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7.2.2　同角三角函数关系
学习任务 核心素养
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养． 2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．
结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cos α满足什么关系？tan α与sin α，cos α之间满足什么关系？
知识点　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tanα＝．
1．sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
[提示]　不一定．
2．对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
[提示]　成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　)
(2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　)
(3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
类型1　利用同角三角函数基本关系式求值
【例1】【链接教材P185例5、例6】
(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；
(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．
[解]　(1)因为sinα＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－．
如果α是第三象限角，那么cosα＜0．
于是cos α＝－，
从而tan α＝．
如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．
(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2．
所以2sin αcos α－cos2α＝＝－1．
法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，
所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．
【教材原题·P185例5】
例5已知sinα＝，且α是第二象限角，求cos α，tan α的值．
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以
cos2α＝1－sin2α＝1－．
又α是第二象限角，则cosα<0，所以
cos α＝－，tan α＝．
【教材原题·P185例6】
例6已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
解：由＝tan α＝，得sin α＝cos α．
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1．
解得cos2α＝．
又由tanα>0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则
cos α＝，tan α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，则
cos α＝－，tan α＝，sin α＝－．
　1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
[跟进训练]
1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
[解]　法一：∵tan α＝－2<0，
∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α， ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②消去sinα，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝．
当α为第二象限角时，cosα＝－，代入①得sin α＝；
当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－．
法二：∵tan α＝－2<0，
∴α为第二或第四象限角．
由tan α＝，
两边分别平方，得tan2α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴tan2α＋1＝，
即cos2α＝．
当α为第二象限角时，cosα<0，
∴cos α＝－，
∴sinα＝tan α·cos α＝(－2)×．
当α为第四象限角时，cos α>0，
∴cos α＝，
∴sinα＝tan α·cos α＝(－2)×．
类型2　三角函数式的化简、求值
【例2】【链接教材P186例7】
(1)化简：；
(2)化简：＋(1＋tan2α)cos2α．
[解]　 (1)原式＝
＝＝1．
(2)原式＝cos2α
＝·cos2α＝1＋1＝2．
【教材原题·P186例7】
例7化简tanα，其中α是第二象限角．
解：因为α是第二象限角，所以
sin α>0，cos α<0．
于是tan α＝tanα＝tanα
＝＝－1．
　化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简．
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
[跟进训练]
2．化简：
(1)已知α是第一象限角，；
(2)．
[解]　 (1)原式＝
＝
＝．
因为α是第一象限角，
所以0所以原式＝＝－．
(2)原式＝
＝
＝＝±1．
类型3　三角函数式的证明
【例3】【链接教材P186例8】
求证：．
[证明]　法一：左边＝，
右边＝，
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以，所以左边＝右边，
所以原等式成立．
法二：因为右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边．
所以原等式成立．
【教材原题·P186例8】
例8求证：．
证法1：因为
＝0，
所以．
证法2：因为
(1＋cos α)(1－cos α)＝1－cos2α＝sin2α，
又1＋cosα≠0，sin α≠0，所以
．
　1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．
2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明，可证ad＝bc或证等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
[跟进训练]
3．证明：．
[证明]　左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
类型4　“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
【例4】已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π．
求：(1)sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解]　(1)∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，∴1＋2sin αcos α＝，
即sin αcos α＝－．
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋，
又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝．
　1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．
2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．
[跟进训练]
4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为________．
　[∵A∈(0，π)，
sin A cos A＝<0，
∴A∈，
则sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝，
∴sin A－cos A＝，解得sin A＝，cos A＝又A∈，∴A＝．]
1．(教材P187练习T2改编)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A．　 　　B．－　 　　C．　 　　D．－
B　[∵sin α＝－，且α为第四象限角，
故cos α＝，∴tan α＝－．]
2．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
A　[因为tanα＝－，
所以．]
3．已知sinα＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．
－　[由已知得cosα＝－，
所以sin α－2cos2α＝．]
4．已知cosα－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
　[∵cos α－sin α＝－，∴(cos α－sin α)2＝，
即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝．]
5．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________．
　[由tan α＝，
得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
联立①②，解得∴cos α－sin α＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．应用三角函数关系求值时应注意什么问题？
[提示]　判断角α所在象限，分类讨论求值，注意三角函数值的符号．
2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值应注意什么问题？
