资源简介 7.1.2 弧度制学习任务 核心素养1.了解弧度制的含义和引入弧度制的意义. 2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点) 3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点) 1.通过对弧度制概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助弧度制与角度制的换算,提升数学运算素养.在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的?在弧长公式中,角α是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫作什么制?除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外,我们有没有其他的方式来度量角呢?知识点1 弧度制的概念(1)角度制:规定周角的__为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.(2)弧度制:把长度等于______长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作________,用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.比值与所取的圆的半径大小是否有关?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大. ( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. ( )(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度. ( )知识点2 角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°=____ rad 2π rad=_______180°=___ rad π rad=_______1°=__rad≈0.017 45 rad 1 rad=__度≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度 0° 1° 30° 45° 60° 90°弧度 0角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度 π 2π(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是______,负角的弧度数是______,零角的弧度数是___.3.角度制与弧度制之间如何进行换算?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.将下列弧度与角度互化.(1)化为角度为________;(2)105°化为弧度为________.知识点3 扇形的弧长公式及面积公式(1)弧度制下的弧长公式:如图,l是圆心角α所对的弧长,r是半径,则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|=__,弧长l=________.特别地,当r=1时,弧长l=_______.(2)扇形面积公式:在弧度制中,若|α|≤2π,则半径为r,圆心角为α的扇形的面积为S=·πr2=____.(3)引入弧度制的意义角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系,即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都对应唯一的一个实数;反过来,每一个实数也都对应唯一的一个角.3.半径为1,圆心角为的扇形的弧长为________,面积为________.类型1 角度制与弧度制的互化【例1】【链接教材P173例3、例4】把下列弧度化成角度或角度化成弧度:(1)-450°;(2);(3)-;(4)112°30′.[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 角度制与弧度制换算的要点提醒:角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再把角度化成弧度.[跟进训练]1.将下列角度与弧度进行互化.(1)π;(2);(3)-1 440°;(4)67°30′._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图所示).[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.提醒:角度制与弧度制不能混用.[跟进训练]2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界),并判断2 024°是不是这个集合的元素._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 扇形的弧长及面积问题【例3】【链接教材P174例5】已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略:①明确弧度制下扇形弧长公式l=|α|r,扇形的面积公式S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角,r是扇形的半径).②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(2)注意点:①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.②看清角的度量制,选用相应的公式.③扇形的周长等于弧长加两个半径长.[跟进训练]3.已知扇形OAB的周长是10 cm,面积为4 cm2,求扇形OAB的圆心角的弧度数._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.(多选题)下列转化结果正确的是( )A.60°化成弧度是B.-π化成度是-600°C.-150°化成弧度是-πD.化成度是15°2.已知α=-2 rad,则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.(教材P176习题7.1T8改编)半径为1,圆心角为的扇形的面积是( )A. B.πC. D.4.若把-570°写成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则α=________.5.若扇形的周长为4 cm,面积为1 cm2,则扇形的半径为________cm,圆心角的弧度数为________.回顾本节知识,自我完成以下问题.1.弧度制与角度制互化公式是什么?2.角度制与弧度制互化的关键与方法是什么?3.若角度中含有分、秒该如何化为弧度?4.在表示终边相同的角时应注意什么问题?1 / 77.1.2 弧度制学习任务 核心素养1.了解弧度制的含义和引入弧度制的意义. 2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点) 3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点) 1.通过对弧度制概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助弧度制与角度制的换算,提升数学运算素养.