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5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
[学习目标]　1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(逻辑推理) 2．掌握两角差的余弦公式的应用．(数学运算)
探究1　两角差的余弦公式
问题1　如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P．
点P1，A1，P的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？
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问题2　利用AP与A1P1的关系及距离公式，想一想cos (α－β)与角α，β的三角函数存在怎样的关系？
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[新知生成]
两角差的余弦公式：cos (α－β)＝__________________________，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)．
[典例讲评]　【链接教材P216例1】
1．(1)cos 的值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
[学以致用]　【链接教材P217练习T1】
1．(1)cos 50°cos 20°＋cos 40°sin 20°的值为(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
(2)cos 105°＋sin 105°＝________．
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探究2　给值求值
[典例讲评]　【链接教材P216例2】
2．(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos (α－β)的值．
(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝，求cos β的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　给值求值问题的解题策略
(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β．②α＝．
③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[学以致用]　【链接教材P217练习T3、T4、T5】
2．已知sin ，且π<α<π，求cos α的值．
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探究3　给值求角问题
[典例讲评]　3．已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)____________：根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的______________：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．
(3)____：结合三角函数值及角的范围求角．
[学以致用]　3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
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1．cos 10°cos 70°＋sin 70°sin 10°＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
2．化简cos βcos (β－α)＋sin βsin (β－α)的结果为(　　)
A．cos (α＋2β) 　 B．cos (2α＋β)
C．cos α 　 D．cos β
3．(教材P217练习T5改编)已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝则cos (α－β)的值为(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
4．(教材P229习题5.5T2改编)已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β＝________．
1．知识链：
2．方法链：构造法(拆角变换)．
3．警示牌：求角时易忽视角的范围．
1 / 15.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
[学习目标]　1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(逻辑推理) 2．掌握两角差的余弦公式的应用．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何推导两角差的余弦公式？
问题2．两角差的余弦公式是什么？公式中的α，β是任意的吗？
探究1　两角差的余弦公式
问题1　如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P．
点P1，A1，P的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？
提示：A(1，0)，P(cos (α－β)，sin (α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α)．连接AP，A1P1(图略)，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1．
问题2　利用AP与A1P1的关系及距离公式，想一想cos (α－β)与角α，β的三角函数存在怎样的关系？
提示：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
[新知生成]
两角差的余弦公式：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)．
【教用·微提醒】　(1)公式的左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．可用 “余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是角的组合，如cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．
[典例讲评]　【链接教材P216例1】
1．(1)cos 的值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)＝________．
(1)C　(2)　[(1)cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ．故选C．
(2)原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－35°－25°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝．]
【教材原题·P216例1】
利用公式C(α－β)证明：
(1)cos ＝sin α；
(2)cos (π－α)＝－cos α．
[证明]　(1)cos ＝cos cos α＋sin ·sin α
＝0＋1×sin α
＝sin α．
(2)cos (π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α
＝(－1)×cos α＋0
＝－cos α．
　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
[学以致用]　【链接教材P217练习T1】
1．(1)cos 50°cos 20°＋cos 40°sin 20°的值为(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
(2)cos 105°＋sin 105°＝________．
(1)C　(2)　[(1)cos 50°cos 20°＋cos 40°sin 20°＝cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°
＝cos (50°－20°)＝cos 30°＝．
故选C．
(2)原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos (60°－105°)＝cos (－45°)＝．]
【教材原题·P217练习T1】　利用公式C(α－β)证明：
(1)cos ＝－sin α；
(2)cos (－α)＝cos α．
[证明]　由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β得，
(1)cos ＝cos cos α＋sin sin α＝－sin α．
(2)cos (－α)＝cos (0－α)＝cos 0cos α＋sin 0sin α＝cos α．
探究2　给值求值
[典例讲评]　【链接教材P216例2】
2．(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos (α－β)的值．
(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝，求cos β的值．
[解]　(1)因为cos α＝，α是第四象限角，
所以sin α＝－＝－＝－．
因为sin β＝，β是第二象限角，
所以cos β＝－＝－＝－，
则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝．
(2)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝．
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝．
【教材原题·P216例2】
已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
[解]　由sin α＝，α∈，得cos α＝＝－＝－．
又由cos β＝－，β是第三象限角，得
sin β＝－＝－＝－．
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
＝－．
　给值求值问题的解题策略
(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β．②α＝．
③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[学以致用]　【链接教材P217练习T3、T4、T5】
2．已知sin ，且π<α<π，求cos α的值．
[解]　因为π<α<π，
所以π<α＋<2π，
所以cos >0，
所以cos ＝＝＝，
所以cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝．
1．【教材原题·P217练习T3】　已知cos α＝，α∈，求cos 的值．
[解]　因为cos α＝－，cos2α＋sin2α＝1，
所以sin α＝±，
因为α∈，所以sin α＝．
所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝．
2．【教材原题·P217练习T4】　已知sin θ＝，θ是第二象限角，求cos 的值．
[解]　由sin θ＝，θ是第二象限角，得cos θ＝－＝－，
