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6.3　对数函数
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
学习任务 核心素养
1．理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数的图象和性质．(重点) 3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点) 4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 1．通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养． 2．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 3．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算素养．
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系吗？
知识点1　对数函数的概念
一般地，函数________________________叫作对数函数，它的定义域是_____________．
1．函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R． (　　)
(2)y＝log2x2不是对数函数． (　　)
知识点2　对数函数的图象与性质
a>1 0图 象
性 质 定义域：_____________
值域：___
图象过定点__________
在_____________上是增函数； 当_________时，y<0； 当______时，y>0 在_____________上是减函数； 当01时，______
2．对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(1)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　 　　 B．
C．　 　　 D．
(2)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
知识点3　反函数
(1)对数函数__________(a>0，a≠1)和指数函数_______(a>0，a≠1)互为________，它们的图象关于______对称．
(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝___________．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域．
3．y＝2x的反函数为________．
类型1　对数函数的概念
【例1】判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2(x－1)；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x．
[跟进训练]
1．(1)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(2)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f＝________．
类型2　与对数函数有关的定义域问题
【例2】【链接教材P154例1】
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln (x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；
(4)f(x)＝ln (1－2x)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　比较对数式的大小
【例3】【链接教材P154例2】
比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
与；
(3)log23与log54．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
[跟进训练]
3．比较下列各组值的大小：
；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)下列函数不是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)(a>0且a≠1)
B．y＝log2x
C．y＝
D．y＝log2x＋1
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．函数y＝ln x的增区间是________，反函数是________．
4．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
5．(教材P157练习T2改编)函数f(x)＝的定义域是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断一个函数是否为对数函数的关键是什么？
2．涉及对数函数定义域问题常从哪两个方面考虑？
1 / 66.3　对数函数
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
学习任务 核心素养
1．理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数的图象和性质．(重点) 3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点) 4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 1．通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养． 2．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 3．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算素养．
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系吗？
知识点1　对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
1．函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R． (　　)
(2)y＝log2x2不是对数函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
知识点2　对数函数的图象与性质
a>1 0图 象
性 质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)
在(0，＋∞)上是增函数； 当01时，y>0 在(0，＋∞)上是减函数； 当00； 当x>1时，y<0
2．对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”，当02．(1)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　 　　 B．
C．　 　　 D．
(2)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(1)A　(2)(－1，＋∞)　[(1)由题图可知，a>1．
(2)由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
知识点3　反函数
(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f-1(x)．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域．
3．y＝2x的反函数为________．
y＝log2x　[由y＝2x得x＝log2y，以x换y得y＝log2x，故y＝2x的反函数为y＝log2x．]
类型1　对数函数的概念
【例1】判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2(x－1)；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
[解]　(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数．
(2)中真数不是自变量x，∴不是对数函数．
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数．
(4)中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
　一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x．
[跟进训练]
1．(1)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(2)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f＝________．
(1)4　(2)－1　[(1)由题意
解得a＝4．
(2)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x．
∴f＝log2＝－1．]
类型2　与对数函数有关的定义域问题
【例2】【链接教材P154例1】
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln (x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；
(4)f(x)＝ln (1－2x)．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则＋1>0，即 >－1，解得0即函数f(x)的定义域为(0，2)．
(2)要使函数式有意义需满足
即解得－1故函数的定义域为(－1，2)．
(3)由题意得解得故函数的定义域为．
(4)由题意知解得0≤x<，即函数的定义域为．
【教材原题·P154例1】
例1求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.2(4－x)；
(2)y＝loga．
解：(1)当4－x>0，即x<4时，log0.2(4－x)有意义；
当x≥4时，log0.2(4－x)没有意义．
因此，函数y＝log0.2(4－x)的定义域是(－∞，4)．
(2)当>0，即x>1时，loga有意义；
当x≤1时，loga没有意义．
因此，函数y＝loga的定义域是(1，＋∞)．
