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4.4.2　对数函数的图象和性质(二)
[学习目标]　能解决与对数型函数的单调性、值域、奇偶性等相关的问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．反函数与原函数的图象间存在怎样的联系？
问题2．如何判断对数型函数的单调性、值域、奇偶性？
探究1　反函数
问题　(1)函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的定义域、值域之间有什么关系？
(2)在同一坐标系中，函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的图象有什么关系？
提示：(1)f (x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域．(2)f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称．
[新知生成]
1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示．
2．互为反函数的两个函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)．
(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．
(4)互为反函数的两个函数的单调性相同．
1．【教材原题·P140习题4.4T7】判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域：
(1)y＝ln x，y＝ex；
(2)y＝－logax，y＝．
[解]　(1)求y＝ln x的反函数有x＝ln y y＝ex．故y＝ln x，y＝ex互为反函数．
y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，值域为R．y＝ex的定义域为R，值域为(0，＋∞)．
(2)求y＝－logax的反函数有x＝－logay y＝a－x＝．故y＝－logax，y＝互为反函数．
y＝－logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R．y＝的定义域为R，值域为(0，＋∞)．
2．【教材原题·P141习题4.4T8】设y＝f (x)表示摄氏温度为x时，华氏温度为y，
(1)如果函数y＝f (x)的反函数是y＝g(x)，那么y＝g(x)表示什么？
(2)如果f (30)＝86，那么求g(86)，并说明其实际意义．
[解]　 (1)因为y＝f (x)表示摄氏温度为x时，华氏温度为y，则其反函数自变量与因变量交换，即y＝g(x)表示华氏温度为x时，摄氏温度为y．
(2)由(1)可得g(86)＝30．f (30)＝86说明摄氏温度为30时，华氏温度为86．g(86)＝30说明华氏温度为86时，摄氏温度为30．
探究2　对数型复合函数的单调性
[典例讲评]　1．讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为．
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1单调递增，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1单调递减，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减．
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减；若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增．
综上知，当a>1时，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当0　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
第一步：求函数f (x)的定义域；
第二步：求函数g(x)在定义域上的单调区间；
第三步：应用复合函数单调性的“同增异减”原则，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调区间．
[学以致用]　1．已知函数y＝在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求实数a的取值范围是[2，2＋2]．
探究3　对数型复合函数的值域
[典例讲评]　2．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)函数f (x)＝，x∈．
[解]　(1)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4．
因为u>0，所以0又y＝在(0，4]上单调递减，
所以＝－2，
所以y＝的值域为[－2，＋∞)．
(2)f (x)＝
＝(2x＋2)·
＝－[(2x)2＋2x－2]．
设2x＝t．∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上单调递增，在上单调递减，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝．
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2．
∴f (x)的值域为．
　对于形如y＝af (x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝au，u＝f (x)两个函数．
(2)求u的取值范围，注意u>0．
(3)利用y＝au的单调性求值域．
[学以致用]　2．求下列函数的值域：
(1)y＝2(x2＋4)；
(2)f (x)＝2·2．
[解]　(1)因为x2＋4≥4，
所以2(x2＋4)≥24＝2．
所以y＝2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)∵f (x)＝2·2＝(2x－2)·(2x－1)＝，
又∵1≤x≤4，∴0≤2x≤2，
∴当2x＝，即x＝＝2时，f (x)取得最小值－；
当2x＝0，即x＝1时，f (x)取得最大值2，
∴函数f (x)的值域是．
探究4　对数型复合函数的奇偶性
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f (x)的定义域；
(2)判断函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范围．
[解]　(1)要使函数f (x)有意义，则
解得－2∴函数y＝f (x)的定义域为{x|－2(2)由(1)可知，函数y＝f (x)的定义域为{x|－2∵f (－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f (x)，
