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微专题4　函数性质的综合问题
函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等，函数性质的应用一般有两种类型：一种是应用已知函数的性质解决问题；另一种是探究函数所具有的性质并利用性质解决问题．
探究1　证明函数图象的对称性
[典例讲评]　1．(源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[学以致用]　【链接教材P87习题3.2T13】
1．证明函数f (x)＝的图象关于点(－1，1)对称．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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探究2　函数性质的综合应用
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ．
(1)确定函数f (x)的解析式；
(2)用定义法证明f (x)在(－1，1)上单调递增；
(3)解不等式：f (t－1)＋f (t)<0．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题．在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域．
[学以致用]　2．(1)已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2]上单调递减，且f (x＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f 的大小关系为(　　)
A．f (4)B．f (－1)C．f D．f (－1)(2)已知函数f (x)＝，则f (x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和等于(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
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1 / 1微专题4　函数性质的综合问题
函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等，函数性质的应用一般有两种类型：一种是应用已知函数的性质解决问题；另一种是探究函数所具有的性质并利用性质解决问题．
探究1　证明函数图象的对称性
[典例讲评]　1．(源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称．
[证明]　任取h∈R，因为f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2，
f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2，
所以f (－2＋h)＝f (－2－h)，
这就说明函数f (x)的图象关于x＝－2对称．
　(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[学以致用]　【链接教材P87习题3.2T13】
1．证明函数f (x)＝的图象关于点(－1，1)对称．
[证明]　函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝＝2，
即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1，
∴f (x)的图象关于点(－1，1)对称．
【教材原题·P87习题3.2T13】我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
分析：(1)将函数f (x)的解析式经过适当的变形，得出y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x，构造函数g(x)，利用奇偶性的定义证明g(x)为奇函数，根据题设条件即可得出函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)将“函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”，类比为“函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形”，再将“函数y＝f (x＋a)－b为奇函数”，类比为“函数y＝f (x＋a)为偶函数”，即可写出结论．
[解]　(1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，
∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x．
设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．
即f (x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)．
(2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
探究2　函数性质的综合应用
[典例讲评]　2．已知函数f (x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ．
(1)确定函数f (x)的解析式；
(2)用定义法证明f (x)在(－1，1)上单调递增；
(3)解不等式：f (t－1)＋f (t)<0．
[解]　(1)根据题意得
即
解得∴f (x)＝，x∈(－1，1)．
(2)证明： x1，x2∈(－1，1)，且x1f (x1)－f (x2)＝＝．
∵－1∴x1－x2<0，1＋>0，1＋>0，1－x1x2>0，
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴f (x)在(－1，1)上单调递增．
(3)f (t－1)<－f (t)＝f (－t)．
∵f (x)在(－1，1)上单调递增，
∴解得0∴不等式f (t－1)＋f (t)<0的解集为．
　奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题．在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域．
[学以致用]　2．(1)已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2]上单调递减，且f (x＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f 的大小关系为(　　)
A．f (4)B．f (－1)C．f D．f (－1)(2)已知函数f (x)＝，则f (x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和等于(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
(1)A　(2)C　[(1)函数y＝f (x＋2)为偶函数，则函数y＝f (x＋2)的图象关于y轴对称，函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f ，f (4)＝f (0)，
∵f (x)在(－∞，2]上单调递减，－<－1<0，
∴f >f (－1)>f (0)，
即f (4)(2)f (x)＝，
设g(x)＝，则函数g(x)为奇函数，因此g(x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和为0，可得f (x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值之和为2．故选C．]
【教用·备选题】若函数f (x)在定义域R上满足f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且x＞0时，f (x)＞0，g(x)为定义在[－2，2]上的偶函数．
(1)求证：(ⅰ)函数f (x)为奇函数；
(ⅱ)函数f (x)在定义域R上单调递增；
(2)若在区间[－1，1]上，f (x)＋g(x)＝－x2＋x＋1，g(x)在[0，2]上的图象关于点(1，0)对称．求函数f (x)和函数g(x)在区间[－2，2]上的解析式．
[解]　(1)证明：(ⅰ)对于f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，x∈R，令x＝y＝0，可得f (0)＝0，
