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第2课时　函数的概念(二)
[学习目标]　1．会判断两个函数是否为同一个函数．(数学抽象) 2．能正确使用区间表示数集．(数学运算) 3．会求一些简单函数的定义域与函数值．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用区间表示数集？
问题2．同一个函数的定义是什么？
问题3．求函数的定义域需要注意哪些问题？
探究1　区间的概念
[新知生成]
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
【教用·微提醒】　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．
[典例讲评]　1．把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；
(3){x|－1[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|－2　用区间表示数集的关键点
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
[学以致用]　1．(1)集合{x|0(2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________．
(1)(0，1)∪[2，4]　(2)(－3，2)　[(1){x|0(2)由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，
解得－3所以实数a的取值范围是(－3，2)．]
探究2　求函数的定义域与函数值
[典例讲评]　【链接教材P65例2】
2．已知函数f (x)＝－．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－1)，f (12)的值；
(3)当a>3时，求f (a)，f (a－1)的值．
[解]　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
所以x≥－4且x≠1，
即函数f (x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)．
(2)f (－1)＝－＝－3－．
f (12)＝－＝－4＝－．
(3)因为a>3，所以f (a)，f (a－1)有意义，
f (a)＝－；
f (a－1)＝－．
【教用·备选题】　(源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式：
(1)f (2)＋g(3)；
(2)f (a2)－g(a)；
(3)f ( f ( f (0)))．
[解]　(1)f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12．
(2)f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1．
(3)因为f (0)＝0＋1＝1，
所以f ( f (0))＝f (1)＝1＋1＝2，
从而f ( f ( f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3．
【教材原题·P65例2】
　例2　已知函数f (x)＝＋，
(1)求函数的定义域；
(2)求f (－3)，f 的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值．
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f (x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．
[解]　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是
{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}，
即[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)将－3与代入解析式，有
f (－3)＝＋＝－1；
f ＝＋＝＋＝．
(3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义．
f (a)＝＋；
f (a－1)＝＋＝＋．
　1．求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
2．函数求值的方法
(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．
(2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则．
[学以致用]　【链接教材P67练习T1、T2】
2．已知函数f (x)＝．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f ( f (0))的值．
[解]　(1)由题意可得 x>－1且x≠2，
所以函数f (x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)．
(2)f ( f (0))＝f (3)＝＝1－＝－．
【教用·备选题】　1．(1)函数y＝f (x)的定义域是[－1，3]，则y＝f (2x＋1)的定义域为________．
(2)若函数y＝f (3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f (x)的定义域是(　　)
A．[－1，1]　　　　　　　 　 B．[－5，13]
C．[－5，1] 　 D．[－1，13]
(1)[－1，1]　(2)B　[(1)令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，
所以y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，1]．
(2)由题意知，－2≤x≤4，
所以－5≤3x＋1≤13，
所以y＝f (x)的定义域是[－5，13]．故选B．]
2．已知函数f (x)＝．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－1)的值．
[解]　(1)f (x)的定义域满足
故得－4≤x<1且x≠－2，
故函数f (x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，1)．
(2)f (－1)＝．
1．【教材原题·P67练习T1】求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝＋－1．
[解]　(1)由4x＋7≠0，得x≠－，
∴函数的定义域为．
(2)由1－x≥0，且x＋3≥0，得－3≤x≤1，
∴函数的定义域为[－3，1]．
2．【教材原题·P67练习T2】已知函数f (x)＝3x3＋2x．
(1)求f (2)，f (－2)，f (2)＋f (－2)的值；
(2)求f (a)，f (－a)，f (a)＋f (－a)的值．
[解]　(1)f (2)＝28，f (－2)＝－28，f (2)＋f (－2)＝0．
(2)f (a)＝3a3＋2a，f (－a)＝－(3a3＋2a)，f (a)＋f (－a)＝0．
探究3　同一个函数
问题1　构成函数的要素有哪些？
提示：定义域、对应关系和值域．
问题2　函数y＝x与y＝|x|是同一个函数吗？
提示：不是同一个函数，对应关系与值域分别不同．
[新知生成]
　如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
【教用·微提醒】　(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数；
(2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f 3(x)＝x2，x∈[0，2]和f 4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数．
[典例讲评]　【链接教材P66例3】
3．下列各组函数：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝·，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填序号)