在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的?在弧长公式中,角α是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫作什么制?除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外,我们有没有其他的方式来度量角呢?知识点1 弧度制的概念(1)角度制:规定周角的为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.(2)弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1_rad,用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?[提示] “1弧度的角”是一个定值,与所在圆的半径大小无关.2.比值与所取的圆的半径大小是否有关?[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大. ( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. ( )(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×知识点2 角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°=2π rad 2π rad=360°180°=π rad π rad=180°1°=rad≈0.017 45 rad 1 rad=度≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度 0° 1° 30° 45° 60° 90°弧度 0角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度 π 2π(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.3.角度制与弧度制之间如何进行换算?[提示] 利用1°=rad≈0.017 45 rad和1 rad=°≈57.30°进行弧度与角度的换算.2.将下列弧度与角度互化.(1)化为角度为________;(2)105°化为弧度为________.(1)252° (2) [(1)π=°=252°.(2)105°=105× rad= rad.]知识点3 扇形的弧长公式及面积公式(1)弧度制下的弧长公式:如图,l是圆心角α所对的弧长,r是半径,则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|=,弧长l=|α|r.特别地,当r=1时,弧长l=|α|.(2)扇形面积公式:在弧度制中,若|α|≤2π,则半径为r,圆心角为α的扇形的面积为S=·πr2=lr.(3)引入弧度制的意义角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系,即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都对应唯一的一个实数;反过来,每一个实数也都对应唯一的一个角.3.半径为1,圆心角为的扇形的弧长为________,面积为________. [∵α=,r=1,∴弧长l=αr=,面积S=lr=×1=.]类型1 角度制与弧度制的互化【例1】【链接教材P173例3、例4】把下列弧度化成角度或角度化成弧度:(1)-450°;(2);(3)-;(4)112°30′.[解] (1)-450°=-450× rad=- rad.(2) rad==18°.(3)- rad=-=-240°.(4)112°30′=112.5°=112.5× rad= rad.【教材原题·P173例3】例3把下列各角从弧度化为度:(1);(2)3.5.解:(1)rad==108°.(2)3.5 rad=3.5×≈200.54°.【教材原题·P173例4】例4把下列各角从度化为弧度:(1)252°;(2)11°15′.解:(1)252°=252× rad= rad.(2)11°15′=11.25°=11.25× rad= rad. 角度制与弧度制换算的要点提醒:角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再把角度化成弧度.[跟进训练]1.将下列角度与弧度进行互化.(1)π;(2);(3)-1 440°;(4)67°30′.[解] (1)π rad=π×=108°.(2) rad==15°.(3)-1 440°=-1 440×rad=-8π rad.(4)67°30′=67.5°=67.5×rad=π rad.类型2 用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图所示).[解] (1).(2).(3). 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.提醒:角度制与弧度制不能混用.[跟进训练]2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界),并判断2 024°是不是这个集合的元素.[解] 因为150°=,所以终边在阴影区域内角的集合为S=.因为2 024°=224°+5×360°= rad,又<<,所以2 024°=∈S.类型3 扇形的弧长及面积问题【例3】【链接教材P174例5】已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[解] (1)由⊙O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,∴α=∠AOB=.(2)由(1)可知α=,r=10,∴弧长l=|α|·r=×10=,∴S扇形=lr=×10=,而S△AOB=·AB·AB=×10×5=25,∴S=S扇形-S△AOB=25.【教材原题·P174例5】例5已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积.解:设扇形的半径为r,弧长为l,则有解得故扇形的面积为S=rl=4(cm2). 弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略:①明确弧度制下扇形弧长公式l=|α|r,扇形的面积公式S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角,r是扇形的半径).②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(2)注意点:①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.②看清角的度量制,选用相应的公式.③扇形的周长等于弧长加两个半径长.[跟进训练]3.已知扇形OAB的周长是10 cm,面积为4 cm2,求扇形OAB的圆心角的弧度数.[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r.依题意有由①得l=10-2r,代入②得r2-5r+4=0,解得r1=1,r2=4.当r1=1时,l=8(cm),此时θ=8 rad>2π(舍去),当r2=4时,l=2(cm),此时θ== rad.所以扇形OAB的圆心角的弧度数为 rad.1.(多选题)下列转化结果正确的是( )A.60°化成弧度是B.-π化成度是-600°C.-150°化成弧度是-πD.化成度是15°ABD [对于A,60°=60×rad= rad;对于B,-π rad=-×180°=-600°;对于C,-150°=-150×rad=-π rad;对于D, rad=×180°=15°.