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第2课时　补集
[学习目标]　1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算)
探究1　全集与补集
问题1　方程(x－1)(x2－2)＝0在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________．
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____________________________________________________________________问题2　如果把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作_．
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中___________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作____
符号语言 UA＝___________________
图形语言
性质 (1) UA U． (2) UU＝ ， U ＝U． (3) U( UA)＝A． (4)A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝
[典例讲评]　【链接教材P13例5】
1．(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，求 UA， UB．
(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地表示全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
[学以致用]　1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求 SA．
(1)S＝R；
(2)S＝{x|x≤2}；
(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
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探究2　与补集有关的参数值(范围)的求解
[典例讲评]　2．(1)设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}， UA＝{a}，则实数a的值为(　　)
A．0　　 B．－1
C．2　　 D．0或2
(2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________　由集合的补集求解参数的方法
(1)定义法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
[学以致用]　2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}， UM＝{5，7}，则实数a的值是________ ．
探究3　集合交、并、补集的综合运算
[典例讲评]　【链接教材P13例6】
3．(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求：
(1) R(A∩B)；
(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；
(4)( RA)∪( RB)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________　 R(A∪B)与( RA)∩( RB)及 R(A∩B)与( RA)∪( RB)的关系：
(1) R(A∪B)＝__________________．
(2) R(A∩B)＝__________________．
[学以致用]　【链接教材P13练习T3】
3．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，求集合A，B．
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1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则 AB等于(　　)
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合 UM＝(　　)
A．{x|－23}
C．{x|－2≤x≤3} 　 D．{x|x≤2，或x≥3}
3．已知全集U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________．
4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：解决含参数的集合运算时要注意空集及端点．
1 / 1第2课时　补集
[学习目标]　1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．全集的含义是什么？
问题2．补集的含义是什么？
问题3．如何用Venn图表示 UA？
探究1　全集与补集
问题1　方程(x－1)(x2－2)＝0在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________．
提示：{1}；{1，，－}．
问题2　如果把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
提示：集合U是研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U．其中集合A与集合B是一种“互补”的关系．
[新知生成]
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U．
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
性质 (1) UA U． (2) UU＝ ， U ＝U． (3) U( UA)＝A． (4)A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝
【教用·微提醒】
1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z．
2． UA包含三层含义：
(1)A U．
(2) UA是一个集合，且 UA U．
(3) UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
[典例讲评]　【链接教材P13例5】
1．(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，求 UA， UB．
(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3[解]　(1)根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以 UA＝{0，1，5，6}， UB＝{0，2，3，4}．
(2)由题意得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
【教材原题·P13例5】
例5　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB．
[解]　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{4，5，6，7，8}，
UB＝{1，2，7，8}．
　求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地表示全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
[学以致用]　1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求 SA．
(1)S＝R；
(2)S＝{x|x≤2}；
(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
[解]　(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|x<－1，或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}．
探究2　与补集有关的参数值(范围)的求解
[典例讲评]　2．(1)设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}， UA＝{a}，则实数a的值为(　　)
A．0　　 B．－1
C．2　　 D．0或2
(2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2(1)A　[由集合A＝{4，a＋2}，知a＋2≠4，即a≠2，而 UA＝{a}，全集U＝{2，4，a2}，因此解得a＝0，经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0．故选A．]
(2)[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，
即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
　由集合的补集求解参数的方法
(1)定义法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
[学以致用]　2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}， UM＝{5，7}，则实数a的值是________ ．
8或2　[因为U＝{1，3，5，7}， UM＝{5，7}，所以M＝{1，3}，又M＝{1，|a－5|}，所以|a－5|＝3，所以a＝8或2．]
探究3　集合交、并、补集的综合运算
[典例讲评]　【链接教材P13例6】
3．(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求：
(1) R(A∩B)；
(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；
(4)( RA)∪( RB)．
[解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(如图①)，
①
则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3所以 R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}．
(2)由图①可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以 R(A∪B)＝ ．
(3)在数轴上表示出集合 RA， RB(如图②)，
②
即 RA＝{x|x≥5}， RB＝{x|x≤3}，
所以( RA)∩( RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝ ．
(4)由图②可知，( RA)∪( RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}．
【教材原题·P13例6】
例6　设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B)．
[解]　根据三角形的分类可知
A∩B＝ ，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
　 R(A∪B)与( RA)∩( RB)及 R(A∩B)与( RA)∪( RB)的关系：
