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　探究函数f (x)＝x＋的图象与性质
1．函数f (x)＝x＋的图象
2．函数f (x)＝x＋的性质
(1)定义域为{x|x≠0}．
(2)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：奇函数．
(4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2．
(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0，0)成中心对称．
【典例】　【链接教材P86习题3.2T8】
探究函数f (x)＝x＋(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
[解]　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f (x)＝x＋(a>0)在和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减，证明如下：
x1，x2∈(0，]，且x1则f (x1)－f (x2)＝x1＋
＝(x1－x2)·．
因为0所以x1－x2<0，0所以>1，
所以1－<0，
所以f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)．
所以f (x)在(0，]上单调递减．
x1，x2∈(，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)．
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以<1，
所以1－>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
所以f (x1)所以f (x)在(，＋∞)上单调递增．
同理，f (x)在(－∞，－)上单调递增，在[－，0)上单调递减．
其图象如图所示．
[母题探究]　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
[解]　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f (x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝x1＋＝(x1－x2)，
因为0所以x1－x2<0，
又a<0，所以1－>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f (x)在区间(－∞，0)上单调递增．
其图象如图所示．
【教材原题·P86习题3.2T8】(1)根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增．
(2)讨论函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．
(3)讨论函数y＝x＋(k＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性．
[解]　(1)证明： x1，x2∈[3，＋∞)且x1＜x2，
则y1－y2＝x1＋＝(x1－x2)＋．
∵x1，x2∈[3，＋∞)，
∴x1x2＞0，x1x2＞9．
又∵x1＜x2，
∴x1－x2＜0，
∴y1－y2＜0，即y1＜y2．
∴y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增．
(2) x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2．
y1－y2＝x1＋
＝．
①当x1，x2∈(0，3]时，x1x2＞0，x1x2－9＜0，又x1－x2＜0，
∴y1－y2＞0，即y1＞y2．∴y＝x＋在(0，3]上单调递减．
②当x1，x2∈[3，＋∞)时，x1x2＞0，x1x2－9＞0，又x1－x2＜0．
∴y1－y2＜0，即y1＜y2．
∴y＝x＋在[3，＋∞)上单调递增．
(3) x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则y1－y2＝＝．
①当x1，x2∈(0，]时，x1x2＞0，x1x2－k＜0，
又x1－x2＜0，∴y1－y2＞0，即y1＞y2．
∴y＝x＋(k＞0)在(0，]上单调递减．
②当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2＞0，x1x2－k＞0，
又x1－x2＜0，∴y1－y2＜0，即y1＜y2．
∴y＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上单调递增．
已知函数f (x)＝x＋，x∈(0，＋∞)有如下性质：如果常数k>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
利用上述性质或用其他方法解决下列问题：
(1)若a>0，函数y＝x＋(x>0)的值域为[6，＋∞)，求实数a的值；
(2)若关于x的方程4x2－2(b＋6)x－b－3＝0在x∈[0，1]上有解，求实数b的取值范围．
[解]　(1)由上述性质及题设可知，
当x＝时，ymin＝＋＝2＝6，
解得实数a的值为9．
(2)由题得b＝，
令t＝2x＋1，t∈[1，3]，
所以x＝，
所以b＝t＋－8，在t∈[1，3]上有解，
由上述性质可知b＝t＋－8在t∈[1，2]上单调递减，在t∈[2，3]上单调递增，
所以t＝2时，bmin＝－4，
当t＝1时，b＝－3，当t＝3时，b＝－，
所以bmax＝－3．
故实数b的取值范围为[－4，－3]．
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1．函数f (x)＝x＋的图象
2．函数f (x)＝x＋的性质
(1)定义域为{x|x≠0}．
(2)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：奇函数．
(4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2．
(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0，0)成中心对称．
【典例】　【链接教材P86习题3.2T8】
探究函数f (x)＝x＋(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
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已知函数f (x)＝x＋，x∈(0，＋∞)有如下性质：如果常数k>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
利用上述性质或用其他方法解决下列问题：
(1)若a>0，函数y＝x＋(x>0)的值域为[6，＋∞)，求实数a的值；
(2)若关于x的方程4x2－2(b＋6)x－b－3＝0在x∈[0，1]上有解，求实数b的取值范围．
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