资源简介

综合与实践 最短路径问题
教材分析
一、在单元以及数学教学体系的地位与作用
本节内容选自人教版八年级上册第十五章《轴对称》的综合与实践，是在学习轴对称性质、全等三角形判定与性质等知识后的综合性应用。从单元角度看，最短路径问题是轴对称知识的实际运用，通过将折线问题转化为直线问题，深化了“图形变换→性质应用→问题解决”的逻辑链条，为后续学习几何最值问题提供了“转化思想”的范例。从数学知识体系看，本节首次系统研究实际生活中的最短路径，体现了“实际问题→数学建模→逻辑推理”的几何研究范式，其中利用轴对称和平移解决问题的思路，对培养学生的空间观念和推理能力具有重要意义，是平面几何联系实际的关键内容。
二、核心学习内容
核心知识点：最短路径问题的基本模型；用轴对称和平移解决最短路径问题的原理；“两点之间，线段最短”“垂线段最短”公理的应用。
技能点：能从实际问题中抽象出几何模型，识别“最短路径”的关键要素；能利用尺规作图作出对称点或平移后的点，将最短路径问题转化为线段问题；按“实际问题→几何模型→解决方法→验证推理”的流程解决问题，明确转化的依据（轴对称性质、平移性质）。
关键问题：为什么将同侧两点的最短路径问题转化为异侧两点的问题？造桥选址问题中，为什么要平移点？如何验证所找到的路径是最短的？
三、数学思想方法
转化思想：将折线路径问题转化为直线路径问题，利用轴对称或平移实现“化折为直”。
建模思想：将实际问题抽象为几何模型，运用几何知识解决。
数形结合思想：用图形表示实际问题中的位置关系，用符号标记点、线、距离等要素，将文字描述转化为图形语言和符号语言。
学情分析
一、学生已具备的知识基础
知识储备：已掌握轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等公理，理解全等三角形的判定与性质，能进行简单的几何推理。
能力水平：能通过观察图形发现简单的等量关系和位置关系，但对复杂实际问题的抽象建模能力不足；会使用直尺和圆规进行基本作图，但将作图与问题解决结合的能力有待提升。
学习特点：对生活中的最短路径现象兴趣较高，但难以将其与轴对称、平移等知识联系起来，对“为什么这样走最短”的推理过程理解困难。
二、学生需要补充的知识与技能
模型识别能力：强化对“两点一线”“两线两点“等基本模型的认识，能从实际问题中提取关键要素(定点、动点、直线).
转化技能：掌握“作对称点”“平移点”的方法，理解转化的依据，明确转化前后路径的等价性.
推理严谨性：在验证最短路径时，需通过“三角形两边之和大于第三边“等公理进行证明，避免仅依赖直观感受，培养逻辑推理能力.
重点难点
一、教学重点
最短路径问题的基本模型及解决方法；利用轴对称和平移将最短路径问题转化为线段问题.
二、教学难点
理解转化的原理；复杂情境下的模型构建.
核心素养目标
核心素养维度 具体目标描述
几何直观 通过教材探究和几何画板演示，能直观描述最短路径的几何特征，理解“化折为直”的转化过程
空间观念 能想象图形的对称和平移变换，解释最短路径问题中对称点或平移点的位置关系
推理能力 能模仿教材中的证明过程，用“两点之间线段最短“等公理推导最短路径的合理性，写出规范的推理链条
应用意识 能运用最短路径的解决方法解决实际问题
模型思想 能将实际问题抽象为“两点一线”“两线两点”等几何模型，运用转化方法解决问题
教学方法
实验探究法、讲授法、讨论法、练习法.
教学流程
教学环节 主要内容
情境导入 展示生活中最短路径的实例，引出问题：“如何用数学方法找到最短路径 ”
探究新知 实验探究：分组探究牧马饮水问题，通过测量比较发现最短路径与对称点的关系；证明原理：引导学生用轴对称性质和线段公理证明最短路径的合理性；模型拓展；探究造桥选址问题，利用平移转化问题
巩固练习 基础题：解决教材中的牧马饮水问题变式；提高题：处理造桥选址的简单案例
课堂小结 回顾最短路径问题的基本模型和解决方法，对比不同模型的转化策略、强调转化思想的应用
拓展延伸 布置任务：设计从学校到家里的最短路径方案，并用几何知识说明理由
教学过程
一、情境导入(生活中的最短路径)
【教师活动】
1.多媒体展示教材中“牧民饮马”情境图，提问：“牧民从A地出发，到河边l饮马后到B地，走哪条路最近 地图上两个地点之间，为什么直线距离最短 ”
2.引导学生回忆：“学过哪些与‘最短’相关的公理 ”(两点之间，线段最短；垂线段最短)
3.追问：“如果路径不是直线，而是折线，如何找到最短的折线 ”
【学生活动】
1.观察图片后小组讨论，结合生活经验回答：“两点之间直线最短，但如果有障碍物，需要绕路时，可能要找折线路径.”