　求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝．
[解]　(1)由题知解得x>1且x≠2，
∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由
得 0≤x<1．
∴函数的定义域为[0，1)．
(3)由题知
∴x>1且x≠2．
故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4)由题知
当a>1时，－a<－1，
由①得x＋a∴f(x)的定义域为{x|－a当0由①得x＋a>a，
∴x>0，
∴f(x)的定义域为{x|x>0}．
综上，
当0当a>1时，f(x)的定义域是(－a，0)．
类型3　比较对数式的大小
【例3】【链接教材P154例2】
比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
与；
(3)log23与log54．
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，
所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于＝＝，
又因为对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，
所以．
法二(图象法)：
如图，在同一坐标系中分别画出y＝及y＝的图象，由图易知：
．
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
【教材原题·P154例2】
例2比较下列各组数中两个数的大小：
(1)log23.4，log23.8；
(2)log0.51.8，log0.52.1；
(3)log75，log67．
解：(1)考察对数函数y＝log2x．
因为2>1，
所以y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数．
又因为0<3.4<3.8，
所以log23.4(2)考察对数函数y＝log0.5x．
因为0<0.5<1，
所以y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上是减函数．
又因为0<1.8<2.1，
所以log0.51.8>log0.52.1．
(3)考察对数函数y＝log7x．
因为7>1，
所以y＝log7x在区间(0，＋∞)上是增函数．
又因为0<5<7，
所以log75同理log67>log66＝1，
所以log75　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
[跟进训练]
3．比较下列各组值的大小：
；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8．
[解]　(1)因为函数y＝是减函数，且0.5<0.6，所以．
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4．
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8所以log3π>log20.8．
1．(多选题)下列函数不是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)(a>0且a≠1)
B．y＝log2x
C．y＝
D．y＝log2x＋1
AD　[只有B、C符合对数函数的特征．]
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1．由对数函数的性质可知log523．函数y＝ln x的增区间是________，反函数是________．
(0，＋∞)　y＝ex　[y＝ln x的底数为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，其反函数为y＝ex．]
4．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(2，1)　[函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
可令解得即P(2，1)．]
5．(教材P157练习T2改编)函数f(x)＝的定义域是________．
(－1，1)∪(1，＋∞)　[由 x>－1且x≠1，所以定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断一个函数是否为对数函数的关键是什么？
[提示]　分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
2．涉及对数函数定义域问题常从哪两个方面考虑？
[提示]　真数和底数两个角度．
课时分层作业(二十七)　对数函数的概念、图象与性质
一、选择题
1．给出下列函数，其中是对数函数的为(　　)
A．y＝x2 B．y＝log3(x－1)
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
D　[A，B不是对数函数，因为对数的真数不是x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数．故选D． ]
2．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(　　)
A．[－3，1]
B．(－3，1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D　[要使f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1．
所以函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)和(8，2)，则a＋b的值是(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
C　[∵f(x)＝loga(x＋b)的图象过点(2，1)和(8，2)，
∴∴
解得∴a＋b＝4．]
4．设函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
B　[∵f(－2)＝1＋log24＝3，∴f(f(－2))＝f(3)＝22＝4．故选B．]
5．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　)
A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
A　[在题图中作出直线y＝1(图略)，则1＝logax1，1＝logbx2，1＝logcx3，1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2＞x1＞1＞x4＞x3，即c＜d＜1＜a＜b，故选A．]
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________，定义域为________．
(0，2)　　[令得即f(x)必过定点(0，2)．
由题意知，2x＋1>0，即x>－，
所以定义域为．]
7．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________．
a>b>c　[a＝log36＝log32＋1，b＝log510＝log52＋1，c＝log714＝log72＋1，
∵log32>log52>log72，
∴a>b>c．]
8．函数f(x)＝log2的定义域是________．
(－1，0]　[由对数的真数大于 0 ，及二次根式内非负，得>0且－1≥0，
解得－1三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg (x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解]　(1)由题知 x>2且x≠3，
故f(x)的定义域为{x|x>2且x≠3}．
(2)由题知 －1故f(x)的定义域为{x|－110．(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log20.25，log20.3；
(2)．
[解]　(1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且0.25<0.3，所以log20.25(2)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且1<3.5<4.5，所以0．
11．已知点(m，n)在函数y＝lg x的图象上，则下列各点也在该函数的图象上的是(　　)
A．(m2，2n) B．(10m，10n)
C．(m＋10，n＋1) D．
A　[∵点(m，n)在函数y＝lg x的图象上，∴lg m＝n．
当x＝m2时，lg x＝lg m2＝2lg m＝2n，∴点(m2，2n)也在该函数的图象上，故A符合题意；
当x＝10m时，lg x＝lg (10m)＝1＋lg m＝n＋1，故B不符合题意；
当x＝m＋10时，lg (m＋10)≠n＋1，故C不符合题意；
当x＝时，lg ＝lg m－1＝n－1，故D不符合题意．
故选A．]
12．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga的图象可能是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　D
D　[当01时，函数y＝ax过定点(0，1)且是增函数，则函数y＝过定点(0，1)且是减函数，函数y＝loga过定点且是增函数，各选项均不符合．综上，故选D．]
13．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．
　[易知f(x)＝loga x，则loga ＝，
＝，∴a2＝2，∴a＝．]
14．函数f(x)＝lg 的奇偶性为______．若函数g(x)＝lg (2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围为________．
奇函数　(8，＋∞)　[f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数．
由g(x)的定义域为R，所以2x2－8x＋m>0在R上恒成立．
令Δ＝82－4×2×m<0，得m>8．]
15．若不等式x2－logm x<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　由x2－logmx<0，得x2要使x2只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm ＝，
∴，即m≥．
又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是．
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