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第一章　集合与常用逻辑用语
1．常用数集及其记法
数集名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
字母表示 N N*或N＋ Z Q R
2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．
3．元素与集合的关系：
4．集合的表示方法：
5．集合间的基本关系
[重要结论]　(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A B，B C A C．
[易错警示]　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
6．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集： UA＝{x|x∈U，且x A}．
[重要结论]　A B A∩B＝A A∪B＝B．
7．充分条件与必要条件
若p，则q 若q，则p p是q的______条件
真命题 假命题 充分不必要
假命题 真命题 必要不充分
真命题 真命题 充要
假命题 假命题 既不充分也不必要
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定为 p： x∈M， p(x)；存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定为 p： x∈M， p(x)．
9．根据集合间的关系判断充分、必要条件
集合 关系 p是q的______条件
A＝{x|p(x)}， B＝{x|q(x)} A?B 充分不必要
B?A 必要不充分
A＝B 充要
A B且B A 既不充分也不必要
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1．作差法比较两个实数的大小
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．不等式性质
性质1(对称性)：a>b b性质2(传递性)：a>b，b>c a>c；
性质3(可加性)：a>b a＋c>b＋c；
性质4：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8：a>b>0 >(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式：≤
(1)不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)基本不等式的变形：ab≤(a，b∈R)．
(4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(5)最值定理：已知x>0，y>0，则
①如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：积定和最小)
②如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)
[易错警示]　应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”．
4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x15．不等式恒成立问题的解法
(1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是．
(2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f (x)(g(a)f (x)max(g(a)第三章　函数的概念与性质
1．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y值(函数值)的集合{ f (x)|x∈A}
[特别提醒]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)在求分段函数的值f (x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．
2．单调性的定义：对于函数f (x)的定义域D内某个区间[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1≠x2．
(1)若(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0 >0 f (x)在[a，b]上单调递增；
(2)(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]<0 <0 f (x)在[a，b]上单调递减．
[拓展]　复合函数的单调性满足同增异减的原则．
3．最值的定义：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)① x∈D，都有f (x)≤M；
② x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最大值．
(2)① x∈D，都有f (x)≥M；
② x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最小值．
4．函数的奇偶性
(1)f (x)是奇函数 定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x) f (x)图象关于原点对称．
(2)f (x)是偶函数 定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x) f (x)图象关于y轴对称．
[重要结论]　若奇函数f (x)在原点处有意义，则f (0)＝0．
5．五个常见幂函数的图象
第四章　指数函数与对数函数
1．根式的性质
(1)＝a．
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar+s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
4．指数式与对数式的关系
(1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x．
(2)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0．
②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)．
③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
5．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．
(2)loga＝logaM－logaN．
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．对数的换底公式及推论
(1)换底公式：logab＝．
(2)常用推论：
①logab·logba＝1．
②logab·logbc·logca＝1．
logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．
7．指数、对数函数的图象及性质
[说明]　(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和0(2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于y轴对称；两对数函数的图象关于x轴对称．
(3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称．
8．函数的应用(二)
(1)函数的零点概念：函数f (x)的零点是使f (x)＝0的实数x．
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
(3)函数零点存在定理
①条件：函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0．