[提示]　要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
3．证明三角恒等式常用哪些方法？
[提示]　(1)从右到左或从左到右　(2)左右归一　(3)化异为同法　(4)变更命题法　(5)比较法
4．本节课的易错点是什么？
[提示]　本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cos α漏解或多解的错误．
课时分层作业(三十二)　同角三角函数关系
一、选择题
1．若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝(　　)
A．　　　 B．　　　
C．－　　　 D．或－
B　[∵sin θ＝－＜0，tan θ＜0，
∴θ为第四象限角，
∴cos θ＝．]
2．已知2sinθ＋tan θ＝0，则角θ的值不可能是(　　)
A．－210° B．－180°
C．210° D．－240°
D　[∵2sin θ＋tan θ＝2sin θ＋＝＝0，
∴sin θ＝0或cos θ＝－，
∴θ＝－210°，－180°，210°都满足题意，而θ＝－240°不满足．故选D．]
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[∵sinα＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×．]
4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
C　[∵tan α＝，∴cos α＝－2sin α．
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos α＜0，
∴cos α＝－．]
5．设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B　[甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，故选B．]
二、填空题
6．已知0<α<π，sinαcos α＝－，则sin α－cos α的值等于________．
　[∵sin αcos α<0，0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α>0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝．]
7．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
2　[．
又sin α＋cos α＝，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝2．]
8．已知α是第三象限角，化简： － ＝________．
－2tan α　[原式＝－
＝ －
＝．
∵α是第三象限角，∴cos α<0．
∴原式＝＝－2tan α．]
三、解答题
9．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α．
[解]　 (1)．
(2)．
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α＝
＝．
10．已知＝1，求证：＝1．
[证明]　设sin2A＝m(0sin2B＝n(0则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n．
由＝1，得＝1，
即(m－n)2＝0，∴m＝n，
∴＝1－n＋n＝1．
11．若sin θ＝，cos θ＝，θ是第四象限的角，则m的值为(　　)
A．0 　　　　　　　　 B．8
C．0或8 　 D．9
A　[由sin2θ＋cos2θ＝1，得＝1，解得m＝0或m＝8．当m＝0时，sinθ＝－，cos θ＝，此时θ是第四象限的角；当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，此时θ是第二象限的角，不符合题意，故选A．]
12．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为(　　)
A．　　　 B．
C．－　　　 D．－
C　[由Δ≥0知，a≤．
又
由①式两边平方，得sin αcos α＝－，
所以，所以a＝－．]
13．若角α的终边在直线y＝－x(m>0)上，则____．
0　[，
又角α的终边落在直线y＝－x(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限．
当α在第二象限时，sin α>0, cos α<0，原式＝＝0；
当α在第四象限时，sin α<0, cos α>0，原式＝＝0．
综上，原式＝0．]
14．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，＝________．
　7　[∵tanα＋＝3，
∴sin αcos α＝，
又tan2α＋－2＝9－2＝7，
∴tan2α＋＝7．]
15．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现．
(3)证明：?x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测?x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明．
[解]　(1)cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2＝cos．
(2)cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2＝0＝cos．
(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x．
(4)推测cos2x－sin2x＝cos 2x．
14 / 147.2.2　同角三角函数关系
学习任务 核心素养
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养． 2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．
结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cos α满足什么关系？tan α与sin α，cos α之间满足什么关系？
知识点　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：_________________．
(2)商数关系：tanα＝_．
1．sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　)
(2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　)
(3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　)
类型1　利用同角三角函数基本关系式求值
【例1】【链接教材P185例5、例6】
(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；
(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
[跟进训练]
1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　三角函数式的化简、求值
【例2】【链接教材P186例7】
(1)化简：；
(2)化简：＋(1＋tan2α)cos2α．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简．
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
[跟进训练]
2．化简：
(1)已知α是第一象限角，；
(2)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　三角函数式的证明
【例3】【链接教材P186例8】
求证：．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．
2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明，可证ad＝bc或证等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
[跟进训练]
3．证明：．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4　“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
【例4】已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π．
求：(1)sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．
2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．
[跟进训练]
4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为________．
1．(教材P187练习T2改编)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A．　 　　B．－　 　　C．　 　　D．－
2．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
3．已知sinα＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．
4．已知cosα－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
5．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．应用三角函数关系求值时应注意什么问题？
2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值应注意什么问题？
3．证明三角恒等式常用哪些方法？
4．本节课的易错点是什么？
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