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第二章实数
2 平方根与立方根
第4课时
一、教学目标
1.会估算一个无理数的大致范围，能通过估算检验计算结果的合理性，形成估算意识．
2.掌握估算方法，会比较两个实数的大小，并能利用估算解决一些简单的问题．
3.会用计算器求平方根和立方根,会用计算器比较数的大小．
4.通过估算的学习，使学生认识到在现实生活中估算的用处甚广，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的数感，培养学生日后解决实际问题的能力．
二、教学重难点
重点：会估算一个无理数的大致范围，能通过估算检验计算结果的合理性，形成估算意识．
难点：掌握估算方法，会比较两个实数的大小，并能利用估算解决一些简单的问题．
教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：教师带领学生回顾平方根和立方根的概念，并特别强调被开方数的取值范围.
平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x就叫做 a 的平方根或二次方根．记作．
立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即 x3=a，那么这个数x就叫做 a 的立方根．记作．
提问：平方根和立方根中被开方数的取值有限制吗？
预设答案：
平方根中被开方数为非负数；
立方根中被开方数可取任何数．
求下列各式的值．
25的算术平方根=
17的平方根=
的平方根=
8的立方根=
28的立方根=
答案：5；；；2；．
设计意图：回顾平方根和立方根的概念，并通过简单的运算巩固概念，为学习估算作铺垫．
环节二：探究新知
【想一想】某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2．
公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
解：因为荒地的长是宽的2倍，假设宽是1 000 m，则长是2 000 m．
公园的面积S=2 000×1 000=2 000 000(m2)
2 000 000>400 000
因此，公园的宽没有1 000米．
如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？
解：设宽为x米，则长为2x米．
荒地面积 S=2x．x=2x2=400 000
x2=200 000
解得：x=≈450
因此，公园的宽大约是450米．
分析：求无理数的大致取值．
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(精确到1 m)
教师活动：根据前面讨论出的方法估算出结果，然后在组内交流完善，每组派一名代表回答．
解：设圆形花圃的半径为r．
花圃面积S=πr2=800，r=
800除以3.14约等于255，大约为16的平方．
所以圆形花圃的半径大约是16米．
分析：求无理数的大致取值．
教师分析：在以上问题中，这些数都是估计出来的近似数，我们把这种按要求估计数值的方法叫估算．估算的数值可以大些也可以小些．只说一个近似数值就可以．
设计意图：从现实情境引入，初步建立数感，让学生体会生活中的数学，激发学习的积极性．并通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值．
【议一议】问题：下面的计算结果正确吗？你是怎么判断的？
教师活动：让学生分组讨论，然后深入到各组中指导学生讨论．
方法一：
因为0.0662=0.004356，所以不正确．
因为963=884736，所以 不正确．
因为 60．42=3648.16，所以 不正确．
结论：通过“精确计算”可比较两个数的大小．
设计意图：本题的方法一主要是通过进行平方和立方运算，让学生自己体会在解决无理数的问题时，需要利用开方与乘方的互逆关系把无理数转化为有理数．这一比较过程也相对较为简单，让学生在轻松愉快的氛围中解决问题．
方法二：
解：
∴
∵
∴
∵ 60.4>60，602=3600，
∴
以上计算结果都不正确．
结论：通过“估算”也可比较两个数的大小．
设计意图：对于同一问题寻求多种方法解决问题，可以互相进行比较各种方法的简易程度，体会一题多解的思想方法.
问题：你能估算的大小吗？（误差小于1）
解：因为729<900<1000，所以
即9<<10，的整数部分是9．
又因为，所以
分析：乘方和开方为互逆运算．乘方和开方的
运算，有助于我们对于无理数的取值进行估算．
设计意图：通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备．
问题：宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”．你能比较与的大小吗？你是怎样想的？
分析：与分母相同，实际是比较与1两个数的大小．
与的分母相同，只要比较它们的分子就可以了．
因为，所以，
因此 ．
设计意图：通过比较带有分数的无理数的大小，让学生进一步加深对无理数估算法的认识和理解，体验成功的喜悦．
【归纳总结】
用估算法比较无理数大小的常用结论：
设计意图：通过归纳总结，激发学生思考，并讨论交流．引导学生从数学现象背后发现数学规律．
问题：估算无理数的大小（结果精确到0.1）．
解：因为，即3<<4
所以的整数部分为3．
因为，
即3.6<<3.7．又因为与相近，所以
设计意图：由结果的“误差小于1”到“结果精确到0.1”，让学生体会不一样的估算方法．
【归纳总结】
估算法确定无理数的大小：
先平方运算或立方运算；
采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分．
注意：“精确到” 与“误差小于”意义不同：
如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；
误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．
设计意图：同桌间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生归纳出估算法确定无理数的一般步骤．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养自主学习的能力．
【试一试】使用计算器算一算下列各式的值，并写出按键顺序.
预设答案：
设计意图：通过小组合作探究，鼓励学生自己探索计算器的用法，让学生在实践操作中掌握使用计算器开方的方法.
【归纳】使用计算器进行开方运算时，按照算式的书写顺序从左至右按键输入算式，计算器将按照运算法则的优先顺序自动进行运算.
环节三：应用新知
例１ 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨．教师板书例题书写过程．
解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，
根据勾股定理，有
即
因为5.62=31.36<32，所以>5.6．
因此，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头．
设计意图：让学生体会数学知识的实际应用价值，并能结合实际生活经验探究一个无理数估算结果的合理性．在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．
环节四：课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解．
1．估算-3的值(　　)
A．在1和2之间
B．在2和3之间
C．在3和4之间
D．在4和5之间
2．一块面积为10 m2的正方形草坪，其边长(　　)
A．小于3 m B．等于3 m
C．在3 m与4 m之间 D．大于4 m
3．已知 则下列大小关系正确的是 (　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
4．比较2，，的大小，正确的是(　)
A．
B．
C．
D．
5．通过估算比较下列各组数的大小．
利用计算器比较和的大小．
答案：
1.A
解析：因为42<19<52，所以4<<5，所以1<-3 <2．
总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间．
2.C
3.A
4.解析：
答案：A
5.解：(1)因为5>4，所以 ，
所以
(2)因为6>4，所以，
所以
6.解：按键：
显示1.442 249 57.
按键：
显示1.414 213 562.
所以＞.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
环节五：总结归纳

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