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4.1　指数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
[学习目标]　1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象) 2．能正确运用根式的运算性质化简、求值．(数学运算) 3．会对根式和分数指数幂进行转化．(逻辑推理) 4．掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．n次方根是怎样定义的？
问题2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
问题3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
问题4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
问题5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
探究1　n次方根
问题1　若x2＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？
提示：若x2＝2，则这样的x有两个，它们叫做2的平方根，即为±．
问题2　若x3＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？
提示：若x3＝2，则这样的x有一个，它们叫做2的立方根，即为．
[新知生成]
1．n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3．根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0．
(3)根据n次方根的意义，可得()n＝a．
(4)n为奇数时，＝a．
n为偶数时，
【教用·微提醒】　(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a．
[典例讲评]　【链接教材P105例1】
1．化简：
(1)()5＋()6(b>a)；
(2)－(－3[解]　(1)原式＝a－b＋b－a＝0．
(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．
∴原式＝
[母题探究]　在本例(2)中，若将“－3[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4．
【教材原题·P105例1】
例1　求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
[解]　(1)＝－8；
(2)＝|－10|＝10；
(3)＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|a－b|＝
　根式的化简求值应注意的两点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
[学以致用]　【链接教材P109习题4.1T1】
1．化简：
(1)(a>b)；
(2)()2＋＋．
[解]　(1)∵a>b，∴＝|a－b|＝a－b．
(2)由题意知a－1≥0，即a≥1．
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1．
【教材原题·P109习题4.1T1】求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
[解]　(1)＝100；
(2)＝－0.1；
(3)＝|π－4|＝4－π；
(4)
探究2　分数指数幂
问题3　(1)观察下列各式，你能得出什么结论？
①＝＝22＝；
②＝＝44＝．
(2)类比(1)的规律，，能否表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示：(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
(2)能．＝＝．
[新知生成]
分数指数幂的意义
正分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
【教用·微提醒】　分数指数幂是根式的一种写法，不可理解为个a相乘．
[典例讲评]　2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)(a>0)；(4)(y>0)．
[解]　(1)＝．
(2)＝．
(3)．
(4)＝．
　根式与分数指数幂互化的规律
根指数分数指数的分母；
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
[学以致用]　【链接教材P107练习T1】
2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
；
(2)；
(3)(a>0)；
．
[解]　(1)(a－b．
(2)＝(x－1．
(3)．
(4)(a－b．
【教材原题·P107练习T1】用根式的形式表示下列各式(a＞0)：
；；．
[解]　＝；
；
(3)；
(4)．
探究3　有理数指数幂的运算性质
问题4　当a，b是正数，m，n是正整数时，am·an，(am)n，(ab)m的运算结果分别是什么？m，n推广到有理数，这些性质成立吗？
提示：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＝am·bm．
对于这些性质，可以将m，n推广到有理数．
[新知生成]
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
【教用·微提醒】　有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如4无意义在a<0时不成立．
[典例讲评]　【链接教材P106例2、P107例4】
3．计算下列各式的值：
＋80.25×＋×)6；
(2)2÷(4)·3(式中字母都是正数)．
[解]　(1)原式＝＋22×33＝112．
(2)原式＝
＝
＝．
【教材原题·P106例2、P107例4】
例2　求值：
；
．
[解]　＝22＝4；
．
例4　计算下列各式(式中字母均是正数)：
；
8；
(3)－)÷．
[解]　
＝
＝4ab0
＝4a；
＝m2n-3
＝；
(3)－)÷＝
＝
＝－a
＝－a．
　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质进行运算或化简．
[学以致用]　【链接教材P107练习T3】
3．化简：
＝________；
(2)＝________(a>0，b>0)．
(1)　(2)　[(1)原式＝
＝
＝．
(2)原式＝
＝
＝a-1＝．]
【教材原题·P107练习T3】计算下列各式：
；(2)2×3×；
；．
[解]　；
(2)2×3×＝＝2×32＝18；
；
．
1．已知m10＝2，则m等于(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．±
D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝．故选D．]
2．(多选)(教材P107练习T1改编)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝
B．(x>0)
C．(xy>0)
D．＝
AC　[＝，故A正确；，故B错误；(xy>0)，故C正确；＝，故D错误．故选AC．]
3．计算：(－27＝(　　)
A．－3 　 B．－
C．3 　 D．
D　[(－27＝[(－3)3×(32＝(－3)2×3-3＝9×．故选D．]
4．当x＜0时，x＋＝________．
1　[原式＝x＋＝x－x＋1＝1．]
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：混淆()n和．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值如何表示？
[提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝．
当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±(其中a≥0)．
2．与()n相同吗
[提示]　与()n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a．
3．(a>0，m，n∈N*，n>1)用分数指数幂如何表示
[提示]　(a>0，m，n∈N*，n>1)．
4．有理数指数幂有哪些运算性质
[提示]　(1)asar＝as+r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr．
(其中a>0，b>0，r，s∈Q)
课时分层作业(二十六)　n次方根与分数指数幂
一、选择题
1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[当a<0时，a的偶次方根无意义．]
2．下列等式一定成立的是(　　)
A．　 B．＝0
C．(a3)2＝　 D．
