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7.1.2　弧度制
学习任务 核心素养
1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义． 2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点) 3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养．
在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？
知识点1　弧度制的概念
(1)角度制：规定周角的__为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．
(2)弧度制：把长度等于______长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作________，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
1．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．比值与所取的圆的半径大小是否有关？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　)
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　)
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　)
知识点2　角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝____ rad 2π rad＝_______
180°＝___ rad π rad＝_______
1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝__度≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度 0° 1° 30° 45° 60° 90°
弧度 0
角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 π 2π
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是______，负角的弧度数是______，零角的弧度数是___．
3．角度制与弧度制之间如何进行换算？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．将下列弧度与角度互化．
(1)化为角度为________；
(2)105°化为弧度为________．
知识点3　扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝__，弧长l＝________．特别地，当r＝1时，弧长l＝_______．
(2)扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝____．
(3)引入弧度制的意义
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．
3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为________，面积为________．
类型1　角度制与弧度制的互化
【例1】【链接教材P173例3、例4】
把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　角度制与弧度制换算的要点
提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．
[跟进训练]
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)π；(2)；(3)－1 440°；(4)67°30′．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　用弧度制表示角的集合
【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
2．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 024°是不是这个集合的元素．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　扇形的弧长及面积问题
【例3】【链接教材P174例5】
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点
(1)解题策略：
①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)．
②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
(2)注意点：
①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．
②看清角的度量制，选用相应的公式．
③扇形的周长等于弧长加两个半径长．
[跟进训练]
3．已知扇形OAB的周长是10 cm，面积为4 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成度是15°
2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(教材P176习题7.1T8改编)半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　　)
A． B．π
C． D．
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则α＝________．
5．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的半径为________cm，圆心角的弧度数为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．弧度制与角度制互化公式是什么？
2．角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？
3．若角度中含有分、秒该如何化为弧度？
4．在表示终边相同的角时应注意什么问题？
1 / 77.1.2　弧度制
学习任务 核心素养
1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义． 2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点) 3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养．
在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？
知识点1　弧度制的概念
(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．
(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
1．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示]　“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
2．比值与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　)
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　)
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度 0° 1° 30° 45° 60° 90°
弧度 0
角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 π 2π
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
3．角度制与弧度制之间如何进行换算？
[提示]　利用1°＝rad≈0.017 45 rad和1 rad＝°≈57.30°进行弧度与角度的换算．
2．将下列弧度与角度互化．
(1)化为角度为________；
(2)105°化为弧度为________．
(1)252°　(2)　[(1)π＝°＝252°．
(2)105°＝105× rad＝ rad．]
知识点3　扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|．
(2)扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr．
(3)引入弧度制的意义
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．
3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为________，面积为________．
　[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝αr＝，
面积S＝lr＝×1＝．]
类型1　角度制与弧度制的互化
【例1】【链接教材P173例3、例4】
把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′．
[解]　(1)－450°＝－450× rad＝－ rad．
(2) rad＝＝18°．
(3)－ rad＝－＝－240°．
(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad．
【教材原题·P173例3】
例3把下列各角从弧度化为度：
(1)；(2)3.5．
解：(1)rad＝＝108°．
(2)3.5 rad＝3.5×≈200.54°．
【教材原题·P173例4】
例4把下列各角从度化为弧度：
(1)252°；(2)11°15′．
解：(1)252°＝252× rad＝ rad．
(2)11°15′＝11.25°＝11.25× rad＝ rad．