∴函数y＝f (x)为偶函数．
(3)∵函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
当0≤x<2时，函数y＝f (x)单调递减，
当－2∴不等式f (m－2)由解得0＜m＜2．
综上所述，m的取值范围是(0，1)．
　对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝a|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．
[学以致用]　【链接教材P161复习参考题4T11】
3．已知函数f (x)＝是定义域为(－2，2)的奇函数，求f (－1)的值．
[解]　因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝＝－f (x)＝，
即，
即a2－x2＝4－b2x2，
所以
解得a＝±2，b＝±1，
当a＝－2，b＝－1时，
f (x)＝，
令>0，解得x<－2或x>2，定义域不符合要求，故不成立；
当a＝－2，b＝1时，f (x)＝
＝，无意义，不成立；
当a＝2，b＝－1时，f (x)＝＝0，定义域为{x|x≠2}，不符合要求；
当a＝2，b＝1时，
f (x)＝＝9，定义域为(－2，2)，满足要求，
则f (－1)＝9．
【教材原题·P161复习参考题4T11】已知函数f (x)＝a(x＋1)，g(x)＝a(1－x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f (x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f (x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解]　(1)由f (x)＋g(x)＝a(x＋1)＋a(1－x)，
则有得－1＜x＜1．则函数f (x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．
(2)函数f (x)＋g(x)为定义域(－1，1)上的偶函数．
令h(x)＝f (x)＋g(x)，
则h(x)＝f (x)＋g(x)＝a(x＋1)＋a(1－x)，
又h(－x)＝f (－x)＋g(－x)＝a(－x＋1)＋a(1＋x)＝a(x＋1)＋a(1－x)＝f (x)＋g(x)＝h(x)．
则 x∈(－1，1)，有h(－x)＝h(x)成立．
则函数f (x)＋g(x)为定义域(－1，1)上的偶函数．
【教用·备选题】　已知函数f (x)＝ 是奇函数，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时[解]　(1)∵函数f (x)为奇函数，
∴f (－x)＋f (x)＝0，
即＝0，
∴＝1，
即1－a2x2＝1－x2，
∴a2＝1，即a＝±1．
当a＝1时，f (x)＝，无意义；
当a＝－1时，f (x)＝，满足题意，
∴a＝－1．
(2)∵＝＝，
∴当x>1时<－1，
又当x∈(1，＋∞)时即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
1．(教材P140习题4.4T7改编)若函数y＝f (x)是函数y＝3x的反函数，则f 的值为(　　)
A．－23 　 B．－32
C． 　 D．
B　[∵y＝f (x)是函数y＝3x的反函数，
∴f (x)＝log3x，
∴f ＝log3＝－log32．
故选B．]
2．设函数f (x)＝lg ，则f (x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上单调递增
B．奇函数，且在(0，3)上单调递减
C．偶函数，且在(0，3)上单调递增
D．偶函数，且在(0，3)上单调递减
A　[由＞0得－3＜x＜3，故函数f (x)的定义域是(－3，3)，关于原点对称，
因为f (－x)＝lg ＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．
因为f (x)＝lg ＝lg (3＋x)－lg (3－x)，y＝lg (3＋x)在(0，3)上单调递增，y＝lg (3－x)在(0，3)上单调递减，所以f (x)在(0，3)上单调递增．故选A．]
3．已知y＝loga(3－ax)在[0，2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是________．
　[由y＝loga(3－ax)，得a＞0且a≠1，因此函数u＝3－ax单调递减，而x∈[0，2]，则umin＝3－2a，由y＝loga(3－ax)在[0，2]上是关于x的减函数，得函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递增，且3－2a＞0，因此解得1＜a＜，
所以实数a的取值范围是．]
4．函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
[1，＋∞)　[令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：对数型函数的单调性易忽视其定义域．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．互为反函数的两个函数图象有什么特点？
[提示]　关于直线y＝x对称．
2．求解形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性需注意哪些问题？
[提示]　首先注意函数的定义域，其次求解时注意满足“同增异减”的原则．
3．若f (x)∈(m，＋∞)，则y＝logaf (x)(a>1)的值域一定是(logam，＋∞)吗？
[提示]　不一定，必须保证m>0才可以．
课时分层作业(三十六)　对数函数的图象和性质(二)
一、选择题
1．函数y＝log3x的反函数的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) 　 B．
C．(1，4) 　 D．[－1，4]
D　[由y＝log3x，可知y∈[－1，4]，
所以反函数的定义域为[－1，4]．]
2．若函数f (x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．4
B　[由题意得f (x)在[0，1]上单调递增或单调递减，
∴f (x)的最大值和最小值在端点处取得，
即f (0)＋f (1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝．]
3．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f (x)＝lg
B．f (x)＝|lg x|
C．f (x)＝lg |x|
D．f (x)＝lg
