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4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
[学习目标]　1．通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(数学抽象) 2．掌握实数指数幂的运算性质．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．无理数指数幂的含义是什么？
问题2．如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？
探究1　无理数指数幂的运算
问题　结合课本108页的探究，思考3是不是一个确定的实数，为什么？
提示：3是一个确定的实数．因为当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，3x和3y都趋向于同一个数3，故它是一个确定的实数．
[新知生成]
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)化简下列各式：
(1)；
(2)(－2)4·4π-2．
[解]　(1)＝3·＝32＝9．
(2)(－2)4·4π-2＝42·4π-2＝42+π-2＝4π．
　关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．
[学以致用]　【链接教材P109练习T1】
1．化简下列各式：
(1)；
(2)π4-π·ππ-2．
[解]　(1)(＝57＝78 125．
(2)π4-π·ππ-2＝π(4-π)＋(π-2)＝π2．
【教材原题·P109练习T1】计算下列各式：
(1)；
a－π．
[解]　(1)原式＝＝·＝26m3＝64m3；
(2)原式＝＝a0＝1．
探究2　实际问题中的指数运算
[典例讲评]　2．从盛满2 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
4　[由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令<，验证可得n≥4．
所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．]
　指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
[学以致用]　【链接教材P110习题4.1T9】
2．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率约是________．(下列数据仅供参考：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35)
41%　[设每年比上一年平均增长的百分率为x，原来工资为a(a>0)，由题意可得a(1＋x)6＝8a，即(1＋x)2＝2，解得x＝－1≈1.41－1＝0.41或x＝－－1(舍去)，所以每年比上一年平均增长的百分率约是41%．]
【教材原题·P110习题4.1T9】从盛有1 L纯酒精的容器中倒出 L，然后用水填满；再倒出 L，又用水填满……
(1)连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？
(2)连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？
[解]　(1)倒出1次后纯酒精还剩 L，加满水后浓度为．
倒出2次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为．
倒出3次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为．
倒出4次后纯酒精还剩(L)，加满水后浓度为．
倒出5次后纯酒精还剩(L)．
(2)由(1)知，连续进行了n次，容器中的纯酒精还剩下 L．
探究3　实数指数幂的综合运用
[典例讲评]　3．已知x＋x-1＝7，求值：
(1)x2＋x-2；
；
(3)x2－x-2．
[解]　(1)x＋x-1＝7，两边平方得x2＋2＋x-2＝49，
所以x2＋x-2＝47．
(2)设m＝，两边平方得m2＝x＋x-1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，即＝3．
(3)设n＝，两边平方得n2＝x＋x-1－2＝7－2＝5，
因为n∈R，所以n＝±，
即＝±．
所以x－x-1＝＝±3，
x2－x-2＝(x＋x-1)(x－x-1)＝±21．
[母题探究]　
本例的条件不变，求x3＋x-3的值．
[解]　由x＋x-1＝7平方可得x2＋x-2＝47，
所以x3＋x-3＝(x＋x-1)(x2＋x-2－1)＝7×46＝322．
　解决条件求值问题的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[学以致用]　【链接教材P110习题4.1T8】
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
[解]　∵＝m，
∴2＝a＋a-1－2＝m2，
即a＋a-1＝m2＋2．
∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．
【教材原题·P110习题4.1T8】已知＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
[解]　(1)∵＝3，∴两边平方得a＋2＋a-1＝9，
∴a＋a-1＝7．
(2)由(1)知a＋a-1＝7，两边平方得a2＋2＋a-2＝49，∴a2＋a-2＝47．
1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(　　)
(1)21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，…
(2)21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，…
A．21.7 　 B．21.8
C．2 　 D．4
C　[的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.732 0，1.732 05，…；
的过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.732 1，
1．732 06，…，
故由(1)(2)两串有理数指数幂逼近得到的数为2 ．
故选C．]
2．计算的结果是(　　)
A．π 　 B．
C．－π 　 D．
[答案]　D
3．(教材P110习题4.1T8改编)已知＝，则x2＋x-2＝________．
7　[将＝两边平方得x＋x-1＋2＝5，
则x＋x-1＝3，
将x＋x-1＝3两边平方得x2＋x-2＋2＝9，
所以x2＋x-2＝7．]
1．知识链：
——
2．方法链：整体代入法．
3．警示牌：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．实数指数幂有哪些运算性质？
[提示]　(1)asar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr．(其中a>0，b>0，r，s∈R)
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示]　设＋＝m(m＞0)，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，
则n＝m2－2，∴m＝，
即＋＝．
课时分层作业(二十七)　无理数指数幂及其运算性质
一、选择题
