资源简介

3 勾股定理的应用
教学设计
教材分析
一、在章节以及数学教学体系的地位与作用
本课时承接“一定是直角三角形吗”，是对定理内涵的深化与外延的拓展，也是本章教学的核心应用环节。从数学知识体系来看，其“承上”体现在巩固勾股定理的基本内容及证明方法
等知识；“启下”则为后续学习实数、解直角三角形、立体几何、二次函数等内容奠定基础。
二、核心学习内容
核心知识点：勾股定理的直接应用；勾股定理的逆定理的简单应用；利用勾股定理解决实际情境中的距离、高度等问题。
技能点：能从实际问题中抽象出直角三角形模型，准确标注已知量与未知量；能区分直角边与斜边，正确运用勾股定理公式进行计算；能运用逆定理判断三角形形状。
关键问题：如何将实际问题转化为直角三角形问题？勾股定理与逆定理的适用条件有何区别？
三、数学思想方法
数形结合思想：通过画图将抽象的数量关系直观化，如用线段长度表示实际距离，用直角符号标注垂直关系。
模型思想：将实际问题转化为“直角三角形边长计算”模型，体现“问题情境一数学抽象一模型建立一求解验证”的建模流程。
转化思想：将非直角三角形问题转化为直角三角形问题
学情分析
一、学生已具备的知识基础
知识储备：学生已学习勾股定理的内容及证明方法，掌握了直角三角形的基本性质。此外，学生能识别简单几何图形中的直角关系。
学习能力水平：学生已具备初步的抽象逻辑思维能力，但仍需依赖直观形象支撑；运算能力较强，但复杂计算易因粗心出错；自主学习能力处于发展阶段，能独立完成简单问题，但复杂问题需教师引导；合作学习能力基本具备，能参与小组讨论，但部分学生表达不够清晰。
学习兴趣与态度：学生对与生活相关的数学问题兴趣较高，对纯计算题兴趣较低；好奇心强，喜欢通过动手操作、观看动画演示理解问题；学习动机多为“解决问题的成就感”，但对“数学思想方法”的价值认识不足。
二、学生需要补充的知识与技能
知识漏洞：从实际情境中难以抽象直角三角形模型；勾股定理与逆定理区分不开。
补充策略：采用“问题情境具象化”教学，先展示实物，再引导学生用“数学符号”标注，最后抽象出直角三角形示意图。设计对比题组，引导学生总结。
重点难点
一、教学重点
勾股定理在实际问题中的应用；勾股定理的逆定理的应用
二、教学难点
将实际问题转化为直角三角形模型
核心素养目标
核心素养 学习目标
运算能力 能准确运用勾股定理公式(a +b =c )计算直角三角形第三边
几何直观 能从实际问题中画出直角三角形示意图,标注已知边和未知边,通过图形直观理解数量关系
推理能力 能运用勾股定理递定理判断三角形是否为直角三角形,经历“我最大边—算平方和—比较大小—得出结论”的推理过程
模型观念 能将实际问题转化为“直角三角形边长计算”模型,理解数学模型在解决实际问题中的作用
应用意识 能运用勾股定理解决生活中的简单问题,体会数学与生活的联系
创新意识 能探索解决同一问题的不同方法,比较并选择最优解法,培养多角度思考能力
教学方法
讲授法、探究法、讨论法、演示法、练习法
教学流程
教学环节 主要内容
情境导入 以装修工人检测瓷砖边垂直的问题引入，引发学生思考“只用卷尺如何判断垂直”
探究新知 讨论用卷尺检测垂直的方法；探索短刻度尺的检测策略；解决正方形翻折问题
巩固练习 解决《九章算术》“葭生池”问题，完成随堂练习
课堂小结 梳理勾股定理应用的场景
拓展延伸 解决“折竹抵地”古代数学问题
教学过程
一、情境导入：装修中的数学问题——如何检测垂直？
[教师活动]
展示装修工人铺瓷砖的现场图片(或视频片段)，讲解场景：装修工人李叔叔需要检测瓷砖的边 是否垂直于底边 ，但他只带了卷尺，该怎么办呢？提出问题：你能帮李叔叔想个办法吗？引导学生观察瓷砖的形状(长方形)，回忆直角三角形的判定方法。
[学生活动]
观察图片，结合生活经验思考，小组内交流想法。有的学生可能会说“用直角三角板量”，但教师强调“只有卷尺”；有的学生联想到“勾股定理的逆定理”，提出“测量 的长度，看是否满足 ”。
设计意图
用真实的生活场景激活学生的已有经验，引发认知冲突，自然引入勾股定理的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
二、探究新知：勾股定理的应用场景与方法
环节1：用卷尺检测垂直——验证逆定理的应用
[教师活动]
明确探究任务：如果李叔叔测得 ，能判断 吗？请学生小组合作，计算并验证。2.巡视各组，关注学生的计算过程（如 ），引导学生说出“满足勾股定理的逆定理，所以是直角三角形”。3.总结方法：要判断两条边是否垂直，可测量它们的长度及斜边长度，验证是否满足 。
[学生活动]
小组内分工计算，一人算 ，一人算 ，一人算 ，然后比较和。得出结论： ，所以 。派代表展示计算过程，其他小组补充。