2.动手操作：在纸上画两点A，B和一条直线l(代表河边)，尝试画出从A到l再到B的几条折线，用刻度尺测量长度，初步猜想最短路径的特征.
设计意图 通过生活情境和动手操作，建立“最短路径”与已有知识的联系，激发探究兴趣，为后续学习铺垫认知基础，
二、探究新知(最短路径问题的解决方法)
活动1：探究“两点在直线同侧”的最短路径(牧马饮水问题)
【教师活动】
1.明确问题:“点A,B在直线l同侧,在l上找一点C,使AC+CB最短.”
2.分组实验：提供画有A，B和I的图纸，要求每组画出3种不同的点C，测量.AC+CB的长度，记录数据：
点 C 的位置 AC+CB 的长度(cm)
3.引导思考：“观察数据，最短的AC+CB对应的点 C有什么特点 如何找到这个点 ”
4.提示：“如果点A，B在l异侧，最短路径是什么 能否将同侧问题转化为异侧问题 ”(利用轴对称)
【学生活动】
1.测量后发现，当点 C 的位置变化时，AC+CB的长度也变化，存在一个最小值.
2.小组讨论后尝试：作点A关于I的对称点A'，连接A'B交l于点C，测量，AC+CB的长度，发现此时长度最短，
3.初步结论：“作A 的对称点A',A'B与l的交点C 即为所求点.”
设计意图 通过实验探究，让学生亲历“测量→发现→猜想”的过程，直观感知对称点在解决最短路径问题中的作用，培养实验探究能力。
活动2：证明“牧马饮水问题”的最短路径
【教师活动】
1.将实验结论转化为数学命题：“点A，B在直线l同侧，点A'是A关于l的对称点，A'B交I于点C，则AC+CB最短.”
2.引导学生画出图形，写出已知和求证：
已知：点A，B在直线l同侧，A'是A关于l的对称点，A'B交l于点C，C'是l上另一点.
求证：AC+CB3.分析证明思路：
根据轴对称性质，可得.AC=A'C,AC'=A'C',
则.AC+CB=A'C+CB=A'B,AC'+C'B=A'C'+C'B.
依据“两点之间，线段最短”，A'B【学生活动】
1.在练习本上独立画出图形，写出已知、求证.
2.模仿教师步骤完成证明，重点标注“轴对称性质”“线段公理”等依据.
3.小组讨论：“如果作点B的对称点，能否得到同样的结论 ”(能，方法类似)
设计意图 将实验结论上升为定理，通过严蓬证明强化逻辑推理，规范“几何证明”的书写格式，街接教材对最短路径问题的推理要求。
活动3：探究“造桥选址问题”
【教师活动】
1.提出问题：“A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥与河岸垂直，使从A到 B 的路径AMNB 最短，桥应造在何处 ”
2.引导分析：“桥的长度是固定的(河宽)，路径AMNB的长度=AM+MN+NB，要使总长度最短，需使AM+NB 最短.如何转化 ”(将点A沿与河岸垂直的方向平移河宽的距离到点A'，连接A'B交河岸于点 N，此时 MN为所求桥的位置)
3.示范转化过程：
步骤1：过点A 作河岸的垂线，在垂线上截取A4'等于河宽；
步骤2；连接.A'B交对岸于点N；
步骤3：过点N作河岸的垂线，交另一岸于点M，MN即为桥的位置.
4.证明:“路径AMNB 的长度:=AM+MN+NB=A'N+MN+NB=A'B+MN,,由于 MN是定值,A'B最短，故总路径最短.”
【学生活动】
1.用尺规作图完成造桥选址过程，在练习本上画出图形，保留作图痕迹.
2.同桌互相检查：“平移方向是否正确 桥是否与河岸垂直 ”
3.尝试证明所确定的路径是最短的，结合平移性质和线段公理进行推理.