③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同，
f (x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R．
②不是同一个函数，对应关系不同，
f (x)＝，g(x)＝．
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，对应关系，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R．
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．]
【教材原题·P66例3】
例3　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
(1)y＝()2；(2)u＝；
(3)y＝；(4)m＝．
[解]　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．
(2)u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数．
(3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．
(4)m＝＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．
　判断两个函数是否为同一个函数的步骤
[学以致用]　【链接教材P67练习T3】
3．(多选)下列各组函数中，是同一个函数的有(　　)
A．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋2
B．f (x)＝|x|，g(x)＝
C．f (x)＝x2，g(x)＝
D．f (x)＝x2，g(t)＝t2
BD　[对于A，两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于B，两函数的定义域相同都为R，其次＝|x|，所以是同一个函数；对于C，函数f (x)＝x2的定义域为R，而函数g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，所以不是同一个函数；对于D，两函数的定义域相同，都为R，且对应关系相同，所以是同一个函数．故选BD．]
【教材原题·P67练习T3】判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；
(2)f (x)＝1和g(x)＝x0．
[解]　(1)不是同一个函数，前者的定义域为[0，26]，而后者的定义域为R．
(2)不是同一个函数，前者的定义域为R，而后者的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
1．若f (x)＝，则f (3)＝(　　)
A．2 　 B．4
C．2 　 D．10
A　[因为f (x)＝，所以f (3)＝＝2．]
2．下列叙述正确的是(　　)
A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，＋∞)
B．{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2)
C．(－∞，3]用集合可表示为{x|x＜3}
D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}
D　[对于A，{x|x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，错误；对于B，{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，错误；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，正确．故选D．]
3．(教材P72习题3.1T2改编)下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故ACD错误．故选B．]
4．函数f (x)＝的定义域是________．(用区间表示)
[－2，2)∪(2，＋∞)　[x应满足
即x≥－2，且x≠2．所以函数f (x)＝的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞)．]
1．知识链：
2．方法链：整体代换．
3．警示牌：求函数的定义域时，易思考不全面．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．区间[a，b]中a，b满足什么条件？
[提示]　区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a2．如何判断两个函数是不是同一个函数？
[提示]　判定两个函数是不是同一个函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一个函数．
课时分层作业(十七)　函数的概念(二)
一、选择题
1．已知函数f (x)＝，则f ＝(　　)
A．0 　 B．
C．a 　 D．3a
D　[函数f (x)＝，所以f ＝＝3a．故选D．]
2．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．
B．[1，＋∞)
C．∪(1，＋∞)
D．∪(1，＋∞)
D　[函数f (x)＝的定义域满足：解得x≥且x≠1．故选D．]
3．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 024的公共点有(　　)
A．0个 　 B．1个
C．0个或1个 　 D．以上答案都不对
[答案]　C
4．设函数f (x)＝，则当f (x)＝2时，x的取值为(　　)
A．－4 　 B．4
C．－10 　 D．10
C　[令＝2，则x＝－10．]
5．下列函数与f (x)＝是同一个函数的是(　　)
A．g(x)＝x B．g(x)＝
C．g(x)＝ D．g(x)＝x0·
D　[函数f (x)＝＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝x 的定义域为R，两函数定义域不同，A不符合；
g(x)＝＝|x|，两函数解析式不同，B不符合；
g(x)＝＝x，其定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，C不符合；
g(x)＝x0·＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数是同一个函数，D符合．故选D．]
二、填空题
6．请写出一个定义域和值域都为[0，1]的函数(要注明定义域)________．
[答案]　y＝x，x∈[0，1]或y＝x2，x∈[0，1](答案不唯一)．
7．若区间[a＋1，2a－1]满足[a＋1，2a－1] [－2，5]，则实数a的取值范围为________．
(2，3]　[根据题意可知解得2＜a≤3，即实数a的取值范围为(2，3]．]
8．已知g(x)＝1－2x，f (g(x))＝(x≠0)，则f ＝________．
15　[令g(x)＝，即1－2x＝，则x＝，
代入f (g(x))＝(x≠0)，可得f ＝＝15．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝＋．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－2)，f (6)；
(3)已知f (2a＋1)＝＋3，求a的值．
[解]　(1)由解析式知可得x≥－3且x≠1，
故函数f (x)的定义域为[－3，1)∪(1，＋∞)．
(2)f (－2)＝＋＝－＋1＝－，
f (6)＝＋＝＋3＝．
(3)由f (2a＋1)＝＋＝＋＝＋3，则＝3，
所以2a＋4＝9，即a＝，显然2a＋1＝6在f (x)定义域内，所以a＝．
10．已知f (x)＝ax5＋1，且f (－2)＝10，则f (2)＝(　　)
A．－8 　 B．10
C．－9 　 D．11
A　[因为f (x)＝ax5＋1，且f (－2)＝10，
所以a·(－2)5＋1＝10，得a＝－，
所以f (x)＝－x5＋1，
所以f (2)＝－×25＋1＝－9＋1＝－8．故选A．]
11．已知函数f (x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f ＋f (x－2)的定义域为(　　)
