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1.2　集合间的基本关系
[学习目标]　1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学运算) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)
探究1　子集
问题1　我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面四个例子，你能发现它们之间的关系吗？
(1)A＝{1，2}，B＝{0，1，2，4，5}；
(2)C为我们班全体男生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合；
(3)E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}；
(4)G＝{1，2，3}，H＝{3，4，5，6}．
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____________________________________________________________________问题2　集合A，B的关系能不能用图直观形象地表示出来？
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____________________________________________________________________问题3　与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
1．Venn图：用平面上封闭曲线的____代表集合，这种图称为Venn图．
2．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
记法与读法 记作____(或B A)，读作“________”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即____； (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则____
3．一般地，如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作____．
也就是说，若____，且____，则A＝B．
[典例讲评]　【链接教材P8例2】
1．(源自苏教版教材)判断下列各组集合中，A是否为B的子集．
(1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
(2)A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　)
A．A B C　 B．B A C
C．C A B 　 D．A＝B C
(2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________．
探究2　真子集
问题4　对于问题1中的集合A，B，B A？类比实数a____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________问题5　集合A＝{x|x2＋1＝0}中有多少个元素？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
1．真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且____，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作____(或B__A)，读作“__________”(或“B真包含A”)
图示
2．空集
(1)定义：不含____元素的集合叫做空集，记为__．
(2)规定：____是任何集合的子集．
[典例讲评]　【链接教材P8例1】
2．填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则
(1)A的子集有__个．
(2)A的非空子集有_____个．
(3)A的真子集有_____个．
(4)A的非空真子集有_____个．
[学以致用]　2．已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
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____________________________________________________________________ 探究3　由集合间的包含关系求参数
[典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，非空集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B A，求实数m的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________ [母题探究]　若本例条件“A＝{x|－1≤x≤6}”改为“A＝{x|－1____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，特别注意验证端点值．
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．
[学以致用]　【链接教材P9习题1.2T5】
3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B A，则实数m的值是(　　)
A．－2 　 B．2
C．2或－2 　 D．2或－2或0
(2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}，N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N M，求实数a的取值范围．
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1．(多选)(教材P8练习T2改编)以下四个选项中，正确的为 (　　)
A．{1}∈{0，1，2}
B．{1，－3}＝{－3，1}
C．{0，1，2} {1，0，2}
D． ∈{0}
2． (教材P9练习T3改编)如果集合S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则(　　)
A．S T 　 B．T S
C．S＝T 　 D．S T
3．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集的个数为(　　)
A．5 　 B．6
C．7 　 D．8
4．设A＝{x|－1a}，若A?B，则a的取值范围是________．
1．知识链：
2．方法链：观察法、数形结合、分类讨论．
3．警示牌：在由集合间的包含关系求参数时，容易遗忘空集，借助数轴解题时，容易遗漏端点的取值．
1 / 11.2　集合间的基本关系
[学习目标]　1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学运算) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？
问题2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
问题3．空集是什么样的集合？空集和其他集合之间具有什么关系？
探究1　子集
问题1　我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面四个例子，你能发现它们之间的关系吗？
(1)A＝{1，2}，B＝{0，1，2，4，5}；
(2)C为我们班全体男生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合；
(3)E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}；
(4)G＝{1，2，3}，H＝{3，4，5，6}．
提示：(1)1∈A且1∈B，2∈A且2∈B，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素．我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．
(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C．
(3)集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E．
(4)集合G，H不具备包含关系．
问题2　集合A，B的关系能不能用图直观形象地表示出来？
提示：能．
问题3　与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
提示：若A B，且B A，则A＝B．
[新知生成]
1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
2．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
记法与读法 记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A； (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C
3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．
也就是说，若A B，且B A，则A＝B．
【教用·微提醒】　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B．
(2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“ ”用于表示集合与集合之间的关系．
[典例讲评]　【链接教材P8例2】
1．(源自苏教版教材)判断下列各组集合中，A是否为B的子集．
(1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
(2)A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．
[解]　(1)因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集．
(2)因为1∈A，但1 B，所以A不是B的子集．
【教材原题·P8例2】
例2　判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
[解]　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　)
A．A B C　 B．B A C
C．C A B 　 D．A＝B C
(2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________．
(1)B　(2)P＝Q　[(1)集合A，B，C的关系如图．
(2)由于P＝{x|x＝2(n＋1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以P＝Q．]
探究2　真子集
问题4　对于问题1中的集合A，B，B A？类比实数a提示：不是．A?B．
问题5　集合A＝{x|x2＋1＝0}中有多少个元素？
提示：集合A中没有元素．
[新知生成]
1．真子集
馗
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
2．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ．
(2)规定：空集是任何集合的子集．
【教用·微提醒】　(1)A?B首先要满足A B，其次至少有一个元素x∈B，但x A．
