝，
所以tan (2A＋2B)＝tan [2(A＋B)]
＝．
　当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
类似的变换还有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[学以致用]　【链接教材P255复习参考题5T17】
3．(1)已知sin ，则sin 2α的值为(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
(2)已知sin ，则sin ＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
(1)C　(2)C　[(1)sin 2α＝－cos
＝2sin2．故选C．
(2)sin ＝cos
＝cos ＝cos
＝cos ＝1－2sin2
＝1－2×，故选C．]
【教材原题·P255复习参考题5T17】　已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，求sin 的值．
[解]　将sin α－cos α＝平方，得1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝，所以α∈．
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋，
从而sin α＋cos α＝．
联立得
所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝．
故sin (sin 2α－cos 2α)＝．
1．若sin ，则cos α＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
C　[]
2．化简＝(　　)
A．1 　 B．2
C． 　 D．－1
B　[
3．(教材P223练习T3改编)设sin 2α－sin α＝0，α∈，则tan 2α的值是(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
A　[由sin 2α－sin α＝0，α∈，
得2sin αcos α－sin α＝sin α(2cos α－1)＝0，sin α≠0，
所以2cos α－1＝0，cos α＝，
则sin α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝．
故选A．]
4．已知cos，x∈，则cos 2x＝________．
－　[＝，因为x∈，则2x∈，因此cos 2x＝－＝－．]
1．知识链：
2．方法链：公式法、转化法．
3．警示牌：对倍角公式不熟，易误用或错用公式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示]　sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．
2．二倍角公式的常见变形有哪些？
[提示]　(1)sin αcos α＝sin 2α；
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2等．
课时分层作业(五十五)　二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、选择题
1．计算：＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[因为tan，
所以．故选C．]
2．已知角α满足cos2α＝，则cos α＝(　　)
A．1 　 B．
C．－ 　 D．－1
A　[由cos 2α＝cos2α，得2cos2α－1＝cos2α，即cos2α＝1．
因为α∈，所以cos α＝1．故选A．]
3．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° 　 B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° 　 D．sin215°＋cos215°
BC　[A不符合，2sin15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1．故选BC．]
4．在锐角△ABC中，若sin A cos A＝cos2A－，则A＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[因为锐角△ABC中，sin A cos A＝cos2A－，
则sin 2A＝cos 2A，即sin 2A＝cos 2A，
所以tan 2A＝1，
因为A为锐角，故A＝．故选B．]
5．若cos ，则sin ＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
A　[∵cos ，
∴sin ＝sin ＝cos ＝2cos2．故选A．]
二、填空题
6．已知sin (α＋π)－cos (α＋3π)＝，则sin 2α＝______．
　[sin (α＋π)－cos (α＋3π)＝－sin α＋cos α
＝，两边平方得1－sin 2α＝，∴sin 2α＝．]
7．已知tan θ＝，则cos 2θ＝________．
　[因为tan θ＝，又sin2θ＋cos2θ＝1，
所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝．]
8．已知sin(α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，则cos 2β＝________．
　[由sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，
得sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，
则sin [(α－β)－α]＝，
即sin (－β)＝，解得sin β＝－，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)在△ABC中，已知cos A＝，sin B＝，求sin (2A＋B)，tan (A＋2B)．
[解]　在△ABC中，cos A＝，则角A必为锐角，
sin A＝＝，
∵sin B＝，∴cos B＝±＝±，
∴sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B
＝，
又A＋B<180°，∴sin (A＋B)＝(负舍)，
此时cos B＝－应舍去，
∴cos B＝，
∴sin (2A＋B)＝sin 2A cos B＋cos 2A sin B
＝2sin A cos A cos B＋sin B
＝2×，
tan A＝，tan B＝，
∴tan 2B＝，
∴tan(A＋2B)＝．
10．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
A　[设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ．
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，
∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2×．故选A．]
11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． 　 B．
C．－ 　 D．－
B　[依题意，得
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×，故选B．]
12．(多选)下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° 　 B．sin sin
C． 　 D．cos215°
AB　[满足；
sin sin ＝sin cos
＝，故B满足；
＝＝4，故C不满足；
cos215°＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－，故D不满足．故选AB．]
13．已知sin (α－45°)＝－，且0°<α<90°，则sin 2α的值为________．
　[由0°<α<90°可得－45°<α－45°<45°，
所以sin (α－45°)＝－ cos (α－45°)＝＝，
由二倍角公式及诱导公式可得
sin 2α＝cos (2α－90°)＝2cos2(α－45°)－1＝．]
14．已知<α<，sin．
(1)求cos α的值；
(2)若0<β<，cos ，求cos (2α＋β)的值．
[解]　(1)因为<α<，
所以－α∈，
又sin ，
所以cos ．
所以cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin ．
(2)由(1)得sin α＝sin
＝sin cos －cos sin ，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
又0<β<，所以＋β∈，
又cos ，所以sin ，
所以cos β＝cos ＝cos cos ＋sin sin ，
sin β＝＝．
所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝．
15．在①sin cos ；②cos2；
＝2，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角α满足____________，求sin(π＋α)－cos (2π－α)的值．
[解]　选择条件①：
由条件①，得2sin cos ，
所以sin α＝．
由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，
因为α是锐角，所以cos α>0，所以cos α＝．
所以sin (π＋α)－cos (2π－α)＝－sin α－cos α＝．
选择条件②：
由条件②，因为cos2以cos α＝．
由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝．
因为α是锐角，所以sin α>0，所以sin α＝，
所以sin (π＋α)－cos (2π－α)＝－sin α－cos α＝．
选择条件③：
由条件③，得＝4，
所以tan α＝4，所以＝4．
由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，cos2α＝．
因为α是锐角，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin (π＋α)－cos (2π－α)＝－sin α－cos α＝．
1 / 1第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
[学习目标]　1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
探究1　二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题　在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝_____________ S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝_________ C2α
正切 tan 2α＝ T2α
[典例讲评]　【链接教材P223练习T3】
1．(源自北师大版教材)已知sin α与的比是8∶5，0°<α<180°，求cos α，sin 和tan 的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名称和结构的特点，如系数、次数等，在化简求值时，从“角”着手，分析倍角关系，套用相应公式求解．
[学以致用]　【链接教材P221例5】
1．(源自苏教版教材)已知sin α＝，α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2　给角求值问题
[典例讲评]　2．求下列各式的值．
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　二倍角给角求值问题
(1)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α，＝tan 2α．
(2)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos α·cos 2α·cos 22α·…·cos 2n-1α＝(sin α≠0)．
[学以致用]　【链接教材P223练习T5】
2．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3　倍角公式的综合运用
[典例讲评]　【链接教材P222例6】
3．已知sin ，0[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
类似的变换还有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[学以致用]　【链接教材P255复习参考题5T17】
3．(1)已知sin ，则sin 2α的值为(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
(2)已知sin ，则sin ＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．若sin ，则cos α＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
2．化简＝(　　)
A．1 　 B．2
C． 　 D．－1
3．(教材P223练习T3改编)设sin 2α－sin α＝0，α∈，则tan 2α的值是(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
4．已知cos，x∈，则cos 2x＝________．
1．知识链：
2．方法链：公式法、转化法．
3．警示牌：对倍角公式不熟，易误用或错用公式．
1 / 1

展开更多......

收起↑