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第二章 实数
2 平方根与立方根
第2课时
一、教学目标
1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算．
2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系．
3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法．
4.通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神．
二、教学重难点
重点：平方根和开平方的概念，会求一个数的平方根.
难点：平方根和算术平方根的联系与区别.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”.
的含义：a的算术平方根.
算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
求下列各式的值.
36的算术平方根=
17的算术平方根=
的算术平方根=
的算术平方根=
预设答案：6；；3；.
　　设计意图：回顾算术平方根的概念和性质，及简单运算，为学习平方根作铺垫．
教师活动：上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a则x叫a的算术平方根，记作x=，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
　　设计意图：通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.
环节二：探究新知
做一做：3的平方是9，那么9的算术平方根是 3 .
的平方等于，那么的算术平方根是： .
0.8的平方等于0.64，那么0.64的算术平方根是 0.8 .
追问：平方等于9，，0.64的数还有吗？
　　问题：如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
预设答案：3或3；
由于(3) =9，那么这个数也可以是3．
师生活动：学生可能很快回答出这个数可以是3，教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数.
问题：3和-3有什么特征？
预设答案：互为相反数.
同样的，平方等于的数有，平方等于0.64的数有0.8和-0.8，两组数也分别互为相反数．
　　设计意图：让学生感受平方等于9的数有两个，为归纳平方根的概念进行铺垫.
做一做：找出对应的 x的平方的数.
解：
追问：如果我们把1、4、0.8分别叫做1，16，0.64的平方根，你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗？
【概念形成】
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.这就是说，如果 x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3和3是9的平方根，简记为3是9的平方根.
注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根.
　　设计意图：学生在连线的过程中感受一个正数的平方根有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为归纳平方根的概念作铺垫.在此基础上，引导学生用文字语言仿照算术平方根的概念得到平方根的概念，使学生的学习形成正迁移.
【议一议】一个正数有几个平方根？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
预设答案：正数有两个平方根，它们互为相反数.
例如：9的平方根是：+3和-3
0 只有一个平方根，它是0本身.
负数没有平方根.
　　设计意图：通过讨论，使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想.
问题：如何表示一个数的平方根呢？
预设答案：正数a的平方根表示为：
正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是.它们互为相反数.这两个平方根合起来记作，读作“正、负根号 a ”.
设计意图：对平方根表示方法的辨析，强化对平方根概念的理解.
【归纳】平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根．
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为 .
　　设计意图：平方根与算术平方根的概念容易混淆，让学生找出二者相同点与不同点，加深学生对它们区别与联系的理解.对于正确理解两个不同的概念和准确解题很有帮助.
【探究】已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算. 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
设计意图：让学生明确什么是开平方运算，通过例子明白平方与开平方互为逆运算.
环节三：应用新知
【例1】 求下列各数的平方根：
64 ； (2) ； (3) 0.0004； (4)(-25)2 ； (5)11.
教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
解：(1)因为(±8)2 = 64，所以64的平方根是8，即 ；
(2)因为 ，所以的平方根是 ，即 ；
(3)(±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02；即
(4)因为(±25)2=(-25)2 ，所以(-25)2的平方根是±25，即；
(5)11的平方根是.
　　学生活动：思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法.
　　设计意图：这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根．注意一个正数的平方根有两个.
【例2】求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3).
解：(1) ==15.
(2) ==.
(3)=8.
【例3】若一个正数的平方根分别为a-2和2a-1,求a和这个正数的平方根.
解：∵一个正数的两个平方根互为相反数,
∴a-2+2a-1=0，解得a=1.
∵a-2=1-2=-1; 2a-1=2-1=1
∴ 这个正数的平方根为±1.
设计意图：强化学生对平方根概念的认识，一个正数的两个平方根互为相反数.
环节四：课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1．关于平方根，下列说法正确的是(　　)
A．任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数.
B．负数没有平方根.
C．任何一个数只有一个算术平方根.
D．以上都不对.
2.判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)49的平方根是7；
(2)2是4的平方根；
(3)-5是25的平方根；
(4)64的平方根是±8；
(5)-16的平方根是-4.
3.求下列各数的算术平方根和平方根.
(1)(-11)2 (2)
答案：1.B
2.(1)×，一个正数有两个平方根；(2)√；(3)√；(4)√；(5)×，负数没有平方根.
3.解：(1)(-11)2 =121，它的算术平方根是 11，平方根是±11.
=4，它的算术平方根是 2，平方根是±2.
　　学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五：总结归纳

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