D　[对于A中的函数f (x)＝lg ，函数定义域为R，f (－x)＝lg ＝lg ＝f (x)，故A中的函数为偶函数；对于B中的函数f (x)＝|lg x|，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故B中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于C中的函数f (x)＝lg |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f (－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f (x)，故C中的函数为偶函数；对于D中的函数f (x)＝lg ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f (－x)＝lg ＝－lg ＝－f (x)，故D中的函数为奇函数．故选D．]
4．若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) 　 B．(－4，4]
C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) 　 D．[－4，4)
D　[令t(x)＝x2－ax－3a，则由函数f (x)＝上单调递减，可得函数上单调递减，且解得－4≤a<4．故选D．]
5．(多选)已知函数f (x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f (4)＝－3
B．函数y＝f (x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f (x)的最小值为－4
D．函数y＝f (x)的最大值为4
ABC　[A正确，f (4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f (x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f (x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f (x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f (x)取得最小值－4；D错误，f (x)没有最大值．故选ABC．]
二、填空题
6．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
　[因为y＝log5μ(x)与μ(x)＝2x＋1均为增函数，故函数f (x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f (x)的单调递增区间是．]
7．函数y＝lg (100－x2)的值域是________．
(－∞，2]　[令t＝100－x2，则0∴函数y＝lg t(0当t＝100时，ymax＝lg 100＝2，∴y∈(－∞，2]．]
8．若f (x)＝x ln 为偶函数，则实数b＝______．
3　[若f (x)＝x ln 是偶函数，则f (－x)＝f (x)，
即－x ln ＝x ln ，
所以x ln ＝0，
所以＝1，所以4x2－9＝4x2－b2，所以b＝±3，
当b＝－3时，f (x)＝x ln ，定义域为，不关于原点对称，不符合，舍去；
当b＝3时，f (x)＝x ln ，定义域为，关于原点对称，符合题意．
综上所述，b＝3．]
三、解答题
9．已知f (x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f (x)的定义域、值域；
(2)若函数f (x)有最小值－2，求a的值．
[解]　(1)由－3f (x)＝loga(－x2－2x＋3)，
令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
因为x∈(－3，1)，所以t∈(0，4]．
令g(t)＝logat，
所以f (x)＝g(t)＝logat，t∈(0，4]．
当0当a>1时，值域为(－∞，loga4]．
(2)f (x)min＝－2，由(1)及题意得得a＝．
10．函数f (x)＝lg (＋x)的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
A　[易知该函数的定义域为R，又f (x)＋f (－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0，
∴f (x)＝－f (－x)，∴f (x)为奇函数．]
11．设偶函数f (x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f (a＋1)与f (b＋2)的大小关系是(　　)
A．f (a＋1)C．f (a＋1)≥f (b＋2) 　 D．f (a＋1)>f (b＋2)
D　[因为函数f (x)是偶函数，所以b＝0，
又函数在(－∞，0)上单调递增，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，则0因为f (a＋1)＝loga|a＋1|，f (b＋2)＝loga2，
且1f (b＋2)．]
12．已知函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)
A．f (x)在(0，2)上单调递增
B．f (x)在(0，2)上单调递减
C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称
C　[ f (x)的定义域为(0，2)．
f (x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上为增函数，
∴f (x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项AB错误．
∵f (x)＝ln x＋ln (2－x)＝f (2－x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f (2－x)＋f (x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f (x)的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D错误．故选C．]
13．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，则不等式>0的解集为________．
∪(2，＋∞)　[∵f (x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f (x)在(－∞，0]上单调递减．
由f ＝0，得f ＝0，则函数的大致图象如图所示．
∴－或，解得x>2或0∴原不等式的解集为∪(2，＋∞)．]
14．函数f (x)＝(log2x－4)．
(1)当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
