资源简介

4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
[学习目标]　1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象) 2．理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．指数函数的概念是什么？
问题2．刻画指数增长(衰减)型函数模型具有什么特征？
探究1　指数函数的概念
问题　将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
提示：
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝
x＝3 y＝8＝23 S＝
… … …
x y＝2x(x∈N*) S＝(x∈N*)
[新知生成]
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
【教用·微提醒】　指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
[典例讲评]　1．(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)D　(2)∪(1，＋∞)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数是x2－1，不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D．
(2)由题意可知解得a>且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
[学以致用]　1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
2　[由指数函数的定义知　
由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．]
探究2　求指数函数的解析式或求值
[典例讲评]　【链接教材P114例1】
2．(多选)已知指数函数f (x)满足，则下列结论中正确的是(　　)
A．f (x)＝5x 　 B．f (x)＝5－x
C．f (－1)＝ 　 D．5f (1)＝f (2)
ACD　[设指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，于是，
即，因此a＝5，
函数f (x)＝5x，A正确，B错误；
显然f (－1)＝5-1＝，C正确；
又5f (1)＝5×5＝25＝52＝f (2)，因此D正确．
故选ACD．]
【教材原题·P114例1】
已知指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f (3)＝π，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．
分析：要求f (0)，f (1)，f (－3)的值，应先求出f (x)＝ax的解析式，即先求a的值．
[解]　因为f (x)＝ax，且f (3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是f (x)＝．
所以，f (0)＝π0＝1，f (1)＝，f (－3)＝π-1＝．
　1．待定系数法求指数函数解析式的步骤
(1)设出函数的解析式为f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(2)利用已知条件，求出解析式中的参数．
(3)写出函数的解析式．
2．求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
[学以致用]　2．若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________．
　3　[设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f (2)＝9，∴a2＝9，a＝3，
即f (x)＝3x．∴f (－2)＝3-2＝，f (1)＝3．]
探究3　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P114例2】
3．2022年某地区人均生产总值为38 852元，2023年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2022年后的年数，将该地区人均生产总值用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2030年该地区人均生产总值数量和相对于2022年的增长倍数，并说明底数a的意义．(可以使用计算工具)
[解]　按假设条件和数据，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a＝≈1.132．
因此该函数的解析式为G(x)＝38 852·1.132x．
依此估计出2030年该地区人均生产总值数量为
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相对于2022年，增长了约1.7倍．
底数a是每年人均生产总值与上一年的比，平均增长率为(a－1)×100%≈13.2%．
【教材原题·P114例2】
(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元(不含门票)的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
(2)在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
[解]　(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f (x)和g(x)，则
f (x)＝1 150×(10x＋600)，
g(x)＝1 000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x＝0时，f (0)－g(0)＝412 000．
当x≈10.22时，f (10.22)≈g(10.22)．
结合图4.2-3可知：
当x<10.22时，f (x)>g(x)，
当x>10.22时，f (x)当x＝14时，g(14)－f (14)≈347 303．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f (x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f (x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f (x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f (x)(2)设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)．
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h(x)＝．
当x＝10 000时，利用计算工具求得h(10 000)＝≈0.30．
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%．
　实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数衰减模型
设原有量为N，每次的衰减率为p，则经过x次衰减，该量衰减到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[学以致用]　【链接教材P115练习T3】
3．在某个时期，某湖泊中的蓝细菌每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的6倍，那么经过60天后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的(　　)
A．18倍 　 B．24倍
C．36倍 　 D．48倍
C　[由题意，设湖泊中原来蓝细菌数量为a，则a(1＋6.25%)30≈6a，
∴经过60天后，该湖泊的蓝细菌数量为y＝a(1＋6.25%)60＝a[(1＋6.25%)30]2≈36a．
∴经过60天后，该湖泊的蓝细菌数大约为原来的36倍．故选C．]
【教材原题·P115练习T3】
在某个时期，某湖泊中的蓝细菌每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝细菌会变为原来的多少倍？(可以使用计算工具)
[解]　设现在的蓝细菌量为a，经过30天后的蓝细菌量为y，则y＝a(1＋6.25%)30，
∴＝1.062 530≈6.16，∴经过30天，该湖泊的蓝细菌会变为原来的6.16倍．
【教用·备选题】　甲、乙两城市现有的人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430．
[解]　(1)1年后甲城市的人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市的人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市的人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市的人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x．
x年后乙城市的人口总数为y乙＝100＋1.3x．
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示．
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113.0 126.0 139.0
1．下列函数中，是指数函数的为(　　)
A．y＝2·3x 　 B．y＝3x+1　
C．y＝3x 　 D．y＝x3
C　[形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数，
y＝2·3x的3x系数不为1，y＝3x+1的指数不是x，y＝x3是幂函数，只有y＝3x符合指数函数的定义．故选C．]
2．若函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或3 　 B．－1　
C．3 　 D．
C　[∵函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，
∴解得m＝3．故选C．]
3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2020年的耕地面积为m，则2025年的耕地面积为(　　)
A．(1－0.1250)m B．m
C．0.9250m D．(1－)m
B　[设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
则1－a＝，
由2020年的耕地面积为m，
得2025年的耕地面积为(1－a)5m＝．故选B．]
4．(教材P114例1改编)已知函数f (x)为指数函数，且，则f (－2)＝________．
　[设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f ，得，所以a＝3，所以f (x)＝3x，
所以f (－2)＝3-2＝．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0，且a≠1．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数f (x)＝ax是指数函数吗？