D　[同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故A，B错误；(a3)2＝a6，C错误；同底数幂相除，底数不变，指数相减，故D正确．故选D．]
3．设a＞0，则的分数指数幂形式为(　　)
D　[原式＝＝．故选D．]
4．若nA．2m 　 B．2n
C．－2m 　 D．－2n
C　[原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，
∵n0，
∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m．故选C．]
【教用·备选题】
若a＜－1，则·＝(　　)
A．－(a＋1)5 　 B．(a＋1)5
C．－(a＋1)6 　 D．(a＋1)6
C　[因为a＜－1，所以a＋1＜0，
则·＝·＝－(a＋1)3·(a＋1)3＝－(a＋1)6．故选C．]
5．化简(a＞0，b＞0)的结果为(　　)
A． 　 B．ab
C． 　 D．
A　[．故选A．]
二、填空题
6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
－11或7　[因为81的平方根为±9，所以a＝±9．
又因为－8的立方根为－2，
所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
7．已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
　[∵＝|4a＋1|＝－4a－1，
∴4a＋1≤0，∴a≤－．]
8．若3a2＋2b2＝(a＋b)2，则2 024a＋2 025b＝________．
2　[因为3a2＋2b2＝(a＋b)2，
所以2a2－2ab＋b2＝0，即a2＋(a－b)2＝0，
又a2≥0，(a－b)2≥0，故a＝a－b＝0，即a＝b＝0，
则2 024a＋2 025b＝1＋1＝2．]
三、解答题
9．已知＋＝－a－b，求＋的值．
[解]　因为＝－a－b，
所以＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0．
10．若有意义，则x的取值范围是(　　)
A．R 　 B．
C． 　 D．
D　[将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<．]
11．已知10m＝2，10n＝3，则＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[∵10m＝2，10n＝3，∴．故选D．]
12．化简·的结果为(　　)
　 B．
　 D．
B　[由题意知－a≥0，即a≤0．所以原式＝．]
13．已知2，5，m是某三角形三边的长，则＋＝(　　)
A．2m－10 　 B．10－2m　
C．10 　 D．4
D　[因为2，5，m是某三角形三边的长，所以5－2所以＝m－3＋|m－7|＝m－3＋7－m＝4．
故选D．]
14．求下列各式的值：
(1)；
(2)××；
．
[解]　(1)原式＝
＝．
(2)原式＝
＝
＝3×2＝6．
(3)原式＝
＝
＝0.1-1＋32－
＝10＋9－．
15．比较下列值的大小：
(1)，；
(2)(教材P109习题4.1T3(1)改编)，2-1．
[解]　(1)法一：∵＝，∴．
法二：∵<1，∴．
(2)因为＝，2-1＝，所以>>>－2，
故>2-1>．
1 / 14.1　指数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
[学习目标]　1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象) 2．能正确运用根式的运算性质化简、求值．(数学运算) 3．会对根式和分数指数幂进行转化．(逻辑推理) 4．掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(数学运算)
探究1　n次方根
问题1　若x2＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？
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问题2　若x3＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？
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[新知生成]
1．n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么_叫做 _的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3．根式
式子叫做根式，这里n叫做______，a叫做________．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有____方根．
(2)0的任何次方根都是_，记作＝_．
(3)根据n次方根的意义，可得()n＝_．
(4)n为奇数时，＝_．
n为偶数时，
[典例讲评]　【链接教材P105例1】
1．化简：
(1)()5＋()6(b>a)；
(2)－(－3[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]　在本例(2)中，若将“－3____________________________________________________________________
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　根式的化简求值应注意的两点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
[学以致用]　【链接教材P109习题4.1T1】
1．化简：
(1)(a>b)；
(2)()2＋＋．
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探究2　分数指数幂
问题3　(1)观察下列各式，你能得出什么结论？
①＝＝22＝；
②＝＝44＝．
(2)类比(1)的规律，，能否表示为分数指数幂的形式？如何表示？
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[新知生成]
分数指数幂的意义
正分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂____意义
[典例讲评]　2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)(a>0)；(4)(y>0)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　根式与分数指数幂互化的规律
根指数分数指数的____；
被开方数(式)的指数分数指数的____．
[学以致用]　【链接教材P107练习T1】
2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
；
(2)；
(3)(a>0)；
．
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探究3　有理数指数幂的运算性质
问题4　当a，b是正数，m，n是正整数时，am·an，(am)n，(ab)m的运算结果分别是什么？m，n推广到有理数，这些性质成立吗？
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[新知生成]
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝_____(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝___(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈Q)．
[典例讲评]　【链接教材P106例2、P107例4】
3．计算下列各式的值：
＋80.25×＋×)6；
(2)2÷(4)·3(式中字母都是正数)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
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　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质进行运算或化简．
[学以致用]　【链接教材P107练习T3】
3．化简：
＝________；
(2)＝________(a>0，b>0)．
1．已知m10＝2，则m等于(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．±
2．(多选)(教材P107练习T1改编)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝
B．(x>0)
C．(xy>0)
D．＝
3．计算：(－27＝(　　)
A．－3 　 B．－
C．3 　 D．
4．当x＜0时，x＋＝________．
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：混淆()n和．
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