(2) 与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合， ?{0}；更不能把 写作{ }．
[典例讲评]　【链接教材P8例1】
2．填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]　
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2．
【教材原题·P8例1】
例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
[解]　集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．
真子集为 ，{a}，{b}．
　与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则
(1)A的子集有2n个．
(2)A的非空子集有2n－1个．
(3)A的真子集有2n－1个．
(4)A的非空真子集有2n－2个．
[学以致用]　2．已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
[解]　由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
探究3　由集合间的包含关系求参数
[典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，非空集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B A，求实数m的取值范围．
[解]　因为B≠ ，且B A，如图所示．
则解得0≤m≤．
所以实数m的取值范围是．
[母题探究]　若本例条件“A＝{x|－1≤x≤6}”改为“A＝{x|－1[解]　因为B≠ ，且B A，如图所示．
所以
解得
即0＜m<，
所以m的取值范围是．
【教用·备选题】　已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的取值集合M．
[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B?A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ ．
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝．
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－．
当B＝ 时，m＝0．
综上所述，m的取值集合M＝．
　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，特别注意验证端点值．
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．
[学以致用]　【链接教材P9习题1.2T5】
3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B A，则实数m的值是(　　)
A．－2 　 B．2
C．2或－2 　 D．2或－2或0
(2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}，N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N M，求实数a的取值范围．
(1)D　[当B＝ 时，可得m＝0，符合题意，
当B＝{－1}时，m＝－2，
当B＝{1}时，m＝2，
综上，m的值为2或－2或0．故选D．]
(2)[解]　因为a因此N M时，应满足解得－3≤a≤4．
所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤4}．
【教材原题·P9习题1.2T5】
(1)设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，求a－b的值；
(2)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由于P＝Q，所以a＝－1，且－b＝1，∴a－b＝0．
(2)∵A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且B A，
如图所示．
∴a≥2．
1．(多选)(教材P8练习T2改编)以下四个选项中，正确的为 (　　)
A．{1}∈{0，1，2}
B．{1，－3}＝{－3，1}
C．{0，1，2} {1，0，2}
D． ∈{0}
BC　[A应是{1} {0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是其本身的子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C正确；D应是 {0}．]
2． (教材P9练习T3改编)如果集合S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则(　　)
A．S T 　 B．T S
C．S＝T 　 D．S T
A　[S＝{x|x＝3n＋1，n∈N}，T＝{x|x＝3k－2，k∈＋1，k∈Z}，
故S T．故选A．]
3．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集的个数为(　　)
A．5 　 B．6
C．7 　 D．8
C　[集合N的真子集有： ，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个．]
4．设A＝{x|－1a}，若A?B，则a的取值范围是________．
a≤－1　[集合A，B在数轴上表示如图，由A?B可求得a≤－1．
]
1．知识链：
2．方法链：观察法、数形结合、分类讨论．
3．警示牌：在由集合间的包含关系求参数时，容易遗忘空集，借助数轴解题时，容易遗漏端点的取值．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
[提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示]　(1) A，(2) ?A(A≠ )．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．
课时分层作业(三)　集合间的基本关系
一、选择题
1．下列集合表示空集的是(　　)
A．{x∈R|x2＋x＋1＝0} 　 B．{ }
C．{0} 　 D．0
A　[对于A，因为方程x2＋x＋1＝0无实数根，所以{x∈R|x2＋x＋1＝0}＝ ，故A正确；
对于B，集合{ }是含有一个元素 的集合，故B错误；
对于C，集合{0}是含有一个元素0的集合，故C错误；
对于D，0不是一个集合，故D错误．故选A．]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．]
3．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 　 B．1
C． 　 D．－1
B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B，所以a＝1．故选B．]
4．下列命题中正确的是(　　)
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若x A，则x B
D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．]
5．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　)
A．0 　 B．
C．1 　 D．2
BD　[∵集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
∴或
解得或
∴m＋n＝或m＋n＝2．故选BD．]
二、填空题
6．设A＝{x|1{a|a≥2}　[如图，因为A?B，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．
]
7．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{2，3}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A ________B；
(2)A________C；
(3){2} ________C；
(4)2 ________C．
(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈　[集合A为方程x2－5x＋6＝0的解集，即A＝{2，3}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C．]
8．已知集合A＝{x∈N|－26　[因为A＝{x∈N|－2三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a组成的集合C．
[解]　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B?A．
(2)当a＝0时，由题意知B＝ ，又A＝{3，5}，故B A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B A，
此时＝3或＝5，则有a＝或a＝．
所以C＝．
[点评]　关于x的方程ax－1＝0未必有解．故集合B有可能为 ．
10．已知集合M＝，N＝，则(　　)
A．M＝N
B．M N
C．M N
D．M与N的关系不确定
B　[∵N＝，且M＝，k＋2是整数，2k＋1是奇数，
∴M N，故选B．]
11．已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．6
C　[集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3．故选C．]
12．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为(　　)
A．3 　 B．4　
C．15　 　 D．16
C　[由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，集合中有4个元素，则集合M的真子集有24－1＝15个．故选C．]
13．已知集合M＝{x|(m－1)x2＋4x＋1＝0}有且只有两个子集，则m的值为________．
1或5　[因为集合M＝{x|(m－1)x2＋4x＋1＝0}有且只有两个子集，则集合M只有一个元素，所以，关于x的方程(m－1)x2＋4x＋1＝0只有一个实根，当m－1＝0，即当m＝1时，方程为4x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；当m－1≠0，即当m≠1时，则有Δ＝16－4(m－1)＝20－4m＝0，解得m＝5．综上所述，m的值为1或5．]
14．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围．
[解]　(1)若A?B，由图可知a>2，
即a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B A，由图可知1≤a≤2，
即a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
15．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
[解]　①当2a>a＋3，即a>3时，B＝ ，显然满足题意；
②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围是{a|a<－4或a>2}．
[点评]　由于集合B受参数a取值的影响，存在B＝ 的可能，故在解决B A问题时，勿忽视B＝ 这种情况．
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