再令y＝－x，可得f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，即f (－x)＝－f (x)，
故函数f (x)为奇函数．
(ⅱ) x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，f (x2－x1)＞0，
由f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x1＋x2－x1)＝f (x1)－[ f (x1)＋f (x2－x1)]＝－f (x2－x1)＜0，
可得f (x1)＜f (x2)，
故函数f (x)在定义域R上单调递增．
(2)由g(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，则x∈[－1，1]时，g(－x)＝g(x)．
由x∈[－1，1]时，f (x)＋g(x)＝－x2＋x＋1①，
可得f (－x)＋g(－x)＝－f (x)＋g(x)＝－x2－x＋1②，
由①－②，可得2f (x)＝2x，即得f (x)＝x；
由①＋②，可得2g(x)＝－2x2＋2，即得g(x)＝－x2＋1；
当x∈[－1，1]时，f (x)＝x，则当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，
由f (x)＋f (y)＝f (x＋y)可得f (x)＝f (x－1)－f (－1)＝f (x－1)＋f (1)＝x；
当x∈[－2，－1)时，－x∈(1，2]，
故f (x)＝－f (－x)＝x．
综上，可知当x∈[－2，2]时，都有f (x)＝x．
当x∈[－1，1]时，g(x)＝－x2＋1，且g(x)在[0，2]上的图象关于点(1，0)对称，
则当x∈(1，2]时，2－x∈[0，1)，g(x)＝－g(2－x)＝－[－(2－x)2＋1]＝x2－4x＋3；
又g(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，
故x∈[－2，－1)时，－x∈(1，2]，g(x)＝g(－x)＝x2＋4x＋3．
综上，可知当x∈[－2，2]时，
g(x)＝
微专题强化练(四)　函数性质的综合问题
一、选择题
1．已知函数f (x)＝，则函数f (x)的图象的对称中心为(　　)
A．(－1，－3) 　 B．(－1，3)
C．(－1，－2) 　 D．(－1，2)
C　[因为f (－1＋x)＋f (－1－x)＝＝－4，
所以函数f (x)的图象关于点(－1，－2)对称．故选C．]
2．已知定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (3＋x)，且在(－∞，2]上单调递增，a＝f (π)，b＝f ()，c＝f (0)，则(　　)
A．a＜b＜c 　 B．c＜b＜a
C．b＜c＜a 　 D．c＜a＜b
D　[由已知得函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，又f (x)在(－∞，2]上单调递增，
所以f (x)在[2，＋∞)上单调递减，
所以f (0)＜f ()．
又2＜π＜4，所以f (π)＞f (4)＝f (0)．
因为π－2＞2－，所以f (π)＜f ()．
故f (0)＜f (π)＜f ()，即c＜a＜b．故选D．]
3．已知定义在R上的偶函数f (x)，其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f (x)＝－x＋，则f 等于(　　)
A．－1 　 B．0
C．1 　 D．
B　[∵f (x)的图象关于点对称，
∴f ＝0，
即f (1＋x)＋f (－x)＝0．
又∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴f (1＋x)＋f (x)＝0，即f (1＋x)＝－f (x)，
∴f ＝0．]
4．已知g(x)为定义在R上的奇函数，且对任意实数a≠b，有<0，若g(m)＋g(m－2)>0，则实数m的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) 　 B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) 　 D．(－∞，1)
D　[对任意实数a≠b，有<0，所以函数g(x)在R上单调递减．
又因为函数g(x)为定义在R上的奇函数，且g(m)＋g(m－2)>0，则g(m)>－g(m－2)＝g(2－m)，所以m<2－m，得m<1．
故选D．]
5．(多选)f (x)为定义在R上的函数，且函数f (x＋1)是奇函数．则下列结论正确的是(　　)
A．f (1)＝0
B．f (1－x)＝－f (1＋x)
C．函数f (x)的图象关于原点对称
D．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
ABD　[令g(x)＝f (x＋1)，对于A，因为g(x)为R上的奇函数，所以g(0)＝f (0＋1)＝0，所以f (1)＝0，故正确；对于B，因为g(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即f (1－x)＝－f (1＋x)，故正确；因为y＝f (x)的图象由y＝f (x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到，又y＝f (x＋1)的图象关于原点对称，所以y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称，故C错误，D正确．故选ABD．]
二、填空题
6．写出一个定义域为R，值域为(－∞，8]的偶函数f (x)＝________．
－x2＋8(答案不唯一)　[依题意，偶函数f (x)的定义域为R，值域为(－∞，8]，故f (x)＝－x2＋8符合题意．]
7．f (x)为定义在R上的奇函数，函数图象关于直线x＝2对称，且f (3)＝1，则f (－1)＋f (0)＝________．
－1　[因为f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)．
又函数图象关于直线x＝2对称，
所以f (1)＝f (3)＝1，
所以f (－1)＝－f (1)＝－1，所以f (－1)＋f (0)＝－1．]
8．设函数f (x)＝，若函数f (x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
2　[由题意，f (x)＝．令g(x)＝，因为函数g(x)的定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，故函数g(x)为R上的奇函数且g(x)＝1－f (x)，故若函数f (x)在R上的最大值为M，则g(x)min＝1－M；函数f (x)在R上的最小值为m，则g(x)max＝1－m，由于g(x)为R上的奇函数，故g(x)min＋g(x)max＝0，即1－M＋1－m＝0，则M＋m＝2．]
三、解答题
9．(教材P87习题3.2T13改编)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数f (x)的解析式；
(2)求证：点(－1，2)是函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心，并求f (－2 025)＋f (－2 024)＋f (2 023)＋f (2 022)的值．
[解]　(1)因为函数f (x)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f (x－1)为奇函数，只要设y＝f (x－1)＝x，
则f (x)＝x＋1．
(注：答案不唯一，只要满足y＝f (x－1)为奇函数即可)
(2)证明：因为f (x)＝x3＋3x2，
令g(x)＝f (x－1)－2，
所以g(x)＝(x－1)3＋3(x－1)2－2
＝(x3－3x2＋3x－1)＋3(x2－2x＋1)－2
＝x3－3x，
则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝＋3x＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数．
所以点(－1，2)是函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心．
所以g(x)＋g(－x)＝f (x－1)－2＋f (－x－1)－2＝0，
所以f (x－1)＋f (－x－1)＝4，
所以f (－2 025)＋f (2 023)＝f (－2 024)＋f (2 022)＝4，
所以f (－2 025)＋f (－2 024)＋f (2 023)＋f (2 022)＝8．
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