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第2课时　集合的表示
[学习目标]　1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)
探究1　列举法
问题1　观察下面两个集合，思考并回答下列问题：
①A是由中国的“五岳”组成的集合；
②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．
(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？
(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
把集合的所有元素________出来，并用________________括起来表示集合的方法叫做列举法．
[典例讲评]　【链接教材P3例1】
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)将所有元素用花括号括起来．
[学以致用]　1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N．
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____________________________________________________________________ 探究2　描述法
问题2　能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？
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____________________________________________________________________问题3　偶数有什么特征，偶数集如何表示？
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____________________________________________________________________ [新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为________________，这种表示集合的方法称为描述法．
[典例讲评]　【链接教材P4例2】
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；
(2)大于2小于7的整数；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[学以致用]　2．下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 探究3　集合表示方法的综合应用
[典例讲评]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________　若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
[学以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　)
A．{0，1，2，3，4} 　 B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} 　 D．{1，2，3，4，5}
2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
3．集合{1，，，2，，…}用描述法可表示为(　　)
A．{x|x≥1} 　 B．{x|x≤}
C．{x|x＝} 　 D．{x|x＝，n∈N*}
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论．
3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用．
(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．
1 / 1第2课时　集合的表示
[学习目标]　1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(数学抽象) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
问题2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？
问题3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？
探究1　列举法
问题1　观察下面两个集合，思考并回答下列问题：
①A是由中国的“五岳”组成的集合；
②B是由“方程x2－3x＋2＝0 的所有实数根”组成的集合．
(1)集合A，B中的元素能一一列举出来吗？
(2)集合A与B除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示：(1)能．集合A中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合B中的元素为1，2．
(2)列举法．A＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，B＝{1，2}．
[新知生成]
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【教用·微提醒】　(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开．
(2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．
[典例讲评]　【链接教材P3例1】
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝．
(4)由
得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
【教材原题·P3例1】
例1　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
[解]　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}．
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)将所有元素用花括号括起来．
[学以致用]　1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的根组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N．
[解]　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)由(x－2)2(x－3)＝0得x＝2或x＝3，
所以M＝{2，3}．
(3)解方程组得
所以B＝{(3，2)}．
(4)因为15的正约数有1，3，5，15，
所以N＝{1，3，5，15}．
探究2　描述法
问题2　能否用列举法表示由“不等式x－1>3的解”组成的集合，为什么？
提示：不能．不等式x－1>3的解是x>4，因为满足x>4的实数有无数个，且无规律可循，所以x－1>3的解集无法用列举法表示．
问题3　偶数有什么特征，偶数集如何表示？
提示：偶数的特征：x＝2k，k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
[新知生成]　一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
【教用·微提醒】　(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．
(2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．
(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．
(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．
[典例讲评]　【链接教材P4例2】
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合；
(2)大于2小于7的整数；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．
[解]　(1)方程－2x2＋x＝0的解组成的集合可表示为{x|－2x2＋x＝0}．
(2)用描述法表示为{x∈Z|2(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
【教材原题·P4例2】
例2　试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．
[解]　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0．
因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[学以致用]　2．下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[解]　(1)不是．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，
即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值组成的集合；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以B＝{y|y≥1}，
可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值组成的集合；
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，
可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合．
【教用·备选题】　中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”
请将此三女前三次相会经过的天数组成的集合分别用列举法表示，并将此三女相会经过的天数组成的集合用描述法表示．
[解]　因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}．
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为．
探究3　集合表示方法的综合应用
