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类型1　集合的基本概念
1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换．
2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　)
A．6 　 B．5
C．4 　 D．3
(2)(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是(　　)
A．(1，2)∈B 　 B．A＝B
C．0 A 　 D．2∈B
(1)C　(2)AC　[(1)因为A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素．故选C．
(2)点(1，2)在函数y＝x2＋1图象上，有(1，2)∈B，A选项正确；集合A为数集，集合B为点集，A≠B，B选项错误；函数y＝x2＋1的函数值y的取值范围为{y|y≥1}，则A＝{y|y≥1}，0 A，C选项正确；集合B为点集，2 B，D选项错误．故选AC．]
类型2　集合的基本关系与运算
1．集合的运算主要包括交集、并集和补集的运算，它与集合的基本关系都是高考的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
2．掌握集合的基本关系与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】　已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)当a＝－时，求A∪B及其子集个数；
(2)当A∪B＝A时，求实数a的取值范围．
[解]　(1)A＝{0，－4}，
当a＝－时，B＝＝，
故A∪B＝，有24＝16个子集．
(2)若A∪B＝A，则B A，
当B＝A时，方程x2＋4x＝0与x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0是同一方程，故得a＝1．
当B?A时：
①B＝ 时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1；
②B≠ 时，B是单元素集，则Δ＝0，
∴a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．
类型3　充分条件与必要条件
1．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参数的范围问题，提升转化和化归能力．
2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】　(1)(多选)下列命题中是真命题的是(　　)
A．x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件
B．x>0的必要不充分条件是x>1
C．Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件
D．x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
(1)AD　[对于A，由x>2且y>3，得x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，
所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件，A正确；
对于B，x>1可以推出x>0，但x>0不能推出x>1，所以x>1是x>0的充分不必要条件，B错误；
对于C，Δ＝b2－4ac＝0，可以推出ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，
但是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，推出Δ＝b2－4ac≥0，
所以Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充分不必要条件，C错误；
对于D，由x>y不能推出x2>y2，比如－1>－2时，有(－1)2<(－2)2；
由x2>y2不能推出x>y，比如(－2)2>12时，有－2<1；
所以x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件，D正确．
故选AD．]
(2)[解]　∵q是p的充分不必要条件，
∴B?A，
∴或
解得a≤－4或－≤a<0．
∴实数a的取值范围为．
类型4　全称量词命题和存在量词命题
1．全称量词强调的是“一切”“每一个”等，常用符号“ ”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“ ”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数的范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．
【例4】　(1)(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A． p： x∈R，x2＋1＝0
B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题
D．p是假命题， p是真命题
(2)已知命题p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0．若命题p的否定是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围．
(1)AC　[命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”．p是真命题， p是假命题．]
(2)[解]　若p：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a小于等于x的最小值，即a≤1，∴当命题p的否定是真命题时，命题p为假命题，∴a>1．
若q：“ x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1．
∵命题p的否定是真命题，且命题q是真命题，
∴需满足解得a>1．
∴实数a的取值范围为{a|a＞1}．
章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关系式正确的是(　　)
A．∈Q 　 B．－1∈N
C．Z N 　 D．Q R
D　[对于A，是无理数，故A错误；对于B，－1不是自然数，故B错误；对于C，整数不都是自然数，如－1是整数但不是自然数，故C错误；对于D，有理数都属于实数，故D正确．故选D．]
2．已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，则 UA＝(　　)
A．{－1，3} 　 B．{1，2}
C．{－1，0，3} 　 D．{0，1，2}
A　[因为A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，U＝{－1，0，1，2，3}，所以 UA＝{－1，3}．故选A．]
3．若A＝{a2，a＋1，0}，B＝{2a，1}，满足A∪B＝A，则a＝(　　)
A．0 　 B．±1
C．1 　 D．－1
C　[由集合A＝{a2，a＋1，0}，得a2≠0，且a＋1≠0，则a≠0且a≠－1，由A∪B＝A，得B A，又a＋1≠1且2a≠0，因此所以a＝1．故选C．]
4．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　)
A．菱形的四条边都相等
B． x∈N，使2x为偶数
C． x∈R，x2＋2x＋1>0
D．π是无理数
A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题．
对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题．
对于C， x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题．
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．
故选A．]
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
6．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
7．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z} 　 B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} 　 D．
A　[法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A．
法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．]
8．已知集合A＝{x|ax＋2≤0，a＞0}，B＝{x|x≤－3，或x＞1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则a的最大值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[根据题意，若x∈A是x∈B的充分条件，则A B，而A＝{x|ax＋2≤0，a＞0}＝，则有－≤－3，解得a≤，即a的最大值为．故选A．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知全集U，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．A∩( UB) 　 B．B∩( UA)
C． A(A∩B) 　 D．A∩(A∪B)
AC　[依题意，图中阴影部分在集合A中，不在集合B中，因此该阴影部分表示的集合为A∩( UB)或 A(A∩B)，AC正确，BD错误．故选AC．]
10．下列命题中，正确的是(　　)
A．“a＜b＜0”是“＞”的充分不必要条件
B．“－2≤λ≤3”是“－1≤λ≤3”的必要不充分条件
C．“x2≠y2”是“x≠y”的充要条件