设计意图 通过造桥选址问题，拓展最短路径问题的模型，让学生理解平移在转化问题中的作用，培养知识迁移能力和模型构建能力.
三、巩固练习(分层训练)
基础题：教材活动二任务1
牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A地，怎样走路径最短
【教师活动】
1.引导分析：“这是一个闭合路径问题，可转化为两次最短路径问题，分别作A关于草地和河边的对称点，连接对称点与两边的交点即为所求.“
2.结论：“作A 关于草地的对称点A'，关于河边的对称点A",连接A'A''交草地于 B，交河边于 C,则A→B→C→A 为最短路径.”
【学生活动】
1.尺规作图：作出对称点，确定路径.
2.验证：测量路径长度、与其他路径比较，确认最短.
设计意图 通过基础练习，巩固利用轴对称解决最短路径问题的方法，强化对称点的作法和应用，培养学生的作图技能和推理能力，
提高题：
A，B两村之间有两条平行的河，现要在两条河上各造一座桥、桥与河岸垂直，使从A到B的路径最短，桥应造在何处
【教师活动】
提示：“先将点A 沿第一条河的河岸垂直方向平移其河宽到点A',，再将点A'沿第二条河的河岸垂直方向平移其河宽到点 A”，连接.A''B交第二条河的对岸于点 N，依次确定两座桥的位置.”
【学生活动】
1.独立完成作图，写出作图步骤.
2.小组讨论：“为什么要进行两次平移 每次平移的目的是什么 ”
设计渔图 结合两条河的情境，拓展造桥选址问题的复杂度，让学生掌握多次平移的转化方法，提升问题解决能力.
四、课堂小结(知识结构化)
【教师活动】
引导学生回顾：
最短路径问题的基本模型有哪些 (两点在直线同侧、异侧，造桥选址)
解决最短路径问题的核心思想是什么 (转化思想，化折为直)
常用的转化方法有哪些 (轴对称、平移)
【学生活动】
同桌互述知识点，用自己的话解释“如何将最短路径问题转化为直线问题”.
设计意图 构建“模型-方法-依据-应用”的知识体系，明确不同模型的解决策略，深化对转化思想的理解.
五、拓展延伸(实践应用)
【教师活动】
布置任务：“如图，学校要在校园内建一个凉亭，使凉亭到教学楼A、实验楼B 的距离之和最短，且到两条交叉的校园主干道的距离相等，如何确定凉亭的位置 请写出方案并说明依据.”
【学生活动】
1.独立思考后小组讨论，形成解决方案：“先作两条主干道夹角的角平分线(到两边距离相等)，再作A关于角平分线的对称点.A',连接A'B交角平分线于点 P，P即为凉亭位置.”
2.解释依据：“角平分线上的点到两边距离相等，对称点转化使A'P=AP,A'B为最短距离，故点 P 满足条件.”
设计意图通过实际问题，检验学生将复杂问题转化为几何模型的能力，强化对最短路径问题解决方法的综合应用，提升抽象思维和问题解决能力。
板书设计
综合与实践 最短路径问题
一、基本模型与解决方法
1.两点在直线同侧：作对称点→连线段→找交点
2.造桥选址问题：平移点→连线段→定桥位
二、转化思想
化折为直(轴对称、平移)
教学反思与改进
一、教学反思
1.目标达成；大部分学生能理解最短路径问题的基本模型，会用轴对称解决两点在直线同侧的问题，但少部分学生在造桥选址问题中对平移的距离和方向把握不准；部分学生能进行简单的推理证明，但对“为什么这样转化”的理解不够深刻，推理过程不够规范.
2.教学效果：通过生活情境引入和实验探究，学生对最短路径问题的直观认识较充分；结合教材例题，强化了转化思想的应用.但对不同模型的对比分析不够，学生在复杂情境中容易混淆转化方法；推理证明的示范时间不足，导致部分学生书写不规范.
二、改进措施
1.技能强化；增设“模型对比”专项练习，列出不同模型的特点和转化方法，帮助学生区分.加强推理证明的分步指导，提供规范的证明模板，让学生模仿后独立书写.
2.评价调整：作业中增加“方案设计“类题目，鼓励学生用多种方法解决问题，并比较优劣。课堂评价侧重”转化思路的合理性”，重点点评学生对转化依据的阐述.

展开更多......

收起↑