②结论：函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
[特别提醒]　(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
①　　　　　　②　　　 　　　③
(2)函数零点存在定理是不可逆的，因为f (a)f (b)<0可以推出函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f (a)f (b)<0．如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f (a)f (b)>0．
(3)如果单调函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
第五章　三角函数
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
①弧长公式：l＝αR．
②扇形面积公式：S＝αR2．
2．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α．
(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α．
(3)点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．
[拓展]　(1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
4．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
[重要结论]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
6．三角恒等变换
(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan (α－β)＝(T(α－β))；
tan (α＋β)＝(T(α＋β))．
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．
(3)半角公式
sin＝±；
cos ＝±；
tan ＝±；
tan ；
tan ．
(4)辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝．
[重要结论]　(1)公式的常用变式
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)；
sin 2α＝os2α＝．
(2)降幂公式：sin2α＝os2α＝n αcos α＝sin 2α．
7．函数y＝A sin (ωx＋φ)
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
(2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
　方法一(先平移后伸缩)　方法二(先伸缩后平移)
[易错警示]　左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关．
8．三角恒等变换与三角函数图象及性质的综合问题的解题策略
利用三角恒等变换把函数化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式．
(1)求周期：在ω＞0的前提下，利用周期公式T＝即可计算出函数f (x)的最小正周期．
(2)求单调区间：在ω＞0，A>0的前提下，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递增区间，＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递减区间．
(3)求最值：
①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f (x)的最小值和最大值．
②转化法：形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求最值．
③换元法：形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求最值．
④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值．
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} 　 B．{2，3}
C．{－3，－1，0} 　 D．{－1，0，2}
A　[因为A＝{x2．已知某扇形的周长为5，圆心角为3弧度，则该扇形的面积为(　　)
A． 　 B．1
C． 　 D．2
C　[设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得r＝1，l＝3，
则扇形的面积为S＝．故选C．]
3．已知a＝log30.5，b＝log0.50.3，c＝sin ，则(　　)
A．c＞b＞a 　 B．c＞a＞b
C．b＞a＞c 　 D．b＞c＞a
D　[利用对数函数的性质可得a＝log30.5＜log31＝0，b＝log0.50.3＞log0.50.5＝1，
利用诱导公式可得
c＝sin ＝sin ＝sin ∈(0，1)，
所以b＞c＞a．故选D．]
4．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是(　　)
A．y＝tan x 　 B．y＝|tan x|
C．y＝sin |x| 　 D．y＝cos
B　[对于A，y＝tan x是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若y＝f (x)＝，关于原点对称，
且f (－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f (x)，所以y＝f (x)＝|tan x|是偶函数，
又f (x＋π)＝|tan (x＋π)|＝|tan x|＝f (x)，所以y＝f (x)＝|tan x|是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数y＝sin |x|的图象如图所示：
由此可知函数y＝sin |x|不是周期函数，故C错误；
对于D，若y＝f (x)＝cos ，则f ＝＝0≠f ＝cos ，所以y＝f (x)＝cos 不是偶函数，故D错误．故选B．]
5．当x∈(0，2π)时，函数f (x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为(　　)
A．π 　 B．2π
C．3π 　 D．4π
A　[作出函数f (x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象．
从图象上可得，函数f (x)＝sin x的图象和g(x)＝|cos x|的图象在(0，2π)内有两个交点．
sin x＝cos x，x∈，即tan x＝1，x∈，得x＝，sin x＝－cos x，x∈，tan x＝－1，x∈，得x＝，所有交点横坐标之和为＝π．故选A．]
6．已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．(1，2)
A　[因为函数f (x)＝在R上单调递增，所以
解得a∈．
故选A．]
7．函数f (x)＝cos 2x－2sin x的值域是(　　)
A． 　 B．[－3，1]
C． 　 D．(－3，1)
C　[ f (x)＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x，
令sin x＝t(t∈[－1，1])，
则g(t)＝－2t2－2t＋1＝－2，
因为t∈[－1，1]，且该二次函数g(t)的图象开口向下，
所以g(t)max＝g，
因为g(1)＝－3，g(－1)＝1，
所以g(t)min＝g(1)＝－3，
因此g(t)∈，
即f (x)∈．故选C．]
8．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，f (x＋2)是偶函数，且f (x)在[0，2]上单调递增，则(　　)