D．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分条件
AB　[对于A，由a＜b＜0可以推出＞，反之不可以，故A正确；对于B，由－2≤λ≤3推不出－1≤λ≤3，反之可以，故B正确；对于C，由x2≠y2可以推出x≠y，反之不可以，故C错误；对于D，由题意知(A∪B)∩C是(A∩B)∪C的子集，所以x∈(A∪B)∩C可以推出x∈(A∩B)∪C，反之不可以，故D错误．故选AB．]
11．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1 x2∈A，则运算 可能是(　　)
A．加法 　 B．减法
C．乘法 　 D．除法
AC　[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，
其中m1，m2，n1，n2∈N*，
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，
所以加法满足条件，A正确；
x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，
当n1＝n2时，x1－x2 A，
所以减法不满足条件，B错误；
x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，
所以乘法满足条件，C正确；
，
当＝λ(λ>0)时， A，
所以除法不满足条件，D错误．故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题p： x≥0，x2－x<1的否定为__________．
x≥0，x2－x≥1　[根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题p： x≥0，x2－x<1的否定为 x≥0，x2－x≥1．]
13．定义集合运算：A*B＝{x|x∈A且x B}，若集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则集合A*B的子集个数为________．
4　[集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，由A*B的定义可得，A*B＝{1，3}，所以子集有 ，{1}，{3}，{1，3}，共4个．]
14．学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比赛的有________人，只参加田径一项比赛的有________人．
9　2　[如图所示：
设U＝{参加比赛的学生}，A＝{参加游泳比赛的学生}，B＝{参加田径比赛的学生}，C＝{参加球类比赛的学生}，依题意，U＝A∪B∪C，n(U)＝28，n(A)＝15，n(B)＝8，n(C)＝14，n(A∩B)＝3，n(A∩C)＝3，n(A∩B∩C)＝0，由容斥原理得28＝15＋8＋14－3－3－n(B∩C)，解得n(B∩C)＝3，所以只参加游泳比赛的人数为n(A)－n(A∩B)－n(A∩C)＝15－3－3＝9，只参加田径比赛的人数为n(B)－n(A∩B)－n(B∩C)＝8－3－3＝2．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)如果集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[解]　若a＝0，此时A＝ ，符合题意；
若a≠0，要使集合至多有一个元素，则Δ＝a2－4a≤0，由二次函数y＝a2－4a的图象(图略)知，016．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x<2}，
所以A∩B＝{x|－1≤x<2}．
(2)因为A∪B＝B，所以A B，
所以a≥4，所以实数a的取值范围为{a|a≥4}．
17．(本小题满分15分)已知命题p：关于x的方程x2＋4x＋m＝0(m＞0)有两个不相等的实数根．
(1)若p是真命题，求实数m的取值集合A；
(2)在(1)的条件下，集合B＝{m|2a－1＜m＜a＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
[解]　(1)若p是真命题，则
解得0＜m＜4，则A＝{m|0＜m＜4}．
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，
当B＝ 时，由2a－1≥a＋1，解得a≥2，此时B A，符合题意；
当B≠ 时，则有
解得≤a＜2，
综上所述，实数a的取值范围为．
18．(本小题满分17分)(教材P23习题1.4T6改编)在△ABC中，a，b，c为三角形的三边．
(1)我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；(不需证明)
(2)由(1)知，若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足an＋bn＝cn(n∈N，n＞2)时三角形的形状，并加以证明．
[解]　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平方和大于第三边的平方．
△ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大于另两边的平方和．
(2)∵an＋bn＝cn(n∈N，n＞2)，∴c为△ABC的最大边，∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴an＝a2·an-2＜a2·cn-2，
bn＝b2·bn-2＜b2·cn-2．
∴cn＝an＋bn＜a2·cn-2＋b2·cn-2＝(a2＋b2)cn-2，
∴c2＜a2＋b2，故△ABC为锐角三角形．
综上，当an＋bn＝cn(n∈N，n＞2)时，三角形一定是锐角三角形．
19．(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．
(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；
(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1[解]　(1)根据题意，由A＝{－1，1}，
则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}．
(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1所以A－中也只包含四个元素，
即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，
剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，
所以x1＋x4＝x2＋x3．
[点评]　本题是新定义题，求解的关键是分析新定义的特点，结合A＋、A－的定义及集合相等的条件解题．
1 / 1类型1　集合的基本概念
1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换．
2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　)
A．6 　 B．5
C．4 　 D．3
(2)(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是(　　)
A．(1，2)∈B 　 B．A＝B
C．0 A 　 D．2∈B
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 类型2　集合的基本关系与运算
1．集合的运算主要包括交集、并集和补集的运算，它与集合的基本关系都是高考的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
2．掌握集合的基本关系与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】　已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)当a＝－时，求A∪B及其子集个数；
(2)当A∪B＝A时，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 类型3　充分条件与必要条件
1．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参数的范围问题，提升转化和化归能力．
2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例3】　(1)(多选)下列命题中是真命题的是(　　)
A．x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件
B．x>0的必要不充分条件是x>1
C．Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件
D．x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 类型4　全称量词命题和存在量词命题
1．全称量词强调的是“一切”“每一个”等，常用符号“ ”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“ ”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数的范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．
【例4】　(1)(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A． p： x∈R，x2＋1＝0
B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题
D．p是假命题， p是真命题
(2)已知命题p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0．若命题p的
[尝试解答]　_________________________________________________________
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