故ABD正确.]2.已知α=-2 rad,则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C [α=-2 rad≈-2×57.30°=-114.6°,在第三象限.]3.(教材P176习题7.1T8改编)半径为1,圆心角为的扇形的面积是( )A. B.πC. D.D [S=lr=r2α=×12×=.]4.若把-570°写成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则α=________. [-570°=-=-4π+.]5.若扇形的周长为4 cm,面积为1 cm2,则扇形的半径为________cm,圆心角的弧度数为________.1 2 [设扇形所在圆的半径为r cm,扇形弧长为l cm.由题意得解得所以α==2.因此扇形的圆心角的弧度数是2,半径为1 cm.]回顾本节知识,自我完成以下问题.1.弧度制与角度制互化公式是什么?[提示] 1 rad=°,1°= rad.2.角度制与弧度制互化的关键与方法是什么?[提示] 关键:抓住互化公式π rad=180°,方法:度数×=弧度数,弧度数×°=度数.3.若角度中含有分、秒该如何化为弧度?[提示] 应先将分、秒化成度,再化成弧度.4.在表示终边相同的角时应注意什么问题?[提示] 角度与弧度不能混用.在表示角时要么全部用弧度制,要么全部用角度制.课时分层作业(三十) 弧度制一、选择题1.1 920°转化为弧度数为( )A. B.C. D.D [1 920°=5×360°+120°= rad= rad.]2.下列各角中与-终边相同的是( )A.- B.C. D.C [∵-=-6π+,∴-与终边相同.]3.已知扇形的弧长是4 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1 B.2C.4 D.1或4C [因为扇形的弧长为4,面积为2,所以扇形的面积为×4×r=2,解得r=1,则扇形的圆心角的弧度数为=4.故选C.]4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C DC [当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C.]5.希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学,特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=,AC=BC=1,则该月牙形的面积为( )A. B.C. D.A [由已知可得AB=,△ABC的外接圆半径为1,由题意,内侧圆弧为△ABC的外接圆的一部分,且其对应的圆心角为,则弓形ABC的面积为×12×=,外侧的圆弧以AB为直径,所以半圆AB的面积为×π×=,则月牙形的面积为=.]二、填空题6.已知角α的终边与的终边相同,在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为________.π,π [由题意得α=2kπ+(k∈Z),故=(k∈Z),又因为0≤<2π,所以当k=0,1,2时,有=π,π满足题意.]7.已知角2α的终边在第一象限,则角α的取值集合用弧度制表示为________. [因为角2α的终边在第一象限,所以2kπ<2α<2kπ+,k∈Z,所以kπ<α所以角α的取值集合为.]8.已知扇形OAB的圆心角为π,周长为5π+14,则扇形OAB的面积为________. [设扇形的半径为r,圆心角为π,∴弧长l=πr,∵扇形的周长为5π+14,∴πr+2r=5π+14,解得r=7,由扇形的面积公式得扇形OAB的面积为π×r2=π×49=.]三、解答题9.已知角α=2 010°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角.[解] (1)2 010°=2 010×==5×2π+,又π<<,∴α与终边相同,是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写成γ=+2kπ(k∈Z),又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-π;当k=-2时,γ=-π;当k=-1时,γ=-π.故在[-5π,0)内与α终边相同的角有-,-,-.10.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分的角的集合.[解] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成.故满足条件的角的集合为.(2)若将终边为OA的一个角改写为-,此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成,故满足条件的角的集合为.(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到,所以满足条件的角的集合为.(4)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分,所以满足条件的角的集合为.11.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转,则从动轮N逆时针旋转( )A. B. C. D.πB [设从动轮N逆时针旋转θ,由题意,知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等,所以=×θ,解得θ=,故选B.]12.如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=,则劣弧的长为( )A. B.πC. D.A [如图,连接AO,OB.因为∠ACB=,所以∠AOB=,△AOB为等边三角形,故圆O的半径r=AB=4,劣弧的长为·r=.]13.中国扇文化有着深厚的文化底蕴,文人雅士喜在扇面上写字作画.现有一幅扇面,其尺寸如图所示,则该扇面的面积为________cm2.704 [如图,设∠AOB=θ,OA=OB=r,由题意可得解得r=,所以S=S扇形OCD-S扇形OAB=×64××24×=704 cm2.]14.已知一扇形的圆心角为 rad,半径为R,则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________.2∶3 [设扇形内切圆的半径为r,∵扇形的圆心角为,半径为R,∴S扇形=R2=R2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上,∴R=r+2r=3r,∴r=.∵S内切圆=πr2=R2,∴S内切圆∶S扇形=R2∶R2=2∶3.]15.如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.[解] 所在的圆半径是2 dm,圆心角为;所在的圆半径是1 dm,圆心角为;所在的圆半径是 dm,圆心角为,所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,即2×+1×=(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+×1+=(dm2).1 / 14 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第7章 7.1 7.1.2 弧度制 讲义(学生版).docx 第7章 7.1 7.1.2 弧度制(教师版).docx