1．＝(　　)
A． 　 B．5
C． 　 D．25
C　[·＝＝．故选C．]
2．计算3π×＋＋的值为(　　)
A．17 　 B．18
C．6 　 D．5
B　[＋＋＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18．
故选B．]
3．＝(　　)
A．9 　 B．
C．3 　 D．
B　[
＝．故选B．]
4．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有(　　)
A．a2＋a-2＝7
B．＝±1
C．＝±
D．＝2
ABD　[因为a＋a-1＝3，两边平方得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，A正确；
＝a－2＋a-1＝3－2＝1，
因为的大小不确定，所以＝±1，B正确；
＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5，
因为>0，所以＝，C错误；
由立方和公式可得：
3
＝(a－1＋a-1)＝×(3－1)＝2，
D正确．
故选ABD．]
5．阅读下段文字：“已知为无理数，若(为有理数，则存在无理数a＝b＝，使得ab为有理数；若(为无理数，则取无理数a＝(，b＝，此时ab＝[(＝(＝()2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　)
A．(是有理数
B．(是无理数
C．存在无理数a，b，使得ab为有理数
D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数
C　[这段文字中，没有给出(是有理数的条件，也没有给出(是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b都成立的问题，D错误．
故选C．]
二、填空题
6．化简：·b＝__________．
a　[·b＝a)(2+b-2-＝a．]
7．已知x>0，y∈R，定义x*y＝xy，则*(－)＝________．
2　[*(－)＝．]
三、解答题
8．已知a2x＝3，求的值．
[解]　原式＝
＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋．
9．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　)
A．甲和乙 　 B．丙和乙
C．乙和甲 　 D．丙和甲
C　[()10＝52＝25，()10＝25＝32．
∵25<32，∴<．
又∵)6＝32＝9，()6＝23＝8，
∴>，
∴<<．
又∵镜片折射率越高，镜片越薄，∴甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄．
故选C．]
10．(1)化简：(其中a＞0)；
(2)化简(a-π)(－4a·b-1)÷[12(](其中a，b>0)．
[解]　(1)原式＝．
(2)原式＝a4-πb-1．
11．(教材P110习题4.1T10改编)借助计算工具计算(n∈N*)的值，我们发现当n＝1，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时，的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于无理数e(e＝2.718 28…)．根据以上知识判断，当n越来越大时，会趋近于________．
e4　[，由n越来越大时，会无限趋近于e，故当n越来越大时会无限趋近于e，
则会无限趋近于e4，
又当n越来越大时，会无限趋近于0，故1＋会无限趋近于1，
故会无限趋近于e4×1＝e4．]
【点评】　解决本题关键在于将转化为，通过n越来越大，会无限趋近于e，可得n越来越大时亦会无限趋近于e．
12．(1)若＝2，2a＝5b＝m，求；
(2)若x＝1＋，y＝1＋4，请用x将y表示出来．
[解]　(1)因为2a＝5b＝m，所以＝＝＝5，则＝10，
又＝2，则m2＝10，所以＝·×＝4m2＝40．
(2)y＝1＋4＝1＋2＝1＋-2＝1＋．
1 / 14.1.2　无理数指数幂及其运算性质
[学习目标]　1．通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(数学抽象) 2．掌握实数指数幂的运算性质．(数学运算)
探究1　无理数指数幂的运算
问题　结合课本108页的探究，思考3是不是一个确定的实数，为什么？
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[新知生成]
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的____．
2．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)化简下列各式：
(1)；
(2)(－2)4·4π-2．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．
[学以致用]　【链接教材P109练习T1】
1．化简下列各式：
(1)；
(2)π4-π·ππ-2．
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探究2　实际问题中的指数运算
[典例讲评]　2．从盛满2 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
[学以致用]　【链接教材P110习题4.1T9】
2．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率约是________．(下列数据仅供参考：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35)
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探究3　实数指数幂的综合运用
[典例讲评]　3．已知x＋x-1＝7，求值：
(1)x2＋x-2；
；
(3)x2－x-2．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]
本例的条件不变，求x3＋x-3的值．
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　解决条件求值问题的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[学以致用]　【链接教材P110习题4.1T8】
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
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1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(　　)
(1)21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，…
(2)21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，…
A．21.7 　 B．21.8
C．2 　 D．4
2．计算的结果是(　　)
A．π 　 B．
C．－π 　 D．
3．(教材P110习题4.1T8改编)已知＝，则x2＋x-2＝________．
1．知识链：
——
2．方法链：整体代入法．
3．警示牌：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
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