A．f (10)＜f (19)＜f (13)
B．f (10)＜f (13)＜f (19)
C．f (13)＜f (10)＜f (19)
D．f (13)＜f (19)＜f (10)
D　[因为f (x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以f (x)的图象的对称中心是(0，0)，
故f (－x)＝－f (x)，
因为f (x＋2)是偶函数，所以f (x)图象的对称轴是直线x＝2，即f (2＋x)＝f (2－x)，
所以f (2＋x)＝f (2－x)中，将x替换为x－2，得到f (x)＝f (4－x)，
故f (－x)＝－f (4－x)，将x替换为x－4，得到f (4－x)＝－f (8－x)，
所以f (－x)＝f (8－x)，因此f (x)的周期为8．
所以f (10)＝f (2)，f (19)＝f (3)＝f (1)，f (13)＝f (5)＝f (－1)，
因为f (x)在[0，2]上单调递增且f (x)是奇函数，
所以f (x)在[－2，2]上单调递增，
所以f (－1)＜f (1)＜f (2)，
所以f (13)＜f (19)＜f (10)．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝1与g(x)＝x0是同一个函数
B．“a＞b＞0”是“＜”的充分不必要条件
C．命题“ x∈R，x2－x＋＜0”的否定是真命题
D．集合{x|x＜－2，且x＞－1}没有真子集
BCD　[对于A，两个函数的定义域不一样，故不是同一个函数，A错误；
对于B，若a＞b＞0，则＜，充分性成立，
若＜，如a＝－1，b＝－2，此时0＞a＞b，必要性不成立，
所以“a＞b＞0”是“＜”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“ x∈R，x2－x＋＜0”的否定是 x∈R，x2－x＋≥0，
由二次函数的性质可得f (x)＝x2－x＋的图象开口向上，Δ＝0，所以f (x)≥0恒成立，故C正确；
对于D，集合{x|x＜－2，且x＞－1}是空集，而空集没有真子集，所以D正确．
故选BCD．]
10．已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1}，则(　　)
A．b＞0且c＜0
B．4a＋2b＋c＝0
C．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞2}
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
AC　[由题意可知
解得所以b＞0且c＜0，4a＋2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a＞0，故A正确，B错误；
不等式bx＋c＞0 ax－2a＝a(x－2)＞0 x＞2，故C正确；
不等式cx2－bx＋a＜0 －2ax2－ax＋a＝－a(2x－1)(x＋1)＜0，
即(2x－1)(x＋1)＞0，所以x＞或x＜－1，故D错误．
故选AC．]
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f (x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．ω＝2
B．φ＝
C．g(x)的最小正周期为π
D．g(x)的图象关于点对称
ABC　[由题图知：A＝2，，
则ω＝2，故f (x)＝2sin (2x＋φ)，
又2sin ＝2，
即＋2kπ，k∈Z，
故φ＝＋2kπ，k∈Z，
由，所以φ＝，
则f (x)＝2sin ，
故g(x)＝f －1＝2sin －1＝2sin －1，则最小正周期T＝π，
显然sin ≠0，
故g(x)的图象不关于点对称．
故选ABC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若2a＝3b＝，则的值为________．
2　[因为2a＝3b＝，
所以a＝log2，b＝log3，
所以＝2．]
13．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式________．
①f (x)的定义域为(0，＋∞)；②f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)；③当x＞1时，f (x)＞0．
f (x)＝ln x(答案不唯一)　[取f (x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，
f (x1x2)＝ln (x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f (x1)＋f (x2)，满足f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x＞1时，f (x)＞0，满足所有条件．]
14．已知tan ＝2－，tan β＝1，则＝________．
－1　[因为tan ＝2－，
所以tan α＝－，
＝＝－1．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)求实数a的取值范围，使________成立．
从①A RB，②B RA，③( RA)∩B＝ 中选择一个填入横线处求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)]·[x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1当a＝1时，B＝{x|0(2)由(1)知，A＝{x|1所以 RA＝{x|x≤1或x≥5}， RB＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．
若选①，A RB，则a＋1≤1或a－1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．
若选②，B RA，则a＋1≤1或a－1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．
若选③，( RA)∩B＝ ，则
解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝4x＋．
(1)用定义证明：函数f (x)在(0，1]上单调递减；
(2)如果对任意x∈[1，2]，不等式(3－4log2x)(3－log2x)>klog2x恒成立，求实数k的取值范围．
[解]　(1)证明：对任意x1，x2∈(0，1]，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝，
因为00，4x1x2－9<0，
可得f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在(0，1]上单调递减．
(2)令t＝log2x，由于x∈[1，2]，则t∈[0，1]，
由题意可得：(3－4t)(3－t)>kt对一切t∈[0，1]恒成立，
当t＝0时，则9>0，符合题意，k∈R；
当t∈(0，1]时，可得k<4t＋－15，
令h(t)＝4t＋－15，
由(1)知h(t)在(0，1]上单调递减，
当t＝1时，
h(t)取到最小值h(1)＝－2，
所以k<－2．
综上所述：实数k的取值范围为(－∞，－2)．
17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)，f (x)图象上相邻两个对称中心的距离为．
(1)求函数f (x)的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)＝(sin x＋cos x)·g(x)在上的最大值．
[解]　(1)由题意知，，又ω＞0，则T＝π＝，得ω＝2，
所以f (x)＝sin ．
由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y＝sin 的图象，再将曲线向右平行移动个单位长度，得g(x)＝sin x的图象．
则h(x)＝sin x(sin x＋cos x)
＝sin2x＋sin x cos x
＝
＝sin ，
因为0≤x≤，则－，