(1) R(A∪B)＝( RA)∩( RB)．
(2) R(A∩B)＝( RA)∪( RB)．
[学以致用]　【链接教材P13练习T3】
3．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，求集合A，B．
[解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．
由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}．
法二(定义法)：( UB)∩A＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，∴ UB＝{1，4，6，7，9}．
又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴B＝{2，3，5，8}．
∵( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1，3，9}．
【教材原题·P13练习T3】图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
(1)( UA)∩( UB)；
(2)( UA)∪( UB)．
[解]　如图阴影部分所示．
1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则 AB等于(　　)
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
B　[由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则 AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．]
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合 UM＝(　　)
A．{x|－23}
C．{x|－2≤x≤3} 　 D．{x|x≤2，或x≥3}
B　[因为全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，所以 UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B．]
3．已知全集U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________．
4　[由题意得a2－2a－3＝5，即(a－4)(a＋2)＝0，解得a＝4或a＝－2，当a＝－2时，|a－7|＝|－2－7|＝9，即A＝{7，9}，不符合题意，舍去，则a＝4．]
4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于________．
2　[由题意，知得a＝2．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：解决含参数的集合运算时要注意空集及端点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．集合 AB的含义是什么？
[提示]　 AB＝{x|x∈A，且x B}．
2．同一集合在不同全集下的补集相同吗？
[提示]　不同．
3． UA，A及U之间存在怎样的关系？
[提示]　(1) UA U，A U；
(2)( UA)∪A＝U；
(3)( UA)∩A＝ ．
课时分层作业(五)　补集
一、选择题
1．集合A＝{－2，－1，0，1，2}， AB＝{－1，0，2}，则B＝(　　)
A．{－2} 　 B．{1}
C．{－2，1} 　 D．{－2，0，2}
C　[由题知A＝{－2，－1，0，1，2}， AB＝{－1，0，2}，
所以B＝ A( AB)＝{－2，1}．故选C．]
2．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{－1，0，1}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{－2，3} 　 B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} 　 D．{－2，－1，0，2，3}
A　[集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{－1，0，1}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}，则 U(A∪B)＝{－2，3}．故选A．]
3．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝(　　)
A．1　 　 B．2　
C．3　 　 D．4
B　[由集合U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，且 UA＝{x|2≤x≤5}，可得a＝2．故选B．]
4．设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若 UA＝{2，3}，则m的值等于(　　)
A．4 　 B．6
C．4或6 　 D．不存在
A　[由全集U＝{1，2，3，4}， UA＝{2，3}，得A＝{1，4}，
即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两个根，于是解得m＝4，
所以m的值等于4．故选A．]
5．(多选)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N|x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{0，2，4} 　 B． U(A∩B)
C．A∩( UB) 　 D．( UA)∩( UB)
AC　[由A＝{x∈N|x＜5}可得A＝{0，1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}，故 A(A∩B)＝{0，2，4}，故A正确； U(A∩B)＝{0，2，4，5，6，7}，故B错误；A∩( UB)＝{0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6}＝{0，2，4}，故C正确；( UA)∩( UB)＝{5，6，7}∩{0，2，4，6}＝{6}，故D错误．故选AC．]
二、填空题
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，试写出一个符合要求的集合B＝________．
{2}(答案不唯一)　[U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，则{3，4，5} UB U，∴B＝{1}或{2}或{1，2}或 ．]
7．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．
{2，3，5，7}　[法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．
由Venn图可知B＝{2，3，5，7}．]
8．设U＝R，A＝{x|a≤x4　8　[因为A＝{x|a≤x三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[解]　将U，A，B在数轴上表示，如图所示，
∵A＝{x|－2B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，
∴ UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2 U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}， UA＝{2，4}， UB＝{3，4}，则(　　)
A．1∈A，1 B 　 B．2∈A，2∈B
C．3∈A，3 B 　 D．5 A，5∈B
C　[因为U＝{1，2，3，4，5}， UA＝{2，4}，
所以A＝{1，3，5}．
又 UB＝{3，4}，所以B＝{1，2，5}．
所以3∈A，3 B．故选C．]
11．(多选)已知U＝R，集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|x＜1}，则下列正确的是(　　)
A．若B∪( UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a＜1}
B．若B∪( UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a≤1}
C．若B∩( UA)＝ ，则实数a的取值范围是{a|a＞1}
D．若B∩( UA)＝ ，则实数a的取值范围是{a|a≥1}
AD　[∵U＝R，集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|x＜1}，∴ UA＝{x|x＞a}，
若B∪( UA)＝R，则实数a的取值范围是{a|a＜1}；
若B∩( UA)＝ ，则实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选AD．]
12．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) 　 B．N∪ UM
C． U(M∩N) 　 D．M∪ UN
A　[由题意M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，
∴ U(M∪N)＝{x|x≥2}．故选A．]
13．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩( UN)＝{3，5}，( UM)∩N＝{7，19}，( UM)∩( UN)＝{2，17}，则M＝________，N＝________．
{3，5，11，13}　{7，11，13，19}　[法一：U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．
法二：因为M∩( UN)＝{3，5}，
所以3∈M，5∈M且3 N，5 N．
又因为( UM)∩N＝{7，19}，
所以7∈N，19∈N且7 M，19 M．
又因为( UM)∩( UN)＝{2，17}，
所以 U(M∪N)＝{2，17}，
所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．]
14．已知集合A＝{x|a(1)若a＝1，求A∪B；
(2)在①A∩B＝ ，②( RB)∩A＝ ，③B∪( RA)＝R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，A＝{x|1B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|0≤x≤2}．
(2)若选①A∩B＝ ，则a＋1≤0或a≥2，
解得a≤－1或a≥2．
若选②( RB)∩A＝ ， RB＝{x|x<0，或x>2}，
所以解得0≤a≤1．
若选③B∪( RA)＝R， RA＝{x|x≤a，或x≥a＋1}，
所以解得0≤a≤1．
15．我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}．
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，那么A与B之间具有怎样的关系？
[解]　(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}， UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}．
(2)阴影部分如图所示．
(3)若A－B＝ ，则A B．
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