A．(0，2) 　 B．(1，2)
C．(2，3) 　 D．(－1，1)
B　[由题意知
解得112．(多选)若函数f (x)与g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f (x)和g(x)是同族函数．已知函数f (x)＝x2，x∈，则下列函数中与f (x)是同族函数的有(　　)
A．g(x)＝x2，x∈[－1，0]
B．g(x)＝x2，x∈[－1，1]
C．g(x)＝，x∈(0，1]
D．g(x)＝x＋1，x∈[0，1]
AB　[ f (x)＝x2，x∈，则f (x)∈．
对于A，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故A正确；
对于B，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故B正确；
对于C，g(x)＝，x∈(0，1]，则g(x)∈[1，＋∞)，不满足同族函数的定义，故C错误；
对于D，g(x)＝x＋1，x∈，则g(x)∈，不满足同族函数的定义，故D错误．故选AB．]
13．已知函数f (x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域是________．
∪(－1，1]　[依题意
∴－≤x≤1且x≠－1，
故函数y＝的定义域是∪(－1，1]．]
[点评]　抽象函数的定义域
(1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域，则g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．
14．(教材P100复习参考题3T2、T3改编)设f (x)＝，求证：
(1)f (－x)＝(x≠±1)；
(2)f ＝－f (x)(x≠－1，且x≠0)．
[证明]　(1)∵f (x)＝(x≠±1)，
∴f (－x)＝＝＝(x≠±1)．
(2)∵f (x)＝(x≠－1，且x≠0)，
∴f ＝＝＝＝－f (x)(x≠－1，且x≠0)．
15．已知函数f (x)对任意实数x，y都有f (xy)＝f (x)＋f (y)成立．
(1)求f (0)和f (1)的值；
(2)若f (2)＝a，f (3)＝b(a，b均为常数)，求f (36)的值．
[解]　(1)令x＝y＝0，则f (0)＝2f (0)，
∴f (0)＝0，
令x＝y＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0．
(2)令x＝2，y＝3，则f (6)＝f (2)＋f (3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f (36)＝2f (6)＝2(a＋b)，
∴f (36)＝2(a＋b)．
[点评]　对于此类抽象函数求值问题，常用赋值法求解．其中灵活应用题设“f (xy)＝f (x)＋f (y)”是解题关键．
1 / 1第2课时　函数的概念(二)
[学习目标]　1．会判断两个函数是否为同一个函数．(数学抽象) 2．能正确使用区间表示数集．(数学运算) 3．会求一些简单函数的定义域与函数值．(数学运算)
探究1　区间的概念
[新知生成]
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 ______________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
[典例讲评]　1．把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；
(3){x|－1　用区间表示数集的关键点
(1)区间左端点值____右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用__括号，不含端点值的一端用__括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用__括号．
[学以致用]　1．(1)集合{x|0(2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________．
探究2　求函数的定义域与函数值
[典例讲评]　【链接教材P65例2】
2．已知函数f (x)＝－．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－1)，f (12)的值；
(3)当a>3时，求f (a)，f (a－1)的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
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　1．求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
2．函数求值的方法
(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．
(2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则．
[学以致用]　【链接教材P67练习T1、T2】
2．已知函数f (x)＝．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f ( f (0))的值．
____________________________________________________________________
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探究3　同一个函数
问题1　构成函数的要素有哪些？
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问题2　函数y＝x与y＝|x|是同一个函数吗？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[新知生成]
如果两个函数的定义域____，并且对应关系________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[典例讲评]　【链接教材P66例3】
3．下列各组函数：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝·，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填序号)
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
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　判断两个函数是否为同一个函数的步骤
[学以致用]　【链接教材P67练习T3】
3．(多选)下列各组函数中，是同一个函数的有(　　)
A．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋2
B．f (x)＝|x|，g(x)＝
C．f (x)＝x2，g(x)＝
D．f (x)＝x2，g(t)＝t2
[尝试解答]　_________________________________________________________
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1．若f (x)＝，则f (3)＝(　　)
A．2 　 B．4
C．2 　 D．10
2．下列叙述正确的是(　　)
A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，＋∞)
B．{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2)
C．(－∞，3]用集合可表示为{x|x＜3}
D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}
3．(教材P72习题3.1T2改编)下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
4．函数f (x)＝的定义域是________．(用区间表示)
1．知识链：
2．方法链：整体代换．
3．警示牌：求函数的定义域时，易思考不全面．
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