设计
意图
通过具体数据验证，让学生掌握用勾股定理逆定理检测垂直的方法，体会“数”与“形”的结合，培养严谨的逻辑推理能力。
环节2：短刻度尺的挑战——灵活运用勾股数
[教师活动]
提出新问题：如果李叔叔只带了 的刻度尺，无法直接测量 的 ，该怎么检测？引导学生思考：勾股数有什么特点？能不能用比例缩小的方法？例如，在 上量取 上量取 ，连接两点，若长度为 ，则说明 。
[学生活动]
小组讨论，尝试提出“比例法”。有的学生可能会说“量取 的一部分和 的一部分，看它们的斜边是否符合勾股数”。教师引导学生用具体数值验证，学生动手模拟测量（用直尺在纸上画），确认方法的可行性。
设计
意图
培养学生的灵活思维，让学生意识到勾股数的比例特性可以解决实际限制（如刻度尺长度不够），提升问题解决的灵活性。
环节3：正方形翻折问题——方程思想的应用
[教师活动]
展示正方形纸片翻折的问题（图1- 17）：正方形ABCD边长为 ，点 是 中点，将点 翻折到点 处，折痕交边 于点 ，交边 于点 ，求 的长。引导学生分析翻折的性质：翻折后， 。设 ，则 。在 中， ，根据勾股定理列方程： 。
[学生活动]
画图理解翻折过程，标记已知量（ ）。
设 ，尝试用代数式表示 和 。
在 中，根据勾股定理列方程： 。展开方程： ，化简得 ，解得 。
小组内交流解方程的过程，派代表展示，教师点评。
设计
通过翻折问题，让学生体会“几何图形转化为直角三角形”的方法，培养方程思想（用代数方法解决几何问题），提升综合应用能力。
三、巩固练习：从古代到现代的应用
[教师活动]
出示《九章算术》中的“葭生池”问题（例）：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”引导学生画图[正方形水池，中心到岸5尺，水深 尺，葭长 尺]，列方程 。
完成教材第14页随堂练习：五根小木棒长度分别为7，15，20，24，25，摆成两个直角三角形，哪个图形正确？引导学生识别勾股数（ )，判断图形(2)正确。
[学生活动]
解决“葭生池”问题：画图，设水深 尺，葭长 尺，列方程解得 ，葭长13尺。
完成随堂练习：计算每组数的平方和，判断是否满足勾股定理，得出图形(2)正确。
设计
意图
通过古代数学问题，感受数学文化的传承；通过随堂练习，巩固勾股数的识别和逆定理的应用，提升解决实际问题的能力。
四、课堂小结：勾股定理的应用清单
[教师活动]
提出问题：“今天我们学习了勾股定理的哪些应用？解决这些问题用了什么方法？”引导学生总结：
应用场景：检测垂直(装修)、解决折叠问题(正方形)、古代数学问题(葭生池)。
解决方法：转化为直角三角形、用勾股定理逆定理、设未知数列方程。
[学生活动]
回顾课堂内容，积极发言，补充完善总结。例如，学生说：检测垂直用了逆定理，折叠问题用了方程，古代问题也是方程。
设计
意图
梳理知识脉络，构建完整的知识体系，培养归纳总结能力，让学生明确勾股定理的应用价值。
五、拓展延伸：古代数学与生活的联结
[教师活动]
出示“折竹抵地”问题（选自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺。问折者高几何？引导学生画图[竹高10尺，折后顶端距根3尺，设折断处高 尺，则折断部分的长度为 尺，列方程 0
[学生活动]
尝试解决“折竹抵地”问题，列方程解得
设计
拓展学生的思维：让学生体会古代数学问题与现代生活的联系，提升综合应用能力，激发对数学文化的兴趣。
板书设计
3 勾股定理的应用
一、核心知识点：勾股定理（逆定理）的实际应用
二、总结：应用勾股定理的步骤
建模（转化为直角三角形）；2.设元；3.列方程；4.求解
教学反思与改进
一、教学反思
目标达成情况： 学生掌握卷尺验证垂直的步骤， 对短刻度尺比例法理解不深； 能完成折叠问题的设元与列方程， 因找不到折叠后等量关系出错；例题中 能正确列方程， 忽略单位转换。
教学方法效果：装修工人检测瓷砖的情境导入激发学生兴趣，可小组讨论“短刻度尺方法”时部分小组偏离主题，耗时过长；“生池中”例题教师讲解过多，学生自主尝试时间不足。
二、改进措施
目标与内容调整：设置分层目标，基础层掌握卷尺验证法，提高层掌握短刻度尺比例法，拓展层解决折叠与应用问题；补充折叠性质前置复习和单位转换复习。
教法优化：明确小组讨论方向并设时间提醒，缩短无效环节；例题讲解先让学生自主尝试画图，再引导列方程；增加互动实操，让学生用刻度尺模拟验证垂直。

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