所以cos ＝cos θcos ＋sin θsin ．
3．【教材原题·P217练习T5】　已知sin α＝－，α∈，cos β＝，β∈，求cos (β－α)的值．
[解]　由sin α＝－，α∈，
得cos α＝－＝－，
由cos β＝，β∈，
得sin β＝－＝－，
所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝．
探究3　给值求角问题
[典例讲评]　3．已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[解]　因为sin α＝，0＜α＜，
所以cos α＝＝．
因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，
所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝．
因为0＜β＜，所以β＝．
　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．
(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角．
[学以致用]　3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
[解]　∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝．
又sin α∴－<α－β<0，故α－β＝－．
1．cos 10°cos 70°＋sin 70°sin 10°＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
A　[cos 10°cos 70°＋sin 70°sin 10°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝．故选A．]
2．化简cos βcos (β－α)＋sin βsin (β－α)的结果为(　　)
A．cos (α＋2β) 　 B．cos (2α＋β)
C．cos α 　 D．cos β
C　[原式＝cos [β－(β－α)]＝cos α．故选C．]
3．(教材P217练习T5改编)已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝则cos (α－β)的值为(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
A　[∵α为锐角，cos α＝，
∴sin α＝＝，
∵β为第三象限角，sinβ＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝．
故选A．]
4．(教材P229习题5.5T2改编)已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β＝________．
　[∵α为锐角，cos α＝，
∴sin α＝．
又∵β为锐角，∴0<α＋β<π．
∵sin (α＋β)＝∴<α＋β<π，
∴cos (α＋β)＝－，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－．
∵β为锐角，∴β＝．]
1．知识链：
2．方法链：构造法(拆角变换)．
3．警示牌：求角时易忽视角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式C(α－β)的结构有何特点？
[提示]　
可用口诀“余余正正，号相反”记忆公式．
2．公式C(α－β)中角α，β的适用条件是什么？
[提示]　公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos 中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．
3．通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？
[提示]　公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面．
①公式本身的变用，如cos (α－β)－cos αcos β＝sin αsin β．
②角的变用，也称为角的变换，如：
cos α＝cos [(α＋β)－β]，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]．
课时分层作业(五十二)　两角差的余弦公式
一、选择题
1．已知a＝cos 72°cos 12°－sin 108°cos 102°，则a的值为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
A　[a＝cos 72°cos 12°－sin 108°cos 102°
＝cos 72°cos 12°－sin 72°(－sin 12°)
＝cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°
＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝．故选A．]
2．已知α为锐角，sin ，则cos α＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[由题可知，α∈，所以－α∈，
由sin ，所以cos ，
所以cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ．故选C．]
3．已知cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝－，β∈，则sin β的值是(　　)
A． 　 B．－
C．－ 　 D．
C　[∵cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝cos (α－β－α)＝cos β＝－，β∈，
∴sin β＝－＝－．
故选C．]
4．若cos(α－β)＝，则＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
A　[原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×．故选A．]
5．若0<α<<β<0，cos ，cos ，则cos ＝(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
C　[由题意得<＋α<<<，
因为cos ，cos ，
所以sin ，
sin ，
所以cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝．故选C．]
二、填空题
6．若α∈[0，2π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值为________．
或　[因为α∈[0，2π]，sin sin ＋cos ·＝cos α＝0，则α＝或α＝．]
7．在平面直角坐标系中，点P(1，)，将OP绕坐标原点O顺时针旋转30°得到OP1，则点P1的横坐标为________．
　[设以OP为终边的角为α，以OP1为终边的角为β，P1(x，y)，
所以sin α＝，cos α＝，
且β＝＝OP＝2，
所以cos β＝cos (α－30°)＝cos α＋sin α＝，
且cos β＝，所以x＝，即点P1的横坐标为．]
8．＝________．
　[原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos (60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝．]
三、解答题
9．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－6，8)．
(1)求sin 的值；
(2)若角β满足cos (α＋β)＝，求cos β的值．
[解]　(1)由角α的终边过点P(－6，8)，可得
sin α＝，cos α＝－，
所以sin ＝cos α＝－．
(2)由cos (α＋β)＝，可得sin (α＋β)＝±，
由β＝(α＋β)－α，得
cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
当sin (α＋β)＝时，cos β＝；
当sin (α＋β)＝－时，
cos β＝，
所以cos β＝－或cos β＝－．
10．已知在△ABC中，cos B cos C＝1－sin B sin C，那么△ABC是(　　)
A．锐角三角形 　 B．等腰三角形
C．直角三角形 　 D．钝角三角形
B　[由cos B cos C＝1－sin B sin C，得cos (B－C)＝1，又B，C∈(0，π)，故B＝C．所以△ABC是等腰三角形．故选B．]
11．－tan 25°＝(　　)
A． 　 B．1
C．－1 　 D．－
B　[－tan 25°＝
＝
＝＝1．
故选B．]
12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝ 　 B．cos (β－α)＝－
C．β－α＝ 　 D．β－α＝－
AC　[由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．两式分别平方相加，得＝1，∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝，∴A正确，B错误．∵α，β，γ∈，sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选AC．]
13．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则cos (α－β)＝______．
　[依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
结合图形知，5cos α－5cos β＝1，5sin β－5sin α＝1，
即cos α－cos β＝，sin β－sin α＝，
两式平方相加得
(cos α－cos β)2＋(sin β－sin α)2＝，
即2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
所以cos (α－β)＝．]
14．已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
[解]　由α－β∈，且cos (α－β)＝－，
得sin (α－β)＝．
由α＋β∈，且cos (α＋β)＝，
得sin (α＋β)＝－．
∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝＝－1．
又∵α＋β∈，α－β∈，
∴2β∈．
∴2β＝π，则β＝．
15．已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围．
[解]　由sin α＋sin β＝，平方可得
sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，①
设cos α＋cos β＝m，平方可得
cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2，②
①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，即m2＝＋2cos (α－β)．
∵cos (α－β)∈[－1，1]，∴m2∈，
∴0≤m2≤，∴－，
故cos α＋cos β的取值范围为．
[点评]　设cos α＋cos β＝m，把两式平方相加，利用cos (α－β)的有界性求解．
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