　角度制与弧度制换算的要点
提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．
[跟进训练]
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)π；(2)；(3)－1 440°；(4)67°30′．
[解]　(1)π rad＝π×＝108°．
(2) rad＝＝15°．
(3)－1 440°＝－1 440×rad＝－8π rad．
(4)67°30′＝67.5°＝67.5×rad＝π rad．
类型2　用弧度制表示角的集合
【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
[解]　(1)．
(2)．
(3)．
　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
2．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 024°是不是这个集合的元素．
[解]　因为150°＝，
所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝．
因为2 024°＝224°＋5×360°＝ rad，
又<<，所以2 024°＝∈S．
类型3　扇形的弧长及面积问题
【例3】【链接教材P174例5】
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
[解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝．
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝|α|·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝×10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25．
【教材原题·P174例5】
例5已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有
解得
故扇形的面积为S＝rl＝4(cm2)．
　弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点
(1)解题策略：
①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)．
②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
(2)注意点：
①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．
②看清角的度量制，选用相应的公式．
③扇形的周长等于弧长加两个半径长．
[跟进训练]
3．已知扇形OAB的周长是10 cm，面积为4 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r．依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4．
当r1＝1时，l＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π(舍去)，
当r2＝4时，l＝2(cm)，此时θ＝＝ rad．
所以扇形OAB的圆心角的弧度数为 rad．
1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成度是15°
ABD　[对于A，60°＝60×rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故ABD正确．]
2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[α＝－2 rad≈－2×57.30°＝－114.6°，在第三象限．]
3．(教材P176习题7.1T8改编)半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　　)
A． B．π
C． D．
D　[S＝lr＝r2α＝×12×＝．]
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则α＝________．
　[－570°＝－＝－4π＋．]
5．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的半径为________cm，圆心角的弧度数为________．
1　2　[设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm．
由题意得
解得所以α＝＝2．
因此扇形的圆心角的弧度数是2，半径为1 cm．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．弧度制与角度制互化公式是什么？
[提示]　1 rad＝°，1°＝ rad．
2．角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？
[提示]　关键：抓住互化公式π rad＝180°，
方法：度数×＝弧度数，
弧度数×°＝度数．
3．若角度中含有分、秒该如何化为弧度？
[提示]　应先将分、秒化成度，再化成弧度．
4．在表示终边相同的角时应注意什么问题？
[提示]　角度与弧度不能混用．在表示角时要么全部用弧度制，要么全部用角度制．
课时分层作业(三十)　弧度制
一、选择题
1．1 920°转化为弧度数为(　　)
A． B．
C． D．
D　[1 920°＝5×360°＋120°＝ rad＝ rad．]
2．下列各角中与－终边相同的是(　　)
A．－ B．
C． D．
C　[∵－＝－6π＋，∴－与终边相同．]
3．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．1或4
C　[因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4．故选C．]
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
A　　　　B　　　 　C　　　　　D
C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C．]
5．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则该月牙形的面积为(　　)
A． B．
C． D．
A　[由已知可得AB＝，△ABC的外接圆半径为1，
由题意，内侧圆弧为△ABC的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形ABC的面积为×12×＝，
外侧的圆弧以AB为直径，
所以半圆AB的面积为×π×＝，
则月牙形的面积为＝．]
二、填空题
6．已知角α的终边与的终边相同，在[0，2π)内终边与角的终边相同的角为________．
π，π　[由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，
故＝(k∈Z)，
又因为0≤<2π，所以当k＝0，1，2时，
有＝π，π满足题意．]
7．已知角2α的终边在第一象限，则角α的取值集合用弧度制表示为________．
　[因为角2α的终边在第一象限，
所以2kπ<2α<2kπ＋，k∈Z，
所以kπ<α所以角α的取值集合为．]
8．已知扇形OAB的圆心角为π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．
　[设扇形的半径为r，圆心角为π，
∴弧长l＝πr，
∵扇形的周长为5π＋14，
∴πr＋2r＝5π＋14，
解得r＝7，由扇形的面积公式得扇形OAB的面积为π×r2＝π×49＝．]
三、解答题
9．已知角α＝2 010°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
故在[－5π，0)内与α终边相同的角有－，－，－．
10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为．
(4)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为
．
11．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．π
B　[设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以＝×θ，解得θ＝，故选B．]
12．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为(　　)
A． B．π
C． D．
A　[如图，连接AO，OB．
因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为·r＝．
]
13．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．现有一幅扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2．
704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得解得r＝，
所以S＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64××24×＝704 cm2．]
14．已知一扇形的圆心角为 rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．
2∶3　[设扇形内切圆的半径为r，
∵扇形的圆心角为，半径为R，
∴S扇形＝R2＝R2．
∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝．
∵S内切圆＝πr2＝R2，
∴S内切圆∶S扇形＝R2∶R2＝2∶3．]
15．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
[解]　所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋×1＋＝(dm2)．
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