[典例讲评]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
[解]　当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
故当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的根为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素．
[母题探究]　在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解]　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1．
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1．
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
　若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
[学以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
[解]　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，解得x＝，符合题意．
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≥0，得m≤，
即当m≤且m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意．
由①②知，m的取值范围为m≤．
1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　)
A．{0，1，2，3，4} 　 B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} 　 D．{1，2，3，4，5}
B　[由题意可得x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4，即用列举法可表示为{1，2，3，4}．故选B．]
2．若P＝{(1，1)，(1，2)}，则集合P中元素的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[集合P中元素为(1，1)，(1，2)，共2个．
故选B．]
3．集合{1，，，2，，…}用描述法可表示为(　　)
A．{x|x≥1} 　 B．{x|x≤}
C．{x|x＝} 　 D．{x|x＝，n∈N*}
D　[{1，，，2，，…}中的元素满足，所以{1，，，2，，…}＝{x|x＝，n∈N*}，故选D．]
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
1．知识链：
2．方法链：分类讨论．
3．警示牌：(1)列举法与描述法的乱用．
(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列举法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1图象上的点(x，y)组成的集合．
课时分层作业(二)　集合的表示
一、选择题
1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
C　[因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)，所以用描述法表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．故选C．]
2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为(　　)
A．{x＝－1，x＝5}
B．{x|x＝－1或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0}
D．{－1，5}
D　[根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．]
3．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为(　　)
A．{x|x＝8k，k∈N}
B．{x|x＝8k＋8，k∈N}
C．{1，2，4}
D．{1，2，4，8}
B　[能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此排除C，D；利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合，由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故排除A；选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确，故选B．]
4．下列集合表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
B　[选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．]
5．(多选)方程组的解集可表示为(　　)
A．
B．
C．(2，1)
D．{(2，1)}
ABD　[由得故结合选项可知ABD均正确．]
二、填空题
6．若集合A＝{x|ax－4＞0}，且－3 A，2∈A，则a的取值范围为________．
{a|a＞2}　[因为－3 A，2∈A，所以
解得a＞2，所以a的取值范围为{a|a＞2}．]
7．若集合{x|x2＋ax＝0}与集合{0，1}相等，则实数a的值为________．
－1　[由题意，x2＋ax＝0的根为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a，所以a＝－1．]
8．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B中所含的元素个数为________．
10　[因为A＝{2，4，6，8，10}，
B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，
可得满足集合B的元素为(2，4)，(2，6)，(2，8)，(4，2)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(8，2)，(2，2)，(4，4)，共10个．]
三、解答题
9．【链接教材P6习题1.1T4】
用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解集．
[解]　(1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1，2，3，4，5，6}．
(5)解集用描述法表示为
解集用列举法表示为{(2，－1)}．
【教材原题·P6习题1.1T4】用适当的方法表示下列集合：
(1)二次函数y＝x2－4的函数值组成的集合；
(2)反比例函数y＝的自变量的取值组成的集合；
(3)不等式3x≥4－2x的解集．
[解]　(1)二次函数y＝x2－4的函数值为y，
∴二次函数y＝x2－4的函数值y组成的集合为{y|y＝x2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}．
(2)反比例函数y＝的自变量为x，
∴反比例函数y＝x≠0}．
(3)由3x≥4－2x，得x≥，∴不等式3x≥4－2x的解集为．
10．(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝(　　)
A．{1} 　 B．{2}
C．{1，2} 　 D．{1，2，3}
A　[∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，
∴M＝{1}．故选A．]
11．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为(　　)
A．0 　 B．1
C．0或1 　 D．2
C　[集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1．所以实数k的值为0或1．]
[点评]　对于最高次项系数含参数的方程求解时应注意其系数是否为0．
12．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是(　　)
A．－ 　 B．
C．{－1} 　 D．
D　[∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}，
∴或
解得a＝－．
故由a的值构成的集合是．]
[易错提醒]　解答完此类问题后，务必验证集合中元素的互异性．
13．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．
不是　(答案不唯一)　[由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A，若集合中有三个元素，故必有a＝，即a＝±1，故可取的集合有等．]
14．设集合B＝．
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B．
[解]　(1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时， N，
所以1∈B，2 B．
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}．
15．设集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S．
(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)若集合S中只有一个元素，则只需满足x＝10－x，故x＝5，则S＝{5}；
若集合S中有两个元素，则S＝{1，9}符合条件；(答案不唯一)
若集合S中有三个元素，则S＝{1，5，9}符合条件．(答案不唯一)
(2)由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了，
因为5＋5＝10，5＝5，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出(也可以在6，7，8，9中选出)，
选法有1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4，四种，
所以一共有四个：S＝{1，2，3，7，8，9}或S＝{1，2，4，6，8，9}或S＝{1，3，4，6，7，9}或S＝{2，3，4，6，7，8}．
[点评]　求解此题的关键是理解两条性质，其中若x∈S，则10－x∈S是解题的切入点．
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