[提示]　不一定．当a>0且a≠1时，f (x)＝ax是指数函数．
2．指数模型的解析式具有怎样的形式？
[提示]　形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)．
课时分层作业(二十八)　指数函数的概念
一、选择题
1．下列是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x 　 B．y＝2x2－1
C．y＝ax+1 　 D．y＝πx
D　[根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a＞0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D．]
2．已知函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f (1)＝(　　)
A．8 　 B．
C．4 　 D．2
D　[∵函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2，∴f (x)＝2x，∴f (1)＝2．故选D．]
3．如果函数f (x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(　　)
A． 　 B．1
C．9 　 D．8
D　[根据题意可得2a＝1 a＝，－(b＋3)＝0 b＝－3，则ab＝＝8．
故选D．]
4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)
A．a(1＋p%) 元 　 B．a(1－p%) 元
C． 元 　 D． 元
C　[设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，
∴x＝．故选C．]
5．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ 　 D．y＝
A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝．故选A．]
二、填空题
6．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________．
(1，2)　[由题意得0＜a－1＜1，
解得1＜a＜2，故a的取值范围是(1，2)．]
7．若指数型函数f (x)＝b·ax满足f (1)＝6，f (3)＝24，则f (x)＝________．
3×2x　[由指数型函数f (x)＝b·ax，得a＞0且a≠1，由解得所以f (x)＝3×2x．]
8．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”由此可以得出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是________．
y＝，x∈N，且x≥1　[由题意可得第二天截取的长度是前一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为，
剩余量y关于x的函数关系式是y＝，x∈N，且x≥1．]
三、解答题
9．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．(结果写成a×10n(0[解]　根据题意，假设第n代得到的种子数为y，
由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则y＝120n-1(n∈N*)，
当n＝5时，y＝1204≈2.07×108粒．
10．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)
A．f (xy)＝f (x)f (y)
B．f (xy)＝f (x)＋f (y)
C．f (x＋y)＝f (x)f (y)
D．f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
C　[ f (x＋y)＝ax＋y＝axay＝f (x)f (y)．]
11．某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2015年到2024年这10年间每两年上升2%，2023年和2024年种植绿色植被815万平方米．当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2025年到2028年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　)
A．848万平方米 　 B．1 679万平方米
C．1 173万平方米 　 D．12 494万平方米
B　[2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1＋2%),
2027年和2028年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
2025年到2028年共种植绿色植被面积为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)×(1＋2%)≈1 679(万平方米)．故选B．]
12．某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
19　[设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19．]
13．已知定义域为R的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)f (y)；②f ＝4．则满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝________．
8x　[由f (x＋y)＝f (x)f (y)，可知符合该性质的函数可以为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，又因为f ＝4，解得a＝8，所以满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝8x．]
14．已知函数f (x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f (x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f (x)－f (－x)的奇偶性，并加以证明．
[解]　(1)由题意知a2＋a－5＝1(a＞0，且a≠1)，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f (x)＝2x．
(2)由(1)知F(x)＝2x－2－x，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
15．(教材P115练习T2改编)已知函数y＝f (x)，x∈R，且f (0)＝3，，n∈N*，求函数y＝f (x)的一个解析式．
[解]　当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f (x)为指数衰减型函数模型，
令f (x)＝k(k≠0)，
又f (0)＝3，
∴k＝3，∴f (x)＝3×．
1 / 14.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
[学习目标]　1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象) 2．理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
探究1　指数函数的概念
问题　将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
一般地，函数_____(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是_．
[典例讲评]　1．(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是______________的常数．
(2)指数函数的自变量必须在____的位置上．
(3)ax的系数必须为_．
[学以致用]　1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
探究2　求指数函数的解析式或求值
[典例讲评]　【链接教材P114例1】
2．(多选)已知指数函数f (x)满足，则下列结论中正确的是(　　)
A．f (x)＝5x 　 B．f (x)＝5－x
C．f (－1)＝ 　 D．5f (1)＝f (2)
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　1．待定系数法求指数函数解析式的步骤
(1)设出函数的解析式为f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(2)利用已知条件，求出解析式中的参数．
(3)写出函数的解析式．
2．求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
[学以致用]　2．若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________．
探究3　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P114例2】
3．2022年某地区人均生产总值为38 852元，2023年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2022年后的年数，将该地区人均生产总值用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2030年该地区人均生产总值数量和相对于2022年的增长倍数，并说明底数a的意义．(可以使用计算工具)
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝__________________．
(2)指数衰减模型
设原有量为N，每次的衰减率为p，则经过x次衰减，该量衰减到y，则y＝__________________．
(3)指数型函数
把形如____________________________的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[学以致用]　【链接教材P115练习T3】
3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的(　　)
A．18倍 　 B．24倍
C．36倍 　 D．48倍
1．下列函数中，是指数函数的为(　　)
A．y＝2·3x 　 B．y＝3x+1　
C．y＝3x 　 D．y＝x3
2．若函数y＝(m2－2m－2)·mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或3 　 B．－1　
C．3 　 D．
3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2020年的耕地面积为m，则2025年的耕地面积为(　　)
A．(1－0.1250)m B．m
C．0.9250m D．(1－)m
4．(教材P114例1改编)已知函数f (x)为指数函数，且，则f (－2)＝________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0，且a≠1．
1 / 1

展开更多......

收起↑