(2)若f (x)＞mlog2x对于x∈[1，4]恒成立，求m的取值范围．
[解]　(1)f (x)＝(log2x－4)，
∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，
令t＝log2x，则f (x)＝g(t)＝(t－1)＝t＋2，t∈[0，2]．
易知g(t)在[0，2]上单调递减，
∴该函数值域为[g(2)，g(0)]即[－1，2]．
(2)令t＝log2x，则f (t)＝(t－1)＞mt在[0，2]上恒成立，
当t＝0时，2＞0恒成立，m∈R；
当t∈(0，2]时，等价于m＜恒成立，
令h(t)＝(2－5)＝－．
当且仅当t＝2时取等号，故m＜－．
综上，m＜－．
15．已知函数f (x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，0＜a＜1．
(1)求函数f (x)的单调递减区间；
(2)若函数f (x)在区间[0，3]内的最小值为－2，求实数a的值；
(3)证明：f (x)的图象是轴对称图形．
[解]　(1)由得－2＜x＜4，所以f (x)的定义域为(－2，4)，
于是f (x)＝loga(x＋2)(4－x)，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，该函数在(－2，1)上单调递增，
而f (t)＝logat，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)的单调递减区间为(－2，1)．
(2)f (x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]，
令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9．
当0≤x≤3时，5≤t≤9，
因为0＜a＜1，则loga9≤logat≤loga5，
所以f (x)min＝loga9＝－2，即a-2＝9，
所以a＝．
(3)证明：f (2－x)＝loga(4－x)＋loga(2＋x)＝f (x)．
所以f (x)的图象关于直线x＝1对称．
所以f (x)的图象是轴对称图形．
1 / 14.4.2　对数函数的图象和性质(二)
[学习目标]　能解决与对数型函数的单调性、值域、奇偶性等相关的问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1　反函数
问题　(1)函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的定义域、值域之间有什么关系？
(2)在同一坐标系中，函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的图象有什么关系？
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[新知生成]
1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示．
2．互为反函数的两个函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)．
(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域．
(4)互为反函数的两个函数的单调性相同．
探究2　对数型复合函数的单调性
[典例讲评]　1．讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
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　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
第一步：求函数f (x)的______；
第二步：求函数______在定义域上的单调区间；
第三步：应用复合函数单调性的“________”原则，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调区间．
[学以致用]　1．已知函数y＝在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
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探究3　对数型复合函数的值域
[典例讲评]　2．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)函数f (x)＝，x∈．
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　对于形如y＝af (x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝au，u＝f (x)两个函数．
(2)求u的取值范围，注意u>0．
(3)利用y＝au的单调性求值域．
[学以致用]　2．求下列函数的值域：
(1)y＝2(x2＋4)；
(2)f (x)＝2·2．
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探究4　对数型复合函数的奇偶性
[典例讲评]　3．已知函数f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f (x)的定义域；
(2)判断函数y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝a|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．
[学以致用]　【链接教材P161复习参考题4T11】
3．已知函数f (x)＝是定义域为(－2，2)的奇函数，求f (－1)的值．
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1．(教材P140习题4.4T7改编)若函数y＝f (x)是函数y＝3x的反函数，则f 的值为(　　)
A．－23 　 B．－32
C． 　 D．
2．设函数f (x)＝lg ，则f (x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上单调递增
B．奇函数，且在(0，3)上单调递减
C．偶函数，且在(0，3)上单调递增
D．偶函数，且在(0，3)上单调递减
3．已知y＝loga(3－ax)在[0，2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是________．
4．函数f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：对数型函数的单调性易忽视其定义域．
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