所以0≤sin ，
当且仅当2x－，即x＝时，h(x)在上有最大值1＋．
18．(本小题满分17分)(教材P227例10改编)为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造．如图，在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝A sin (A＞0，ω＞0)，x∈[－4，0]时的图象，且图象的最高点为B(－1，2)，新步道的中间部分为长1千米的直线跑道CD，且CD∥EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
(1)求ω的值和∠DOE的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求矩形MNPQ面积最大时θ应取何值？并求出最大面积．
[解]　(1)由题意可得，A＝2，＝－1－(－4)＝3，即T＝12，
又ω＞0，则ω＝，
所以曲线段FBC的解析式为y＝2sin ．
当x＝0时，y＝OC＝2sin ＝，
又因为CD＝1，则tan ∠DOC＝，
可知锐角∠DOC＝，所以∠DOE＝．
(2)由(1)可知OD＝2，OP＝2，
且∠POE＝θ∈，
则QM＝PN＝2sin θ，ON＝2cos θ，OM＝sin θ，
可得MN＝ON－OM＝2cos θ－sin θ，
则矩形MNPQ的面积为
SMNPQ＝MN·PN＝2sin θ
＝4sin θcos θ－sin2θ
＝2sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin ，
又因为θ∈，
则2θ＋∈，
可知当2θ＋，即θ＝时，
SMNPQ＝，
所以矩形MNPQ的最大面积为，此时θ＝．
19．(本小题满分17分)已知函数f (x)在定义域内存在实数x0和非零实数D，使得f (x0＋D)＝f (x0)＋f (D)成立，则称函数f (x)为“D伴和函数”．
(1)判断是否存在实数D，使得函数f (x)＝为“D伴和函数”？若存在，请求出D的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数f (x)＝x2＋sin x＋1在[0，＋∞)上为“π伴和函数”；
(3)若函数f (x)＝lg 在(0，＋∞)上为“1伴和函数”，求实数a的取值范围．
[解]　(1)不存在，理由如下：
若f (x0＋D)＝f (x0)＋f (D)，
则，
整理得＋Dx0＋D2＝0，
因为Δ＝D2－4D2＝－3D2＜0，该方程无解，
所以，不存在实数D使得函数f (x)＝为“D伴和函数”．
(2)证明：由f (x0＋π)＝f (x0)＋f (π)，
得(x0＋π)2＋sin (x0＋π)＋1＝＋sin x0＋π2＋2，
整理得2πx0－2sin x0－1＝0．
设g(x)＝2πx－2sin x－1，
因为g(x)的图象在[0，＋∞)内连续不断，
且g(0)＝－1＜0，g＝π2－3＞0，
则g(0)·g＜0，
所以g(x)在内存在零点，
所以g(x)在[0，＋∞)内存在零点，
即方程2πx－2sin x－1＝0在[0，＋∞)内存在实根，
故函数f (x)＝x2＋sin x＋1在[0，＋∞)上为“π伴和函数”．
(3)若函数f (x)在(0，＋∞)上为“1伴和函数”，
则f (x0＋1)＝f (x0)＋f (1)，
即lg －lg
＝lg
＝lg ，
整理得，
令t＝2x0＋1＞1，
则x0＝，
所以
＝1－
＝1－．
因为t＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当t＝，即t＝时等号成立，
所以0＜，
所以＜1，
即3－≤a＜2，
所以实数a的取值范围为[3－，2)．
1 / 1第一章　集合与常用逻辑用语
1．常用数集及其记法
数集名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
字母表示 N N*或N＋ Z Q R
2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．
3．元素与集合的关系：
4．集合的表示方法：
5．集合间的基本关系
[重要结论]　(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A B，B C A C．
[易错警示]　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
6．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集： UA＝{x|x∈U，且x A}．
[重要结论]　A B A∩B＝A A∪B＝B．
7．充分条件与必要条件
若p，则q 若q，则p p是q的______条件
真命题 假命题 充分不必要
假命题 真命题 必要不充分
真命题 真命题 充要
假命题 假命题 既不充分也不必要
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定为 p： x∈M， p(x)；存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定为 p： x∈M， p(x)．
9．根据集合间的关系判断充分、必要条件
集合 关系 p是q的______条件
A＝{x|p(x)}， B＝{x|q(x)} A?B 充分不必要
B?A 必要不充分
A＝B 充要
A B且B A 既不充分也不必要
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1．作差法比较两个实数的大小
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．不等式性质
性质1(对称性)：a>b b性质2(传递性)：a>b，b>c a>c；
性质3(可加性)：a>b a＋c>b＋c；
性质4：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8：a>b>0 >(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式：≤
(1)不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)基本不等式的变形：ab≤(a，b∈R)．
(4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(5)最值定理：已知x>0，y>0，则
①如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：积定和最小)
②如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)
[易错警示]　应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”．
4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x15．不等式恒成立问题的解法
(1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是．
(2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f (x)(g(a)f (x)max(g(a)第三章　函数的概念与性质
1．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y值(函数值)的集合{ f (x)|x∈A}
[特别提醒]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)在求分段函数的值f (x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．
2．单调性的定义：对于函数f (x)的定义域D内某个区间[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1≠x2．
(1)若(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0 >0 f (x)在[a，b]上单调递增；
