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类型1　不等式的性质及应用
1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．
【例1】　(1)已知M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，则M与N的大小关系是(　　)
A．M≤N 　 B．MC．M≥N 　 D．M>N
(2)(多选)若a＞b＞0，c＞d＞0，则(　　)
A．a－c＞b－d
B．a(a＋c)＞b(b＋d)
C．＜
D．＜
(3)已知2(1)D　(2)BCD　(3)－60，
所以M>N．故选D．
(2)对A：取a＝5，b＝4，c＝3，d＝1，则a－c＝2，b－d＝3，故A错误；
对B：由a＞b＞0，c＞d＞0，则a＋c＞b＋d，则有a(a＋c)＞b(b＋d)，故B正确；
对C：由a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，且＜等价于＜，
等价于＞，等价于ac＞bd，故C正确；
对D：由a＞b＞0，c＞d＞0，
则，
即＜等价于＜，
由d－c＜0，即等价于＞，等价于a＋c＞b＋c，即a＞b，故D正确．故选BCD．
(3)因为－2又因为2所以－6类型2　基本不等式及其应用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这三个条件．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
【例2】　(1)已知0A． 　 B．
C． 　 D．
(2)(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．y＝x＋的最小值是2
B．如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，那么xy的最大值为3
C．函数y＝的最小值为2
D．如果a>0，b>0，且＝1，那么a＋b的最小值为2
(1)B　(2)BD　[(1)因为00．
x(3－3x)＝3x(1－x)≤3，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．故选B．
(2)对于A，如果x<0，那么y＝x＋<0，最小值是2不成立，故A错误；
对于B，如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则9＝x＋3y＋xy≥2＋xy，整理得()2＋－9≤0，
解得0<≤，当且仅当y＝1，x＝3时取等号，所以xy的最大值为3，故B正确；
对于C，函数y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋4＝1时取等号，此时x无解，故不能取得最小值2，故C错误；
对于D，如果a>0，b>0，且＝1，那么a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝－2≥2＋2－2＝2，当且仅当a＝1，b＝1时取等号，故D正确．]
【教用·备选题】　求下列函数的最值．
(1)若正实数a，b满足a＋2b＝1，求的最小值；
(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．
[解]　(1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2，
∴[(a＋1)＋2b]
＝×(6＋4)＝3＋2
，
∴的最小值为3＋2．
(2)∵x<1，∴1－x>0，
∴y＝4(x－1)＋＋5≤－2＋5＝1．
当且仅当4(1－x)＝，即x＝时取等号，
∴y的最大值为1．
类型3　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：(一)二次函数图象的开口方向，(二)对应方程是否有根，(三)根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】　已知函数y＝x2＋(2a－2)x＋b．
(1)若不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，求a，b的值；
(2)若b＝－4a，求不等式y≤0的解集．
[解]　(1)由不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，得x2＋(2a－2)x＋b－1>0的解集为{x|x<－2或x>3}，
因此方程x2＋(2a－2)x＋b－1＝0的两根为－2和3，则
解得a＝，b＝－5，
所以a＝，b＝－5．
(2)当b＝－4a时，由y≤0得x2＋(2a－2)x－4a≤0，即(x－2)(x＋2a)≤0，
当a>－1时，－2a<2，解得－2a≤x≤2；
当a＝－1时，－2a＝2，解得x＝2；
当a<－1时，－2a>2，解得2≤x≤－2a，
所以当a>－1时，原不等式的解集为{x|－2a≤x≤2}；
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x＝2}；
当a<－1时，原不等式的解集为{x|2≤x≤－2a}．
类型4　不等式在实际问题中的应用
1．不等式的应用题多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】　为更好地开展高一社团活动，某校学生会各部门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个部门使用．如图，一份矩形宣传海报的排版面积(矩形ABCD)为P，根据设计要求，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白．
(1)若AB＝20 cm，BC＝30 cm，且该海报的面积不超过1 000 cm2，求a的取值范围；
(2)若a＝2 cm，P＝800 cm2，则当AB长多少时，能使宣传海报的面积最少？
[解]　(1)依题意可得(20＋2a)(30＋4a)≤1 000，
即2a2＋35a－100≤0，
解得－20≤a≤2.5．
又∵a>0，
∴0故a的取值范围为{a|0(2)记宣传海报的面积为S，设AB＝x cm，则BC＝ cm，
∴S＝(x＋4)·＋832≥2＋832＝1 152．
当且仅当8x＝，即x＝20时，等号成立，
∴当AB长为20 cm时，宣传海报面积最小，最小值为1 152 cm2．
章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为(　　)
A．{x|x≤－3或x≥2}
B．{x|x≤－3或x≥1}
C．{x|－3≤x≤1或x≥2}
D．
D　[不等式－3x2＋5x－4＞0可化为3x2－5x＋4＜0，Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＜0的解集为空集，故选D．]
2．若A＝－x2＋2x，B＝6x＋4，则A与B的关系是(　　)
A．A≤B 　 B．B≤A
C．B＝A 　 D．与x的值有关
A　[因为A－B＝－x2＋2x－(6x＋4)＝－x2－4x－4＝－(x2＋4x＋4)＝－(x＋2)2≤0，所以A≤B．故选A．]
3．已知x>2，则x＋的最小值为(　　)
A．6 　 B．5
C．4 　 D．3
A　[由x>2，知x－2>0，
所以x＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝时，即x＝4时，等号成立，
所以x＋的最小值为6．故选A．]
4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2＞b2 　 B．＜
