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第二章实数
2 平方根与立方根
第3课时
一、教学目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.经历立方根的探究过程，在探究中学会求立方根的基本方法和策略，通过对立方根性质的探究，培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识.
3.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根.
4.通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值，提高学习兴趣.
二、教学重难点
重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
难点：能用开立方运算求某些数的立方根.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：教师带领学生回顾平方根的概念及性质，并给出思考问题让学生列式计算.
平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根，记为“”，读作“正负根号a”.
的含义：a的平方根.
平方根的性质：正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.0的平方根是0；负数没有平方根.
设计意图：学生通过回顾上节课的学习内容，既复方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根的知识.为进一步研究立方根的概念及性质作铺垫.
问题：如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216cm 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少
分析：将魔方看作为边长为x的正方体，
由正方体体公式可知：=216，
而x等于小正方体棱长的三倍，
问题转化为求x的值.
追问：若x2=2，则x= .若=216该怎么求解x呢？
预设答案：∵63=216，∴可知x=6，进而得出小正方体的棱长为2.
教生活动：教师提出问题，引导学生思考，回答问题.
设计意图：由实际问题列出算式过渡到立方根的讲解，让学生感受数学与实际生活的紧密联系.
环节二：探究新知
问题：我们知道，如果，则a叫做x的立方，那么x叫做a的什么呢？
教生活动：教师先给出平方根的定义，让学生试一试，用类比的方法给出立方根的定义.
立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）.
示例：如：，则2是8的立方根；，则是的立方根，，则0是0的立方根.
问题：类比平方根，怎么用符号来表示一个数的立方根呢？
预设答案：每个数a都只有一个立方根，记作，读作“三次根号a”.
设计意图：由平方根概念，学生类比得到立方根的概念，让学生的学习形成正迁移.
做一做：求下列各数的立方根（1）8，（2）0，（3）-27，（4）7.
预设答案：（1）因为，所以8的立方根是2，即 .
（2）因为，所以0的立方根是0，即 .
（3）因为，所以-27的立方根是-3，即 .
（4）7的立方根是.
师生活动：教师板书，学生认真思考，并举手回答.
设计意图：通过做题思考，使学生对立方根有比较全面的认识，为立方根的性质的学习打下基础.
问题：正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？
预设答案：一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
0的立方根是0.
强调：这是立方根特有的性质：任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的！简单来记就是唯一性，同号性.
追问：平方根与立方根的个数的异同
教师总结：立方根是它本身的数有1， -1， 0；平方根是它本身的数只有0.
师生活动：教师提出问题，学生小组讨论，思考完成问题，在教师的引导下完成表格.
设计意图：学生通过前面的例子，很容易回答出三个问题的答案.此处要重点强调立方根与平方根的个数的不同之处，得出结论.
【归纳】
开立方：类似开平方运算，求一个数a的立方根的运算叫作“开立方”，其中a叫被开方数.
“开立方”与“立方”互为逆运算！
设计意图：在已学的开平方的基础上得出开立方的定义，有利于加深对立方根概念的理解.同时通过举例再次强调：“开立方”与“立方”互为逆运算.
做一做：求下列个数的立方根：
(1) -27 ； (2)； (3) 0.216； (4)．
预设答案：
(1)因为，所以的立方根是，即；
(2)因为，所以的立方根是，即；
(3)因为，所以的立方根是，即；
(4)的立方根是.
问题：上题中，一些数的立方根结果没有“”了这些数有什么特点
预设答案：，被开方数可堪称一个整数立方得到；
，被开方数可看成一个分数立方得到；
，被开方数可看成一个小数立方得到.
追问：在上题中，，也就是．一般地，成立吗
预设答案：成立.
，，，，.
追问：一般地，成立吗
预设答案：成立.
，，，，.
总结：对于数都有，.
环节三：应用新知
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
例1求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
拓展：你能说出平方根与立方根的联系与区别吗？
联系：
1.开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算.
2.都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即.
3. 0的平方根和立方根都是0.
区别：
1.在用根号表示时，根指数2可以省略，根指数3不能省略.
2.平方根只有非负数才有，正数的平方根有两个；而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根.
设计意图：巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质.
环节四：课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.下列说法中，正确的是（ ）
A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数.
B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数.
C．负数没有立方根.
D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1.
2.下列说法对不对？
（1）－4没有立方根.
（2）1的立方根是±1.
（3）－5的立方根是 .
（4）64的算术平方根是8.
（5）正数有两个立方根，负数没有立方根.
3.求下列各式中x的值.
(1)x3=0.125； (2) (x-1)3 -8=0； (3) 4(x-1)3 =-256.
4.若 =2，=4，求的值.
答案：
1.D
2.(1)×，(2)×；(3)√；(4)√；(5)×.
3.解：(1)
(2)
(3)
4.解：∵ =2，=4.
∴x = 23，y2 = 16，
∴x = 8，y = ±4.
∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16
或x + 2y = 8 – 2×4 = 0.
∴== 4
或== 0.
师生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五：总结归纳
师生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.

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