(2)(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]<0 <0 f (x)在[a，b]上单调递减．
[拓展]　复合函数的单调性满足同增异减的原则．
3．最值的定义：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)① x∈D，都有f (x)≤M；
② x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最大值．
(2)① x∈D，都有f (x)≥M；
② x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最小值．
4．函数的奇偶性
(1)f (x)是奇函数 定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x) f (x)图象关于原点对称．
(2)f (x)是偶函数 定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x) f (x)图象关于y轴对称．
[重要结论]　若奇函数f (x)在原点处有意义，则f (0)＝0．
5．五个常见幂函数的图象
第四章　指数函数与对数函数
1．根式的性质
(1)＝a．
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar+s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
4．指数式与对数式的关系
(1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x．
(2)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0．
②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)．
③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
5．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．
(2)loga＝logaM－logaN．
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．对数的换底公式及推论
(1)换底公式：logab＝．
(2)常用推论：
①logab·logba＝1．
②logab·logbc·logca＝1．
logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．
7．指数、对数函数的图象及性质
[说明]　(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和0(2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于y轴对称；两对数函数的图象关于x轴对称．
(3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称．
8．函数的应用(二)
(1)函数的零点概念：函数f (x)的零点是使f (x)＝0的实数x．
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
(3)函数零点存在定理
①条件：函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0．
②结论：函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
[特别提醒]　(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
①　　　　　　②　　　 　　　③
(2)函数零点存在定理是不可逆的，因为f (a)f (b)<0可以推出函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f (a)f (b)<0．如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f (a)f (b)>0．
(3)如果单调函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
第五章　三角函数
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
①弧长公式：l＝αR．
②扇形面积公式：S＝αR2．
2．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α．
(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α．
(3)点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．
[拓展]　(1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
4．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
[重要结论]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
6．三角恒等变换
(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan (α－β)＝(T(α－β))；
tan (α＋β)＝(T(α＋β))．
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．
(3)半角公式
sin＝±；
cos ＝±；
tan ＝±；
tan ；
tan ．
(4)辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝．
[重要结论]　(1)公式的常用变式
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)；
sin 2α＝；cos2α＝．
(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝n αcos α＝sin 2α．
7．函数y＝A sin (ωx＋φ)
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
(2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
　方法一(先平移后伸缩)　方法二(先伸缩后平移)
[易错警示]　左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关．
8．三角恒等变换与三角函数图象及性质的综合问题的解题策略
利用三角恒等变换把函数化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式．
(1)求周期：在ω＞0的前提下，利用周期公式T＝即可计算出函数f (x)的最小正周期．
(2)求单调区间：在ω＞0，A>0的前提下，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递增区间，＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递减区间．
(3)求最值：
①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f (x)的最小值和最大值．
②转化法：形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求最值．
③换元法：形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求最值．
④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值．
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