C．≥ 　 D．＞
D　[当a＝1，b＝－2时，1＞－2，而12＜(－2)2＝4，＞，而无意义，故ABC错误；
因为c2＋1＞0，所以＞，D正确．]
5．已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＋c＜0
D．cx2－bx＋a＜0的解集为
D　[因为不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，
所以－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a＜0，选项A错误；
由根与系数的关系得解得b＝－2a，c＝－3a＞0，选项B错误；
所以a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a＞0，选项C错误；
不等式cx2－bx＋a＜0可化为－3ax2＋2ax＋a＜0，即3x2－2x－1＜0，
解得－＜x＜1，所以不等式的解集为，选项D正确．故选D．]
6．已知命题“ x∈R，使(m－2)x2＋(m－2)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m>6 　 B．2C．2≤m<6 　 D．m≤2
C　[由题意可知 x∈R，(m－2)x2＋(m－2)x＋1>0恒成立．
①当m－2＝0，即m＝2时，1>0恒成立；
②当m－2≠0时，
解得27．若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．－1＜m＜2
B．m＜－2或m＞1
C．－2＜m＜1
D．m＜－1或m＞2
D　[因为正实数x，y满足4x＋y＝2xy，所以＝2，
所以x＋
＝＝2，
当且仅当且＝2，
即时等号成立．
因为不等式x＋＜m2－m有解，
所以只需－m，即m2－m＞2即可，
所以m＜－1或m＞2．故选D．]
8．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则(　　)
A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低
B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低
C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样
D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较
B　[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，
则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元/千克．
因为>0，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低．故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知2A．6<2x＋y<9 　 B．2<2x－y<3
C．－1ACD　[∵2∴4∴－3<－y<－2，－1故选ACD．]
10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是(　　)
A．2a＋b＝0
B．8a＋c<0
C．b2－4ac>0
D．当y<0时，x<－1或x>4
ABC　[因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，
所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；
当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，把A选项代入得8a＋c<0，故B正确；
该函数图象与x轴有两个交点，则Δ＝b2－4ac>0，故C正确；
因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，
所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误．故选ABC．]
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1
BC　[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，
即1≥(x＋y)2－，
∴(x＋y)2≤4，
∴－2≤x＋y≤2，
故A错误，B正确；
对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得
x2＋y2－1＝xy≤，
∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当a＜－1时，不等式(a－x)(x＋1)＞0的解集为________．
{x|a＜x＜－1}　[依题意，a＜－1，且函数y＝(a－x)(x＋1)的图象开口向下，两个零点为a和－1，所以不等式的解集为{x|a＜x＜－1}．]
13．(教材P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客购得的黄金________10 g(填“大于”“小于”或“等于”)
大于　[由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得的黄金为x g，后称得的黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，
∴x＝，
∴x＋y＝≥5×2＝10，
当且仅当，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10．
因此，顾客购得的黄金大于10 g．]
14．若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy．则xy的最大值为________；x＋y的最小值为________．
4　4　[∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2，
即(＋4)(－2)≤0，解得0当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为4．
又8－(x＋y)＝xy≤，
∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0，
∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
即x＋y的最小值为4．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知正数a，b满足a＋2b＝ab．
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值；
(3)求的最小值．
[解]　(1)因为a＞0，b＞0且a＋2b＝ab，
则ab＝a＋2b≥2，即≥2，ab≥8．
当且仅当a＝2b且a＋2b＝ab，即a＝4，b＝2时等号成立，
所以ab的最小值为8．
(2)因为a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，
则＝1，可得
a＋b＝(a＋b)≥3＋＝3＋2，
当且仅当，即a＝b，
即a＝2＋，b＝＋1时等号成立，
所以a＋b的最小值为3＋2．
(3)因为a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，
所以(a－2)(b－1)＝2，可得
＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当，即a＝b＝3时等号成立，
所以的最小值为18．
16．(本小题满分15分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1．
(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；
(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．
[解]　(1)当m＝5时，得y＝6x2－5x＋1，
由y>0，得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0，
解得x<或x>，
故不等式y>0的解集为．
(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；
当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1的图象开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
所以
解得
即2－2综上，得2－2故实数m的取值范围为{m17．(本小题满分15分)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．
[解]　ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0，当a>0时，
方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1．
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，<1，不等式的解集为；
当01，不等式的解集为．
综上，当a>3时，不等式的解集为；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当018．(本小题满分17分)【教材原题·P55习题2.3T6】如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长(精确到0.1 h)
[解]　如图所示：
设风暴中心最初在A处，经t h后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，
若在点B处受到风暴的影响，则OB＝450，OC＝600cos 45°＝300，AC＝600sin 45°＝300，AB＝20t，
因为OC2＋BC2＝OB2，
所以(300)2＋(300－20t)2＝4502，
即4t2－120t＋1 575＝0，
由求根公式得t＝≈13.7或t＝，
又＝15，
所以从现在起大约13.7 h后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为15 h．
19．(本小题满分17分)已知实数a，b，c满足a>b>c．
(1)求证：>0；
(2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得>0对任意的a，b，c恒成立，求p的值；
(3)继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式>0对任意a，b，c恒成立？
[解]　(1)证明：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0，
所以(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]
＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当，
即a－b＝b－c，
即a＋c＝2b时等号成立，
所以>，
所以>0．
(2)>0恒成立，可变形为p<[(a－b)＋(b－c)]恒成立，
由(1)知[(a－b)＋(b－c)]的最小值为4，
所以p<4．
又p>1，且p∈N，所以p＝2或3．
(3)类似(2)，不等式>0恒成立，
即p<[(a－b)＋(b－c)]恒成立，
而[(a－b)＋(b－c)]
＝m＋n＋≥m＋n＋2，
当且仅当，
即(b－c)＝(a－b)时等号成立，
所以p即<＋．
所以当自然数m，n，p满足<＋时，不等式>0对任意a，b，c恒成立．
1 / 1类型1　不等式的性质及应用
1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．
【例1】　(1)已知M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，则M与N的大小关系是(　　)
A．M≤N 　 B．MC．M≥N 　 D．M>N
(2)(多选)若a＞b＞0，c＞d＞0，则(　　)
A．a－c＞b－d
B．a(a＋c)＞b(b＋d)
C．＜
D．＜
(3)已知2[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型2　基本不等式及其应用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这三个条件．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
【例2】　(1)已知0A． 　 B．
C． 　 D．
(2)(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．y＝x＋的最小值是2
B．如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，那么xy的最大值为3
C．函数y＝的最小值为2
D．如果a>0，b>0，且＝1，那么a＋b的最小值为2
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型3　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：(一)二次函数图象的开口方向，(二)对应方程是否有根，(三)根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】　已知函数y＝x2＋(2a－2)x＋b．
(1)若不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，求a，b的值；
(2)若b＝－4a，求不等式y≤0的解集．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型4　不等式在实际问题中的应用
1．不等式的应用题多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】　为更好地开展高一社团活动，某校学生会各部门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个部门使用．如图，一份矩形宣传海报的排版面积(矩形ABCD)为P，根据设计要求，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白．
(1)若AB＝20 cm，BC＝30 cm，且该海报的面积不超过1 000 cm2，求a的取值范围；
(2)若a＝2 cm，P＝800 cm2，则当AB长多少时，能使宣传海报的面积最少？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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